XL Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XL Турнир городов

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2018 ГОД)

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (4)^{1}$ Окружность, проходящая через вершину B прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, пересекает катеты этого треугольника в точках M и N. Оказалось, что AC = 2MN. Докажите, что M и N – середины катетов треугольника ABC. М.Евдокимов

2. (4) Найдите все натуральные n, удовлетворяющие условию: числа 1, 2, 3, …, 2n можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, то получится квадрат натурального числа. Фольклор

3. Клетчатый прямоугольник размера 7 u 14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2 u 2 и уголки из трех клеток. Могло ли квадратов получиться: а) (1) столько же, сколько уголков; б) (3) больше, чем уголков? М.Евдокимов

4. (5) У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – они весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжелая, а какая более легкая? Р.Женодаров

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

5. (5) Назовем девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 1000 красивых чисел, каждое из которых делится на 37. М.Евдокимов

10–11 классы

1. (3) Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом? (Углом, под которым виден из точки A отрезок XY, называется угол XAY.) Е.Бакаев, С.Дворянинов

2. (4) См. задачу 2 для 8–9 классов. 3. (5) В параллелограмме ABCD угол А острый. На стороне AB отмечена такая точка N, что CN = AB. Оказалось, что описанная окружность треугольника CBN касается прямой AD. Докажите, что она касается ее в точке D. М.Евдокимов

3. (5) Назовем девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 2018 красивых чисел, каждое из которых делится на 37. М.Евдокимов

4. (5) См. задачу М2538 «Задачника «Кванта».

Сложный вариант

8–9 классы

1. (5) В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, точка E – произвольная точка внутри стороны AC. Известно, что BE t 2 AM. Докажите, что треугольник ABC тупоугольный. Н.Седрякян 2. (6) См. задачу М2534 «Задачника «Кванта».

2. (8) См. задачу М2535 «Задачника «Кванта».

3. (8) Доска 7 u 7 либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль

51

ОЛИМПИАДЫ

2 u 2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включенный детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблем. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает? Р.Женодаров

5. (8) Равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Прямая BO пересекает отрезок AD в точке E. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ – центры окружностей, описанных около треугольников ABE и DBE соответственно. Докажите, что точки $O_{1}, O_{2}, O, C$ лежат на одной окружности. А.Заславский

6. а) (7) См. задачу М2539, а «Задачника «Кванта». б) (3) См. задачу М2539, б «Задачника «Кванта».

7. В виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. Некоторые пары городов соединены дорогой, причем из любого города можно добраться по дорогам до любого другого (здесь и далее переходить с дороги на дорогу разрешается только в городах). Если при этом невозможно, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город, государство называется простым, иначе – сложным. Петя и Вася играют в такую игру. В начале игры Петя указывает на каждой дороге направление, в котором по ней можно двигаться, и помещает в один из городов туриста. Далее за ход Петя перемещает туриста по дороге в разрешенном направлении в соседний город, а Вася в ответ меняет направление одной из дорог, входящей или выходящей из города, куда попал турист. Вася победит, если в какой-то момент Петя не сможет сделать ход. Докажите, что: а) (5) в простом государстве Петя может играть так, чтобы не проиграть, как бы ни играл Вася; б) (7) в сложном государстве Вася может гарантировать себе победу, как бы ни играл Петя. М.Дидин

10–11 классы

1. (5) См. задачу М2534 «Задачника «Кванта».

2. (7) В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC с центром описанной окружности O проведены высоты $AH_{a}$ и $BH_{b}$. Точки X и Y симметричны точкам $H_{a}$ и $H_{b}$ относительно середин сторон BC и CA соответственно. Докажите, что прямая CO делит отрезок XY пополам. Фольклор

3. а) (6) См. задачу М2539, а «Задачника «Кванта». б) (2) См. задачу М2539, б «Задачника «Кванта».

4. (8) См. задачу М2536 «Задачника «Кванта».

5. (8) Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k больше 30q. Каково наибольшее возможное значение k? Н.Седракян 6. (9) См. задачу М2537 «Задачника «Кванта».

6. Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется n > 1 городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокфеллер выбирает по одному жителю из каждого города, а Маркс перераспределяет между ними их деньги произвольным образом с единственным условием, чтобы распределение не осталось таким, каким только что было. Рокфеллер выиграет, если в какой-то момент в каждом городе будет хотя бы один человек без денег. Докажите, что Рокфеллер может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл Маркс, если в каждом городе: а) (10) ровно 2n жителей; б) (4) ровно 2n – 1 жителей. Г.Погудин Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников, А.Семёнов