КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»
Несложно показать, что копиями любого треугольника и любого четырехугольника (даже невыпуклого) можно замостить плоскость (см. верхний ряд рисунков). Сложнее показать, что ни одним выпуклым многоугольником с семью и более сторонами нельзя замостить плоскость и что только три семейства выпуклых шестиугольников допускают такое замощение. Самый сложный случай – пятиугольники. К концу XX века было найдено 14 семейств выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость, еще одно, 15-е семейство обнаружено в 2015 году (см. «Калейдоскоп «Кванта» №5 за 2017 г.); а доказательства, что это все семейства, до сих пор нет.
ществует всего два семейства двумерных параллелоэдров – параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники. В трехмерном пространстве параллелоэдры были классифицированы Е.Федоровым в 1885 году. Существует пять семейств трехмерных параллелоэдров с разными комбинаторными типами. Наиболее «правильные» представители семейств – куб, правильная шестиугольная призма с равными ребрами, ромбододекаэдр, удлиненный ромбододекаэдр, усеченный октаэдр (см. рисунки справа). Все остальные получаются из них аффинными преобразованиями, а также операциями «удлинения» параллельных ребер.
Для многих выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость, необходимо, чтобы некоторые их копии были повернуты или отражены относительно некоторой прямой. Исключениями являются параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники; ими можно замостить плоскость, используя только параллельные переносы (см. нижний ряд рисунков). В произвольной размерности выпуклый многогранник, копиями которого можно заполнить все пространство, используя только параллельные переносы, называется параллелоэдром. Таким образом, су-
С ростом размерности число семейств растет очень быстро. Если в четырехмерном пространстве ровно 52 семейства параллелоэдров, то в более высоких размерностях даже точное их количество неизвестно. Известно лишь, что в пятимерном пространстве существует не менее 110 244 различных семейств параллелоэдров, а в шестимерном – не менее полумиллиарда. Справа изображены также развертки всех пяти трехмерных параллелоэдров. Сможете ли вы собрать соответствующие замощения для каждого из них? Материал подготовил А.Гарбер
Рисунки М.Панова
Замощения параллелоэдрами