Задачи М2534—М2537; Ф2541—Ф2544

Квант 2018, №11 с. 24 Тег 3NA8

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2534-М2537 предлагались на XL Турнире городов.

Задачи М2534–М2537, Ф2541–Ф2544

M2534. На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?» Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова? М.Кузнецов

M2535. Требуется записать число вида 77…7, используя только семерки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причем разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77…7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семерок, чем в его десятичной записи? С.Маркелов

$М2536^{*}$ . Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в черный цвет. На плоскости лежит

бумажный клетчатый многоугольник M, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал «по клеткам». Если после очередного сдвига ровно одна клетка у M лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в черный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в черный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали M по описанным правилам. Д.Захаров

$М2537^{*}$ . На числовой оси отмечено бесконечно много точек с натуральными координатами. Когда по оси катится колесо, каждая отмеченная точка, по которой проехало колесо, оставляет на нем точечный след. Докажите, что можно выбрать такое действительное R, что если прокатить по оси, начиная из нуля, колесо радиуса R, то на каждой дуге колеса величиной в $1 ^\circ$ будет след хотя бы одной отмеченной точки. И.Митрофанов

Ф2541. С вершины горизонтального цилиндра без начальной скорости скатывается небольшой обруч (отношение радиуса обруча к радиусу цилиндра – малая величина). Коэффициент трения между поверхностями цилиндра и обруча P 1. При

КВАН T 2018/№11

Отсюда искомые величины сопротивлений резисторов будут иметь вид

Таблица 1

X i ◊ Â R j

$R_{i} =$

$j \pi i$

Â R j - X i

$j \pi i$

Полученную формулу будем использовать в режиме последовательного численного приближения. В нулевом приближении считаем

$R_{i} 0 = X_{i}$ .

Далее вычисляем величины сопротивлений в первом приближении:

X i ◊ Â X j

$R_{i} 1 =$

$j \pi i$

Â X j - X i

$j \pi i$ и во втором» приближении:

$X_{i}$ ◊ $Â R_{j} 1$

R i 2 =

$j \pi i$

$Â R_{j} 1 - X_{i}$

$j \pi i$

Продолжаем итерационный процесс вычислений, пока получаемые величины не перестанут значимо изменяться. В качестве примера приведем результаты расчетов при значениях сопротивлений, равных номеру резистора. В таблице 1 слева записаны значения сопротивлений резисторов кольца. Столбцы правой части таблицы содержат соответствующие приближения этих величин. Первый столбец моделирует измеренные величины, т.е. нулевое приближение. Последующие столбцы моделируют приближения возрастаю-

щего порядка. Так, четвертый столбец содержит расчетные величины сопротивлений в третьем приближении. Видно, что погрешность вычисления этого приближения уже только порядка 1,5 % (для резистора сопротивлением в 6 Ом). Число итераций, при котором достигается необходимая точность расчета, зависит от отношения величин сопротивлений резисторов кольца. Пример медленной сходимости иллюстрирует таблица 2, в которой сопротивление шестого резистора увеличено в десять раз. Дополнительно отметим следующее. В некоторых случаях итерационного расчета искомая величина сходится по спирали (завышенные и заниженные значения расчетной величины чередуются). Наш пример относится к этому варианту. Использование среднего для пары итераций позволяет построить быстрый алгоритм расчета.

Ф2532. Каково соотношение между высотой горы h и глубиной шахты H (рис.1), если периоды малых колебаний математического маятника на вершине горы и на дне шахты одинаковы? (Считайте, что Земля – однородный не вращающийся шар.)

Таблица 2