Алгебра и геометрия комплексных чисел

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Алгебра и геометрия комплексных чисел

А.КАНУННИКОВ

Эту статью мы рекомендуем читать после статьи «Магия комплексных чисел» (с. 5) или параллельно с ней. Сюжеты той статьи зачастую проходили по одному сценарию: для решения алгебраической задачи «за кадром» применялись геометрические методы, и готовый результат появлялся словно кролик из шляпы. С какими задачами о комплексных числах все же справляется чистая алгебра и где границы ее применения? В каких задачах помогают геометрические методы, и как комплексные числа и геометрия обогащают друг друга? Обо все этом мы расскажем в статье. Но главная наша цель – уж коль скоро это рубрика «Школа в «Кванте» – научить вас, уважаемый читатель, приемам работы с комплексными числами, алгебраическим и геометрическим методам решения задач, которые бы опирались на твердую теоретическую основу. Не стремитесь понять все и сразу. Работайте над статьей вдумчиво, не торопясь, возвращайтесь к «Магии комплексных чисел» (секреты открываются?). Обсуждайте материал с учителями и товарищами, а главное – решайте задачи, к большинству из них приведены ответы и указания (с. 51).

Алгебра комплексных чисел

§1. Определение и свойства в вопросах и ответах

Мы не будем вновь определять начальные понятия, ожидая, что вы ознакомились с ними (см. с. 5). Еще лучше почитайте более подробные введения в комплексные числа из разных источников, например [2–5]. Мы, право, не видим смысла их

повторять. Лучше ответим на наиболее распространенные вопросы из серии «Что вы хотели узнать (уточнить), но боялись спросить». В процессе обсуждения мы придем к разумному определению комплексных чисел. Q: Почему мнимая единица обозначается буквой i? Почему нельзя писать просто $- 1$? А: Это первая буква в латинском слове imaginarius (мнимый). Ее предложил Эйлер в 1777 году. Вместо i неправильно писать $- 1$, так как это обозначение для множества корней уравнения $x^{2} = - 1$, которое, помимо i, имеет еще один корень –i: $x^{2} + 1 = ( x - i )( x + i )$. Кстати, именно на этом неудачном обозначении основаны примитивные ошибки типа

1 = 1 =

$( - 1 )^{2} =$

2

$- 1 = - 1$.

Q: Почему в литературе комплексные числа часто определяются как пары действительных? Это выглядит немного странным, особенно когда вводят умножение по формуле $( a, b )( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc )$. Почему сразу не написать a + bi? А: Подход с парами – дань формализму, не более того. Потом все равно переходят на понятную запись a + bi вместо ( a, b ). Просто так удобнее без лишних слов дать определение: пары и все. Но вы правы, умножение пар выглядит дико, и в хороших книгах оно обязательно мотивируется. Если сразу написать a + bi, то возникнет вопрос, что это за плюс и что за умножение b на i. Все-таки сначала надо определить комплексные числа как объекты и только после этого вводить операции. Q: Неужели нельзя дать определение и строго, и понятно? А: Можно. Давайте рассматривать комплексные числа как векторы на плоскости: $C = R^{2}$. Векторы – те же пары, причем мы умеем их складывать и умножать на действительные числа (покоординатно). Отождествим вектор ( 1, 0 ) с числом 1, а вектор ( 0, 1 ) обозначим буквой i. Тогда ( a, b ) = a ( 1, 0 ) + b ( 0, 1 ) = a + bi

– разложение вектора по базису 1, i. Осталось определить умножение базисных векто-

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Периодическим замощением плоскости называется покрытие плоскости неперекрывающимися фигурами, для которого существуют такие два непараллельных вектора, что сдвиг на любой из них переводит покрытие в себя. Если периодическое покрытие образовано копиями одного и того же многоугольника, то его называют паркетом. Только три правильных многоугольника — треугольник, квадрат и шестиугольник— являются паркетными. У остальных правильных n-угольников угол при вершине не является делителем 360. Паркеты из выпуклых неправильных многоугольников устроены гораздо сложнее. Очевидно, что паркет можно сложить, копируя любой треугольник или любой четырехугольник. Но ни из какого выпуклого n-угольника с n > 7 составить паркет нельзя. При n = 6 найдено три типа выпуклых паркетных шестиугольников и доказано, что других не существует (для шестиугольника ABCDEF эти типы характеризуются набором соотношений для углов и сторон, на неупомянутые углы и стороны никаких ограничений не накладывается).

многоугольников, параллельными переносами которого можно получить весь паркет. Первые пять типов нашел К. Рейнхардт (K. Reinhardt) в 1918 году, а последний из известных, 15-й, нашли К. Манн, Дж. Маклеод, Д. Вон Дерау (C. Mann, J. McLoud, D. Von Derau) в 2015 году. Типы 14 и 15 заданы жестко (с точностью до подобия). Остальные типы имеют степени свободы (например, у типа 1 их пять), при изменении которых внешний вид паркета может меняться довольно сильно. Более того, некоторые типы пятиугольников в своем общем виде допускают несколько замощений. Но бывает и иначе — у данного типа есть подтип (без степеней свободы или с меньшим их числом, чем у основного типа), которым можно замостить плоскость несколькими способами. Задание типов паркетных многоугольников через соотношения для сторон и углов наиболее компактное и традиционное. Проанализировав его, можно привести более наглядное построение каждого класса, выявляющее геометрию свободных параметров. Заинтересовавшийся читатель может установить бесплатную программу-энциклопедию

При n = 5 задача полностью не решена. Обнаружены 15 типов выпуклых пятиугольников, образующих паркет, но существуют ли другие и если да, то какие — неизвестно. Найденные типы паркетных пятиугольников ABCDE с характеризующими соотношениями представлены на правой странице «Калейдоскопа». Ярко отмечена (выбранная по соображениям симметрии) фундаментальная область— набор из минимально возможного количества http://www.jaapsch.net/tilings. В ней ее автор — Я. Схерфэйс (J. Scherphuis) — собрал все ныне известные периодические замощения (не только выпуклыми, но и невыпуклыми) многоугольниками. Про замощения невыпуклыми многоугольниками и другие задачи этой тематики рассказывалось в «Калейдоскопе «Кванта» №2 за 2009 год. Материал подготовили Н. Андреев, М. Панов