МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Окружность десяти точек вписанного четырехугольника
ЗВЕСТНО, ЧТО В ЛЮБОМ ТРЕУГОЛЬНИ - ке середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с его ортоцентром, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Эйлера или окружностью девяти точек треугольника. Аналогом окружности девяти точек для вписанного четырехугольника можно назвать окружность, о которой говорится в следующей задаче, предложенной в 2011 году на VII Международной Жаутыковской олимпиаде (Казахстан):
Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке K, точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Описанные окружности треугольников ADM и BCM пересекаются в точках M и L. Докажите, что точки K, L, M и N лежат на одной окружности (все эти точки предполагаются различными). В данной статье мы покажем, что на этой окружности, в дальнейшем будем обозначать ее P, помимо точек K, L, M и N лежат еще шесть точек. Это позволяет назвать ее окружностью десяти точек вписанного четырехугольника. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: Z ABC – описанная окружность треугольника АВС; S X – степень (см. [2]) относительно . Основная теорема. Пусть ABCD – вписанный четырехугольник (см.рисунок), M и N – середины его диагоналей, K – точка пересечения его диагоналей, О – центр описанной окружности ABCD. Пусть точки F, G, H – вторые точки пересечения
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181104
(Продолжение см. на с. 34)
М.НСАНБАЕВ
36
КВА НT 2018/№11
Рис. 1
звук одной частоты. Высоту этого тона можно изменять разными способами – выбором расстояния крышки до микрофона, уровнем громкости на колонке, величиной и формой сосуда, заменяющего крышку. На другом снимке (рис.2) резонатором служит пустой стакан. Возможны и другие, самые разнообразные варианты. Почему-то большое впечатление производит такой своеобразный резонатор из железной трубки, к которой удачно подходит изящный пластиковый элемент пробки современных бутылок – с тремя небольшими отверстиям (рис.3). Плотно вставив пластиковую деталь в трубку, очень близко подносим трубку вертикально или почти вертикально к микрофонному отверстию на передней панели ноутбука и получаем пронзительный звук. А его высоту можно изменять,
Рис. 2
Рис. 3
прикрывая в разной степени отверстия в пластиковой вставке. Можно сказать, что случайный слабый звук, попавший в микрофон, усиливается электрической системой компьютера и колонок, снова приходит в микрофон, еще проходит по тракту усиления, а одна из частот в этом звуке усиливается особенно существенно, совпадая с некоторой собственной частотой системы. При резонансе сигнал становится очень громким. Это – положительная обратная связь. Но для качественного звучания любого инструмента конструкция должна иметь и отрицательную обратную связь – для предотвращения лишних резонансов, иначе звук будет только раздражать ухо. В сущности, это предельно упрощенная модель чудесного изобретения Льва Сергеевича Термена (1896–1993), которое так и называлось «терменвокс», только в этом приборе обратная связь осуществлялась электрическим путем. Приближение руки исполнителя изменяло емкость колебательного контура в генераторе, и его частота повышалась или понижалась. Затем это переводилось в звук, и на инструменте (не прикасаясь к нему!) удавалось воспроизводить мелодии с уникальным звучанием. Короче говоря, предлагаемый опыт представляет широкое поле возможностей для школьника – например, выбирающего тему для проекта и доклада на ученической конференции.