XXV Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

46

КВАНТ 2017/№4

он враждует хотя бы с одним ее участником. Какое наибольшее число банд могло быть в Чикаго? Фольклор (предложил Л.Шабанов)

Устный тур для 11 класса

1. В первый день $2^{n}$ школьников играли в пинг-понг навылет: сначала сыграли двое, затем победитель сыграл с третьим, победитель этой пары – с четвертым и т.д., пока не сыграл последний школьник (ничьих в пингпонге не бывает). Во второй день те же школьники разыграли кубок: сначала произвольно разбились на пары и сыграли в парах, проигравшие выбыли, а победители снова произвольно разбились на пары и сыграли в парах и т.д. Оказалось, что наборы игравших пар в первый и во второй день были одни и те же (возможно, победители были другие). Найдите наибольшее возможное значение n. Б.Френкин

2. Сфера касается 99 ребер некоторой выпуклой 50-угольной пирамиды. Обязательно ли тогда она касается и 100-го ребра этой пирамиды? М.Евдокимов

3. См. задачу М2459 «Задачника «Кванта».

4. Клетки доски $100 \times 100$ раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке. Можно ли перекрасить ровно 2018 различных клеток этой доски в противоположный цвет так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось одно и то же количество черных клеток? Ю.Чеканов

5. Дан треугольник XBC. Различные точки $A_{H}, A_{I}, A_{M}$ таковы, что X является ортоцентром треугольника $A_{H} BC$, центром вписанной окружности треугольника $A_{I} BC$ и точкой пересечения медиан треугольника $A_{M} BC$. Докажите, что если $A_{H} A_{M}$ и BC параллельны, то $A_{I}$ – середина $A_{H} A_{M}$. Е.Бакаев

6. Для каких натуральных n верно следующее утверждение: для произвольного многочлена P степени n с целыми коэффициентами найдутся такие различные натуральные a и b, для которых P ( a ) + P ( b ) делится на a + b? Г.Жуков

Публикацию подготовили И.Богданов, С.Дориченко, Л.Медников

XXV Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» в рамках международной программы «Дети. Интеллект. Творчество» при участии МГУ имени М.В.Ломоносова, Института педагогических исследований одаренности РАО (г. Новосибирск) и при поддержке Международной ассоциации «Педагогика одаренности и таланта», Фонда «1С» и журналов «Квант», «Потенциал» и «Физика для школьников» провел XXV Международную тест-рейтинговую олимпиаду «Интеллектуальный марафон». Олимпиада проходила со 2 по 9 октября 2016 года в городе Протвино Московской области на базе Института физики высоких энергий. На олимпиаду приехали участники из разных городов России. Одаренные школьники 9–11 классов, проявившие интерес к фунда- ментальным наукам, соревновались в командных и индивидуальных турах по математике, физике, истории научных идей и открытий. Педагоги и психологи собрались на свою научную сессию в восьмой раз. В индивидуальных соревнованиях на этот раз победили учащиеся лицея 2 из города Альметьевска (Татарстан). Абсолютным победителем олимпиады стал Эдуард Сабиров, ему были вручены большая золотая медаль, золотая медаль по физике и серебряная медаль по математике. Вторым призером в общем зачете стал Руслан Камалов, получивший большую серебряную медаль и малую золотую медаль по математике. Большую бронзовую медаль завоевал Азат Яманаев, он получил также малую бронзовую медаль по физике.

49

ОЛИМПИАДЫ

Рис. 2

вые стороны сосуда металлизированы и расположены друг от друга на расстоянии l = 1 см. Сосуд заполнен жидким диэлектриком, плотность которого $\rho = 1,4$ г $см^{3}$, а Рис. 3 диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 65$. Диэлектрик и стенки сосуда химически нейтральны. Сосуд подключен к батарее с ЭДС E = 100 В. На нижней грани сосуда открывают отверстие О, через которое начинают откачивать жидкость. Масса откачиваемого в единицу времени диэлектрика $\mu = 100$ г/с. Определите зависимость показаний амперметра от времени. Батарея и амперметр идеальные. 4. Два спутника-зонда движутся по пересекающимся круговым орбитам вокруг малой планеты. Угол между плоскостями орбит $\alpha = 75 ^\circ$ (рис. 4). Масса одного спутника M = 100 кг. При какой массе m другого спутника он может полностью потерять скорость после упругого столкновения с первым спутником и упасть на планету? 5. На торжествен- Рис. 4 ном открытии XXV Интеллектуального марафона на длинном гладком столе выставлены в ряд двадцать пять брусков одинаковой массой m, на каждом из которых написан год работы МИК «Глюон», с равными зазорами длиной l = = 0,2 м между брусками (рис.5). Со словами «25-й юбилейный марафон открыт» Президент МИК «Глюон» запускает слева вдоль линии стоящих брусков брусок массой 3m со скоростью $v_{0} = 10$ м/с, что приводит к столкновениям брусков. Найдите время от цаемы. Температура газа в начальный момент равна $T_{0} = 300$ К. Трением пренебречь. 3. Конденсатор имеет вид пластикового сосуда с тонкими стенками в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 3). Боко-

Рис. 5

нениями и не поддававшуюся усилиям математиков в течение многих столетий. Кто этот математик и о какой теореме идет речь? Назовите какие-нибудь известные вам термины, теоремы и факты, связанные с его именем.

ФИЗИКА

Письменный индивидуальный тур

1. Железнодорожный рабочий массой m = = 60 кг стоит на краю неподвижной тележки массой М = 100 кг (рис.1). Человек хочет, оттолкнувшись от края тележки, запрыгнуть

Рис. 1

на платформу, которая выше тележки на Н = 30 см и находится от тележки на расстоянии l = 1 м. Какую минимальную работу он должен для этого совершить? Какова минимальная скорость такого прыжка? Трением между тележкой и землей пренебречь. 2. В длинной закрытой трубке между двумя поршнями массой m = 1 кг каждый находится $\nu = 0,1$ моль Ar (аргона). В остальном пространстве трубки – вакуум. В начальный момент левый поршень имеет скорость $v_{1} = 15$ м/с, а правый – скорость $v_{2} = 5$ м/с (рис.2). Найдите максимальную температуру газа в процессе движения, если стенки трубки и поршни теплонепрони-

50

КВАНТ 2017/№4

момента первого соударения до момента падения первого бруска, время падения бруска, соответствующего ИМ-2000, а также время последнего столкновения в этой системе, считая все соударения упругими. Упадет ли последний брусок к закрытию олимпиады, которое состоится через 6 дней? 6. На задней стенке аквариума нарисован цветок ромашка. Во сколько раз изменится угловой диаметр ромашки при наполнении аквариума водой, если глаз наблюдателя расположен на расстоянии l = 30 см от передней стенки аквариума? Длина самого аквариума L = 60 см. Толщиной стенок аквариума пренебречь и считать, что размеры ромашки много меньше размеров аквариума. 7. Сферическую оболочку радиусом $R_{1} = = 40$ см, равномерно заряженную зарядом q = 1 мКл, расширили до радиуса $R_{2} = 50$ см. Найдите работу, совершенную при этом электрическими силами.

Устный командный тур 1. Свет вокруг нас. Почему днем небо голубое, солнце желто-белое, а на закате солнце и небо красные? 2. Шахта на полюсе. На Северном полюсе Земли вдоль земной оси вырыли шахту, проходящую через всю Землю и выходящую на Южном полюсе. В шахту отпустили свободно падать небольшой предмет. Опишите движение предмета, укажите основные параметры движения и оцените их значения. 3. Космическое путешествие. Когда мы движемся вокруг Солнца быстрее – днем или ночью? 4. По следам барона Мюнхгаузена. По словам барона Мюнхгаузена, он смог поймать пушечное ядро руками. Пренебрегая тем, что ядро горячее, поясните, мог бы он это сделать в 18 веке и мог бы сейчас. Считайте, что максимальная дальность полета ядра 1 км, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. 5. Парадоксы веса. Отличаются ли вес 1 кг платины и вес 1 кг алюминия? 6. Холодильник. Нам нужно остудить банку, наполненную горячей водой. У нас есть лед и даже сухой лед. Как расположить лед относительно банки, чтобы побыстрее охладить воду?

7. Спутник Земли. Спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, из-за трения о верхние слои атмосферы медленно теряет энергию. Будет ли при этом изменяться его скорость и если будет, то как? Ответ поясните расчетом.

История научных идей и открытий

1. Нобелевская премия по физике в 1956 году была вручена трем американским ученым за фундаментальные исследования в области физики твердого тела и открытие эффекта, который уже к тому времени стал основой нового направления электронной техники. Приборы, созданные на основе этого эффекта, быстро стали применяться как в «серьезной» электронике, так и в бытовой электронной технике. Электронная аппаратура стала компактной, а при развитии этого направления – и сверхминиатюрной. Один из лауреатов стал единственным физиком, получившим Нобелевскую премию по физике дважды. Второй раз он стал лауреатом в 1972 году за работы в области сверхпроводимости. 1) Назовите лауреатов Нобелевской премии по физике 1956 года. 2) Назовите эффект и прибор, созданный на основе их исследований. 2. Четыре года назад в газете «The New York Times» были опубликованы результаты опроса, проведенного среди выдающихся физиков. Каждый опрошенный должен был назвать десять самых красивых за всю историю физических экспериментов. Назовите эти эксперименты. 3. Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист. Жил в Германии, Швейцарии и США. Почетный доктор около 20 ведущих университетов мира, член многих Академий наук, в том числе почетный член АН СССР. Автор более 300 научных работ по физике, а также около 150 книг и статей в области истории и философии науки, публицистики и др. Разработал несколько значительных физических теорий, которые нашли экспериментальное подтверждение. Написав в 1939 году письмо Президенту США о необходимости вести исследования в области практического применения ядерной энергии, впоследствии ак-

56

КВАНТ 2017/№4

определенных условиях могут представлять угрозу для жизни на Земле. В качестве наглядного примера он привел фантастический кинофильм «Армагеддон» (США, 1998 г.). В нем повествуется о космической экспедиции, отправленной на приближающийся к Земле огромный астероид, чтобы его уничтожить. Желая, чтобы школьники лучше представляли себе условия, в которых работали участники экспедиции, учитель предложил им следующую задачу: «Астероид имеет форму шара радиусом R = 5 км. Считая астероид однородным с плотностью $\rho = 5,5$ г $см^{3}$, пренебрегая влиянием других небесных тел и приняв гравитационную постоянную равной $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ Н $\cdot м^{2} кг^{2}$, найдите первую космическую скорость $v_{1к}$ для этого астероида». Какой результат получили школьники? Ответ округлите до одного знака после запятой. 2. На горизонтальной поверхности льда неподвижно лежит круглая шайба. По льду скользит точно такая же шайба и испытывает с покоящейся шайбой абсолютно упругое соударение. Скорость движущейся шайбы перед ударом $v_{0} = 3$ м с. После удара эта шайба проехала по льду расстояние $l_{1} = 1$ м. Определите расстояние L между шайбами после их остановки. Коэффициент трения между шайбами и льдом $\mu = 0,05$. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м $с^{2}$. Боковые поверхности шайб считайте гладкими. Ответ приведите в метрах и округлите до одного знака после запятой. 3. В два одинаковых сосуда налили по m = 500 г воды. Температура воды в первом сосуде $t_{1} = 20 ^\circ C$, а во втором $t_{2} = 40 ^\circ C$. Из второго, более горячего, сосуда в первый переливают $\Delta m = 50$ г воды и перемешивают. Затем воду такой же массой $\Delta m$ переливают обратно во второй сосуд и перемешивают. На этом завершается первый цикл переливаний. Определите разность температур $\Delta t$ воды в сосудах после трех таких циклов, состоящих из переливания воды из второго сосуда в первый и обратно. Теплоемкостью сосудов и теплообменом воды с окружающей средой можно пренебречь. Ответ приведите в градусах Цельсия с точностью до одной десятой.

4. Плоский воздушный конденсатор, длина обкладок которого L, подключен к источнику постоянного напряжения. Во сколько раз k изменится заряд конденсатора, если в конденсатор параллельно обкладкам вдвинуть металлическую пластину на расстояние L n, где n = 3 (рис.6)? Толщина пластины равна половине расстояния между обкладками конденсатора, а ширина такая же, как у Рис. 6 обкладок. Краевыми эффектами можно пренебречь. Ответ округлите до двух знаков после запятой. 5. Тонкая плосковыпуклая линза, имеющая в воздухе фокусное расстояние F = 10 см, соприкасается плоской стороной с поверхностью воды, налитой в цилиндрический сосуд (рис.7). На расстоянии d = = 20 см от линзы на ее главной оптической оси находится точечный источник света S, дающий узкий пучок света. Определите высоту h уровня воды в сосуде, при котором изображение источника будет расположено точно на дне сосуда. Показатель преломления воды примите равным Рис. 7 n = 1,3. Учтите, что для малых значений аргумента x, заданного в радианах, справедливы приближенные формулы sin $x \approx tg x \approx x$. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до одного знака после запятой.

Заключительный этап

Проведение заключительного этапа олимпиады было назначено на 24 февраля 2017 года. Для учащихся всех классов этот этап проводился в очной форме на физическом факультете МГУ и на четырех региональных площадках в городах Астана, Белгород, Владивосток и Волгоград. Задание для учащихся 7–8, а также 9 классов состояло из четырех задач по темам, изучаемым в рамках программы по физике для основной общеобразовательной школы. Задания для учащихся 10–11 классов были составлены в полном соответствии с Кодификатором ЕГЭ 2017

60

КВАНТ 2017/№4

живающими плоскостями-планерами, как у липы, благодаря чему ветер может переносить их весьма далеко от «места рождения». 3. Заметные колебания температуры в горах проявляются в меньшей степени в приземном слое, чем на высоте даже нескольких метров. 4. Подобная форма листьев и лепестков придает им дополнительную жесткость и прочность. 5. Корневая система сосны глубже уходит в землю, чем у ели (рис.4). Чтобы вывернуть ель

Рис. 3

Если изначально занятых строк x, а занятых столбцов y, то ладей не более xy. Таким образом, $xy \ge 10$. Перебрав возможные значения x от 1 до 6, несложно проверить, что тогда $s = x + y \ge 7$. В конечном положении все ладьи не бьют друг друга, а это происходит в том и только том случае, когда s = 20. Докажем, что при s < 20 всегда можно сделать ход, увеличивающий s. Из этого будет следовать, что не более чем за 20 – 7 = 13 ходов мы получим расстановку ладей, удовлетворяющую условию. Рассмотрим все ладьи, которые никого не бьют. Ряды, содержащие такие ладьи, зачеркнем. Допустим, что есть незачеркнутый ряд ровно с одной ладьей, пусть это строка. В столбце, в котором стоит эта ладья, есть хотя бы две ладьи, а значит, есть пустой столбец. Тогда ладью можно передвинуть в него. При этом s увеличивается. Осталось рассмотреть вариант, когда такого ряда нет. Тогда все незачеркнутые строки либо пустые, либо в них хотя бы две ладьи, причем и те, и другие строки присутствуют. Рассмотрим пустую строку и строку, в которой хотя бы две ладьи, причем такие, что между ними нет незачеркнутых строк. Тогда передвинем ладьи из одной этой строки в другую. Несложно понять, что такой ход сделать можно и s при этом увеличивается. Можно также показать, что оценка точная, т.е. за 12 ходов можно справиться не всегда (для решения задачи этого не требовалось доказывать).

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Твердая оболочка ореха не пропускает воду, а внутри ореха имеется воздух, обеспечивающий плавучесть и позволяющий долгое время «мигрировать». 2. Многие плоды и семена снабжены либо пучками волосков, как у одуванчика, либо поддер-

Рис. 4

с корнем, требуется меньший момент силы ветра, чем для сосны. А чтобы вывернуть сосну с корнем, требуется больший момент силы ветра, нежели чтобы поломать ее. 6. Одна из причин – пустотелость стебля. При изгибе внутренняя его область практически не деформируется, в то время как заполняющее эту область вещество лишь увеличивало бы изгибающие и сжимающие силы. Кроме того, стебли злаковых состоят из нескольких полых цилиндров, соединяемых упругими узлами, что сообщает им дополнительную гибкость. 7. В вертикальном положении подводные растения удерживаются силой Архимеда. Ее действие увеличивается за счет воздушных полостей внутри стеблей, играющих роль поплавков. 8. Листья или ряска, покрывающие поверхность воды, могут ограничить диффузионные процессы в снабжении глубоких слоев кислородом, необходимом подводным обитателям. 9. Во всех этих случаях дело в особенностях поверхностей растений, не смачиваемых водой. 10. Чрезмерно высокое дерево не выдержит собственной тяжести – при увеличении его размеров объем и масса растут быстрее, чем площадь основания ствола. Но более жесткое ограничение связано с осмотическим давлением – односторонней диффузией молекул через мембраны клеток, – которое поднимает соки от корней к листьям на высоту не более нескольких десятков метров. Наряду с осмосом подъему