Московская физическая олимпиада 2017 года

42

КВАНТ 2017/№5

треугольника ABC взята такая точка E, что AE = CE, $\angle$ AEC $= 60 ^\circ$ и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что $\angle$ AFD $= 90 ^\circ$, где F – середина отрезка BE. О.Косухин

5. Таблица размером $2017 \times 2017$ заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со

строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения числа p. А.Галатенко

Публикацию подготовил Е.Епифанов

Московская физическая олимпиада 2017 года

Второй теоретический тур

7 класс

1. В аэропорту Шереметьево в длинном переходе между двумя терминалами есть два параллельных друг другу траволатора – горизонтально расположенных эскалатора, имеющих одинаковые длины. Школьник Вася, отправляющийся на Международную физическую олимпиаду, заметил, что первый траволатор движется, а второй выключен, и, ожидая свой рейс, решил немного развлечься. Он начал бегать по траволаторам туда-сюда, каждый раз возвращаясь в исходную точку. В первый раз Вася пробежал туда по движущемуся траволатору, а назад – по неподвижному. Во второй раз он пробежал туда по неподвижному траволатору, а назад – по движущемуся. Разность времен движения Васи в первом и втором забегах составила $\Delta t_{1} = 25$ с. В третий раз Вася пробежал в обе стороны по движущемуся траволатору, а в четвертый раз – в обе стороны по неподвижному. Разность времен движения Васи в третьем и в четвертом забегах оказалась равной $\Delta t_{2} = 5$ с. Вася развивает постоянную скорость относительно траволатора, скорость движения которого также постоянна и равна u = 1 м/с. Найдите скорость v Васи относительно траволатора и определите длину траволатора. Считайте, что на ускорение, торможение и на разворот Вася тратит пренебрежимо мало времени. М.Замятнин

2. Выйдя из дома, папа с дочкой Машей и сыном Ваней бегут к автобусной остановке, расстояние до которой s = 430 м. Скорость Вани v = 2 м/с, скорость Маши 2v, а скорость папы 4v. Если папа сажает любого из детей на шею, то его скорость уменьшается до 3v. Двоих детей одновременно папа нести не может. Через какое минимальное время вся семья сможет оказаться на остановке? Можно считать, что посадка детей на папину шею, а также разгон и торможение происходят быстро. А.Бычков

3. Три одинаковых вертикальных цилиндрических сосуда сообщаются друг с другом вблизи дна при помощи узких трубок с кранами, которые первоначально перекрыты (рис.1,а). В левом и правом сосудах под горизонтальными тонкими поршнями находится вода, а средний сосуд пуст. Краны одновременно открывают и в тот же момент начинают двигать вниз оба поршня с постоянными скоростями. При этом разница уровней поршней по вертикали увеличивается со скоростью v. Пользуясь графиком зависимости высоты h уровня воды в среднем сосуде

Рис. 1

44

КВАНТ 2017/№5

зависимости $d_{12} ( t )$ изображен синей линией. Численное значение величины $d_{0}$ неизвестно, но зато известно, что $t_{1} = 30$ с и $t_{2} = 40 c.$ При определении расстояния между пловцами ширина дорожек бассейна не учитывалась и считалось, что спортсмены движутся почти вдоль одной прямой. Разворот каждого из пловцов происходит очень быстро. 1) Какое время на финише показал каждый из пловцов? 2) Продолжите (достройте) оба графика до момента времени 60 с. П.Крюков

3. Неоднородный груз массой 4m подвешен при помощи системы блоков так, как показано на рисунке 5. Нити и блоки очень

Рис. 5

легкие, свободные участки нитей вертикальны, трения в осях блоков нет. К свободному концу нити, перекинутой через блоки, прикреплен противовес массой m. Участок этой же нити, находящийся между грузом и правым блоком, проходит через небольшое отверстие в неподвижной перегородке. При скольжении нити в отверстии возникает сила трения F = 10 Н, действующая на нить со стороны стенок перегородки. 1) При каких значениях массы m противовеса система может оставаться в равновесии? 2) Где должен находиться центр масс неоднородного груза для того, чтобы равновесие было возможным? 3) Чему равен модуль силы трения $F_{1}$ и в какую сторону она направлена при $m = m_{1} = 0,7$ кг? Модуль ускорения свободного падения можно считать равным g = 10 м $с^{2}$. М.Замятнин

4. В Москве в районе Очаково работает мощная тепловая электрическая станция с названием «ТЭЦ-25». Максимальная электрическая мощность этой станции $W_{1} = = 1370$ МВт. Кроме выработки электроэнергии эта станция может одновременно поставлять тепло мощностью $W_{2} = = 4088$ Гкал/ч для снабжения соседних районов города горячей водой и для обогрева домов. Станция работает на природном газе метане $( CH_{4} ),$ при сгорании $m_{0} = 16$ г которого выделяется количество теплоты Q = 797 кДж. В атмосферу через трубы вместе с продуктами сгорания всегда выбрасывается 20% энергии, полученной в результате сгорания топлива. В летнем режиме, когда дома отапливать не нужно, станция работает на 80% своей максимальной электрической мощности и при этом 30% выделившего при сгорании метана количества теплоты все равно приходится отводить в атмосферу при помощи испарения воды в специальных устройствах – градирнях. Удельная теплота парообразования воды L = 2256 кДж/кг, одна калория равна примерно 4,2 Дж. 1) Каков у станции расход топлива (в кг/с) зимой? 2) Каков КПД использования тепловой энергии при ее преобразовании в электрическую зимой? 3) Какое количество воды ежесекундно превращается в пар (в л/с) в градирнях станции летом? 4) Какая мощность поставляется потребителям горячей воды в домах летом? И.Семериков, С.Варламов

9 класс

1. Ракета удаляется от горизонтальной поверхности Земли со скоростью v, направленной строго вертикально. Параллельно поверхности точно на запад летит самолет со скоростью v 3. 1) С какой наименьшей по модулю скоростью u и в каком направлении должен лететь (относительно Земли) квадрокоптер для того, чтобы относительно него ракета и самолет имели противоположные по направлению скорости? 2) Под каким углом к горизонту (относительно Земли) должна быть направлена ско-

58

КВАНТ 2017/№5

$n \ge 2$, будем разбивать на два, произведение не будет уменьшаться, поскольку $2 n \ge n + 2$. Останутся только двойки и тройки. Заменяя три двойки на две тройки, будем увеличивать произведение. В итоге получим 12 троек. Таким образом, количество банд не больше $3^{12}$.

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

1. 3. Построим следующий граф: вершины – игроки, ребра – сыгранные партии. Согласно условию, для обоих турниров этот граф один и тот же. Рассмотрим первый турнир и выберем те партии, победители которых до этого не выигрывали (например, такова первая партия). Тогда соответствующие ребра образуют путь, а остальные ребра одним концом примыкают к этому пути. В частности, если выбросить все висячие вершины, то останется только наш путь без крайних вершин. Теперь рассмотрим тот же граф как граф кубкового турнира. Если из него выбросить висячие вершины, останется граф турнира на $2^{n-} 1$ победителях первого этапа. Он, очевидно, является путем лишь при n £ 3, в противном случае победитель турнира будет иметь степень не меньше 3. Значит, n £ 3. Осталось привести пример при n = 3. Пусть участники пронумерованы от 1 до 8 и пары в кубке таковы (первым указан проигравший, вторым победитель): 1–2, 3–4, 5–6, 7–8, 2–4, 6–8, 4–8. тогда при игре навылет пары могли быть такими (победитель снова указан вторым): 1–2, 2–4, 3–4, 4–8, 7–8, 8–6, 6–5. 2. Нет. Мы покажем даже, что это неверно ни в одном из двух случаев: а) сотое ребро – ребро основания, и б) сотое ребро – боковое. a) Возьмем правильный 51-угольник $A_{1} A_{2}$ … $A_{51} c$ центром C. Пусть $\omega$ и Ω – его вписанная и описанная окружности соответственно. Рассмотрим сферу S с центром C, которая пересекает плоскость 51-угольника по окружности $\omega$, и рассмотрим конус с основанием Ω, в который вписана эта сфера. Пусть O – вершина этого конуса. Тогда у 50-угольной пирамиды $OA_{1} A_{2}$ … $A_{50}$ все боковые ребра и 49 ребер основания касаются сферы S, а ребро $A_{1} A_{50}$ – не касается. б) Построим многоугольник, сферу и конус так же, как в пункте a). Пусть теперь прямые $A_{1} A_{51}$ и $A_{49} A_{50}$ пересекаются в точке B. Тогда пирамида $OA_{1} A_{2}$ … $A_{49} B$ – искомая: все ее ребра, кроме бокового ребра OB, касаются сферы S. 4. Нет. Ясно, что строки доски можно переставлять как угодно, и столбцы тоже. Переставим все нечет-

ные столбцы влево, а все нечетные строки вниз. В итоге из исходной доски получится доска, разделенная на 4 одинаковых квадрата – два противоположных из них белые, а остальные черные. Пусть после перекраски в каждой строке и каждом столбце оказалось по 50 + k черных клеток; тогда в каждом столбце и в каждой строке перекрашено на k белых клеток больше, чем черных. Пусть в одном из черных квадратов перекрашено a клеток. По замечанию выше, в каждом из белых квадратов перекрашено по a + 50k клеток, а тогда в другом черном квадрате также перекрашено ( a + 50 k ) - 50 k = a клеток. Значит, общее число перекрашенных клеток равно 2a + + 2 ( a + 50 k ) = 4 ( a + 25 k ), т.е. оно делится на 4 и потому не может равняться 2018. 5. Пусть M – середина BC, а Y и Z – точки, симметричные X относительно прямой BC и точки M соответственно (рис.20).

Рис. 20

Тогда

– BZC = – BYC = – BXC $= 180 \infty -$ – $BA_{H} C$, откуда точки $A_{H}, B, C, Y$ и Z лежат на одной окружности Ω с центром O и радиусом R. При этом, поскольку $A_{H} A_{M} P BC$ и $A_{M} X : XM = 2$, получаем $A_{H} X : XY = A_{M} X : 2 XM = 1$, т.е. X – середина $A_{H} Y$. Пусть T – середина YZ. Тогда OTYX – прямоугольник, поэтому TX = OY = R. Из симметрии относительно BC получаем, что OB = OC = = TB = TC = R. Значит, T – центр окружности, описанной около треугольника BXC, т.е. по лемме о трезубце это середина дуги BC окружности $( A_{I} BC ).$ Пусть $K = A_{H} Y \cap BC$, YY¢ – диаметр окружности Ω, а P и S – середины KM и $A_{H} A_{M}$ соответственно. Заметим, что $YZ = 2 KM = = A_{H} A_{M} = A_{H} Y$ ¢. Значит, TX пересекает отрезки KM и $A_{H} A_{M}$ в их серединах P и S, а также P = YY ¢ $\cap BC$. Тогда BP ◊ PC = YP ◊ PY ¢ = = TP ◊ PS (последнее равенство выполнено в силу симметрии отрезков YY¢ и TS относитель-