Задачи 9—12

30

КВАН T 2018/№11

случай д): 6 ˜ 5 1 ˜ 2 –

2 ˜ 4 1 ˜ 4 5 ˜ 6 2 2 2

Задачи для самостоятельного решения

5. На клетчатой бумаге проведен отрезок AB, не проходящий по сторонам клеток. Постройте наибольшее число равнобедренных треугольников ABC с основанием AC. Решите задачу для двух отрезков, изображенных на рисунке 8. 6. На клетчатой бумаге проведен отрезок AB, не проходящий по сторонам клеток. Постройте угол ABC, равный 45q. 7. На клетчатой бумаге в ее узлах отмечены две точки. Постройте квадрат, для которого данные две точки являются противоположными вершинами.

Рис. 8

8. а) Опираясь на построение предыдущей задачи, постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку. б) Как построить центр окружности, описанной вокруг данного треугольника? 9. Нарисуйте квадрат с вершинами в узлах сетки площадью: а) 10; б) 17; в) 26 клеток.

К О НК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических $задач.^{Они}$ рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

9. Электронные часы показывают часы и минуты. Вася подошел к часам и заметил, что сейчас на них палиндром – время выглядит как AB:BA. Он решил подождать, когда это повторится, но, просидев 4 часа, так и не увидел второго палиндрома. А сколько ему еще осталось ждать? Ю.Маркелов

10. Докажите, что любое целое число, не меньшее 12, можно записать как сумму двух составных чисел. И.Митрофанов

11. На столе лежит картонный треугольник ABC. С ним несколько раз делают следующую операцию. Выбирают его вершину, обозначим ее X, переворачивают треугольник и кладут его так, чтобы точка X попала на том же место, что и раньше, и угол X треугольника совпал со своим предыдущим положением. Обозначим такую операцию $P_{X}$. Докажите, что после последовательности операций $P_{A}, P_{B}, P_{C}, P_{A}, P_{B}, P_{C}$ треугольник займет первоначальное положение. В.Расторгуев

12. В клетки прямоугольника 2 ¥ n записывают числа 1, 2, …, 2n (в каждую клетку – по одному числу). Сначала в левую нижнюю угловую клетку записывают число 1, затем в одну из соседних клеток – число 2, потом в одну из соседних с ранее занятыми – 3 и т.д.; все последующие числа записывают в клетки, соседние с ранее занятыми. Докажите, что существует ровно $2^{n} -^{1} n$! способов заполнить таблицу. В.Расторгуев