Задачи М2562—М2565; Ф2569—Ф2572

З АДА Ч НИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2562 – М2564, М2565а предлагались на заключительном этапе XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2569–Ф2572 предлагались на Интернет-олимпиаде СУНЦ в 2018/19 учебном году. Автор задач – С.Варламов.

Задачи М2562–М2565, Ф2569–Ф2572

M2562. Каждой точке A плоскости сопоставлено вещественное число f ( A ). Известно, что если M – точка пересечения медиан треугольника ABC, то f ( M ) = = f ( A ) + f ( B ) + f ( C ). Докажите, что f ( A ) = 0 для всех точек A. А.Голованов

M2563. Паша и Вова играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Паша. Изначально перед мальчиками лежит большой кусок пластилина. За один ход Паша может разрезать любой из имеющихся кусков пластилина на три части. Вова своим ходом выбирает любые два куска и слепляет их вместе. Паша побеждает, если в некоторый момент среди имеющихся кусков пластилина окажется 100 кусков одинаковой массы. Может ли Вова помешать Паше победить? Р.Ефремов, Д.Белов

M2564. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AC < BC (рис. 1). Окружность проходит через точки A и B и пересекает отрезки CA и CB повторно в точках $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и $A_{1} B_{1} C$ пересекаются повторно в точке P. Отрезки $AB_{1}$ и $BA_{1}$ пересекаются в точке S. Точки Q и R симметричны S относительно пря-

Рис. 1

мых CA и CB. Докажите, что точки P, Q, R и C лежат на одной окружности. Д.Прокопенко

$M2565^{*}$. а) Даны n монет попарно различных масс и n чашечных весов, n > 2. При каждом взвешивании разрешается выбрать какие-то одни весы, положить на их чаши по одной монете, посмотреть на показания весов и затем снять монеты обратно. Какие-то одни из весов (неизвестно, какие) испорчены и могут выдавать случайным образом как правильный, так и неправильный результат. За какое наименьшее количество взвешиваний мож-

22

КВА НT 2019/№6

наблюдаемо и многократно воспето поэтами, а радио-, ИК, УФ, рентгеновское и гамма-излучения уверенно регистрируются приборами. Однако общая теория относительности (ОТО) предсказывает и гравитационные волны, которые должны возникать при колебаниях форм массивных звезд. Принципиально важно и практически заманчиво научиться регистрировать эти волны. Ведь в принципе, например, любой студент, ускоренно перемещаясь из лекционного зала в буфет, изменяет распределение масс во Вселенной. Человечество уже почти сто лет изучает возможность зарегистрировать на Земле гравитационные волны, идущие к нам из мирового пространства. Детекторы, использованные Дж.Вебером (шестидесятые годы прошлого века) могли «почувствовать» деформацию принимающего устройства с точностью до $10^{16}$ м – в десять раз меньше радиуса протона! В опытах В.Б.Брагинского (конец прошлого – начало нынешнего века) порог чувствительности плотности потока энергии достигал $10^{9}$ Вт $м^{2}$. А сравнительно недавно следящая система зарегистрировала гравитационные волны от двойной черной дыры общей массой почти в сотню масс нашего Солнца, удаленной от нас на 400 мегапарсеков (1 парсек = 3 ˜ $10^{16}$ м). Конечно, обе ее части вращались вокруг общего центра масс (например, как Земля и Луна) с громадной и все возрастающей скоростью порядка скорости света («порядка» ни в коем случае не означает «равной»). А поскольку расстояние между ними изменялось, возникала сильная приливная деформация этих звезд и окружающего пространства, что и породило гравитационные волны (рис.2). И если колебания капли воды характеризуются не только набором частот, но и форм – чего уж тут ждать от звезд! Среди спектра этих колебаний важную роль играют квадрупольные моды. В результате слияния образовалась единая черная дыра массой в $62 0_{⊙}$ (где $0_{⊙} 2$ ˜ $10^{30}$ кг – масса Солнца ), на излучение гравитационных волн ушла энергия $3 0_{⊙} c^{2}$ (где c 3 ˜ $10^{8}$ м с – скорость света), а максимальное значение гравитационной «светимости» достигло 3,6 ˜ $10^{49}$ Вт, что эквивалентно мощности в $200 0_{⊙} c^{2}$ джо-

Рис. 2. Слияние пары черных дыр. Верхний ряд – последовательные фазы процесса. Средний – соответствующие колебания напряженности гравитационной волны (условные единицы), полученные в результате численных исследований на основе ОТО. Внизу – изменение со временем расстояния r между звездами и их относительной скорости ’ v (отнесенной к скорости света)

улей в секунду. Конечно, до Земли дошел лишь очень слабый «звук». Один из исследователей сравнил трудности выделения нужных сигналов с попыткой расслышать шепот приятеля на другом конце шумного кафе. Пожалуй, и это сравнение недостаточно яркое – «услышать» гравитационный сигнал при помощи одного детектора еще труднее. Итак, в двух точках США на расстоянии приблизительно 3000 км друг от друга были установлены два детектора. Гравитационная волна должна была пройти этот путь приблизительно за 10 микросекунд в предположении, что ее скорость равна скорости света. Основываясь на этом, из громадного множества шумов удалось выделить два похожих сигнала, сдвинутых во времени относительно друг друга на известную величину запаздывания (рис.3). Частота зарегистрированных колебаний лежала в пределах 35–250 Гц. При этом надежность эксперимента считается очень высокой: вероятность ложного срабатывания приборов оценивается как одно событие в 203 тысячи лет.