А так ли хорошо знакомы вам физика + техника?

…начало судостроения восходит задолго до всякой письменности и всякой истории… Алексей Крылов

Можно сравнить сопротивление тел между собой и находить те, которые приспособлены к продолжению своего движения в сопротивляющейся среде. Исаак Ньютон

…всюду в угольных районах…паровые машины везут уголь! Сами по себе везут, без помощи четвероногих! Евгений Тарле

…многие с незапамятных времен смотрели на ракету как на один из способов воздухоплавания. Константин Циолковский

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+техника

Как можно было бы человеку заниматься строительством и обрабатывать различные материалы – а именно об этом шла речь в наших предыдущих физико-технических выпусках, – если бы не было возможности перемещать разнообразные грузы да и передвигаться самому? Вот и пришлось ему ломать голову над поиском приспособлений, позволяющих перевозить больше и быстрее, иными словами – решать ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ. Многие столетия нас выручали колесные повозки, весла и паруса – с их помощью удавалось осваивать огромные пространства и даже открывать новые континенты. Но вот на смену «лошадиным силам» и попутным ветрам пришли новые машины, значительно более мощные и скорые. Активно «впитывая» достижения науки, транспортная техника буквально за два последних века кардинально изменила представления о земных масштабах и времени достижения любой точки нашей планеты. Сегодня нас уже не удивить дронами и беспилотными автомобилями, судами на подводных крыльях и воздушной подушке, самолетами на солнечных батареях и туристскими полетами по околоземным орбитам. Что будет завтра? Попробуем представить себе наше транспортное будущее, правда, отталкиваясь пока только от хорошо известных средств передвижения.

Вопросы и задачи

1. Наши далекие предки пользовались на грунтовых дорогах арбами – повозками с большими колесами. В чем преимущество такого вида транспорта? 2. Как легче сдвинуть с места арбу – прилагая силу к ее корпусу или к верхней части обода колеса? 3. Велосипедист легко развивает силу тяги 100 Н. Сила трения не превышает 50 Н. Казалось бы, за несколько часов можно развить вторую космическую скорость, однако это невозможно. Почему? 4. Зачем на автомобильных шинах делают рельефный рисунок (протектор)? С какой целью он содержит и поперечные и продольные полосы? 5. При движении по песку или снегу рекомендуют давление воздуха в шинах автомобиля уменьшить. Для чего? 6. Каков смысл установки крыльев на гоночных автомобилях? 7. Чтобы сдвинуть с места тяжелый железнодорожный состав, машинист сначала дает задний ход. Почему? Если же резко тронуть вперед состав, то в какой части поезда может произойти разрыв сцепок? 8. Зачем парусным яхтам большой киль? 9. Почему у колесных кораблей движитель – колесо – не погружалось в воду целиком, в то время как у современных кораблей винт полностью погружен в воду?

10. Судно перешло из реки в море. Мощность двигателей не изменились. А осталась ли прежней скорость судна относительно воды? 11. Можно ли применять паруса и руль для управления полетом воздушного шара? 12. Вертолет, стоящий на горизонтальной поверхности земли, поднялся и завис на небольшой высоте. Когда вертолет действовал на землю с большей силой? 13. Изменяется ли при полете с включенным двигателем и расходуя топливо положение центра тяжести самолета в системе отсчета, связанной с его корпусом? 14. Почему при равномерном горизонтальном полете тяжело нагруженный самолет движется медленнее ненагруженного? 15. Отчего с повышением температуры воздуха мощность воздушных реактивных двигателей уменьшается? 16. Ракета летит с работающим двигателем, причем скорость ракеты больше скорости вылета реактивной струи из двигателя. Увеличивается ли при этом скорость ракеты?

Микроопыт

Наверняка при езде на велосипеде вы обращали внимание на используемые в нем простые механизмы – руль, педали, цепную передачу. В каких из них и в чем добиваются выигрыша?

Любопытно, что…

…изобретению колеса предшествовало длительное овладение вращательным движением – от верчения деревянной палочки для получения огня, использования гончарного круга и подъемных приспособлений до применения круглого бревна при перевозке тяжестей. …уже мореплаватели Древнего Египта умели управлять силой ветра: паруса их судов постепенно приняли оптимальную по тем временам форму. …Ньютону, занимавшемуся, в том числе, и аэродинамикой, удалось установить квадратичную зависимость силы сопротивления среды от скорости, так важную впоследствии для дозвуковой авиации. При бульших скоростях эта зависимость становиться кубической, что было подмечено артиллеристами около ста лет назад, когда самолеты еще только начали обгонять птиц.

…появление локомотива – паровой машины на рельсах – и изобретение парохода в начале XIX века произвели форменную революцию в транспортной технике. …при транспортировке огромного камня для пьедестала «Медного всадника» в Петербурге использовались подкладываемые под него чугунные шары – прообразы будущих шарикоподшипников, получивших распространение лишь в 80-х годах XIX века. Благодаря этому трение скольжения было заменено в десятки раз меньшим трением качения. …Д.И.Менделеев, без пилота совершивший полет на воздушном шаре, утверждал, что покорение атмосферы будет осуществляться с помощью аэростатов, а не машин тяжелее воздуха. К.Э.Циолковский до начала занятий теорией ракетного движения разрабатывал принципы построения цельнометаллического дирижабля. …инженеры Массачусетского технологического института создали двухместный летающий автомобиль. По земле он движется со сложенными крыльями, а в воздухе развивает скорость до 185 километров в час с полезной нагрузкой до 195 килограммов. …менее года назад лодка-робот, управляемая автопилотом, пересекла Атлантический океан. Бортовую электронику питали установленные на палубе солнечные батареи, а движителем был парус в форме трапеции.

…идею устанавливаемого на беспилотник прибора, позволяющего отследить опасное сближение с другими машинами, его создатели позаимствовали…у саранчи. Этим насекомым удается не сталкиваться ни между собой, ни с попавшимися на их пути птицами – и это несмотря на то, что в стаях саранчи плотность особей достигает 80 миллионов на квадратный километр!

Что читать в «Кванте» о транспорте

(публикации последних лет)

1. «Как воздух сопротивляется движению тела» – 2015, №1, с.35; 2. «Ракета на водяном паре…» – 2016, Приложение №2, с.87; 3. «Движение автомобилей и живых существ…» – 2017, №1, с.36; 4. «Какой бывает колея» – 2017, №7, с.21; 5. «Потеря управляемости» – 2018, №7, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

27

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

Рис. 3

Рисунок 3 объясняет, зачем в формулировке теоремы использован модуль. Из изложенного выше сразу следует такое утверждение. Теорема 2. Высоты треугольника являются биссектрисами (или внешними биссектрисами) его ортотреугольника, т.е. треугольника, образованного основаниями высот. В обозначениях нашего чертежа это означает, что ‘ $C_{1} A_{1} A$ ‘ $B_{1} A_{1} A$, ‘ $A_{1} B_{1} B$ ‘ $C_{1} B_{1} B$ и ‘ $B_{1} C_{1} C$ ‘ $A_{1} C_{1} C$. Мы советуем доказать этот факт самостоятельно. Давайте разберем, как уже один этот факт может помочь справиться с не очень простой задачей. Рассмотрим задачу из Британской математической олимпиады 2012 года (автор – Dr. David Monk). Задача 1. Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть D, E и F – основания высот, опущенных из вершин A, B и C соответственно. Докажите, что DE DF d BC, и найдите треугольники, для которых выполняется равенство. Решение. На рисунке 4 отмечены (уже известные нам) равные углы. Кроме того, раз есть сумма отрезков, хотелось бы «выпрямить» конфигурацию, отложив их на одной прямой. Также ясно, что потребуется неравенство треугольника. Отсюда мы и получаем решение. Пусть F c – образ F при отражении относительно BC. Заметим, что так как ‘ BFC ‘ BEC ‘ BF c C 90 q, то BFECF c вписан в окружность с диаметром BC. Отметим, что ‘ EDC ‘ FDB (по теореме 2), а также ‘ BDF c ‘ BDF из соображений симметрии. Следовательно, E, D и F c лежат на одной прямой. Также из симметрии можно заметить, что DF DF c, следовательно, F c E ED DF. Осталось доказать, что EF c d BC. Действительно, BC – диаметр, а следовательно, длиннейшая хорда окружности.

Рис. 4

Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда F c E – тоже диаметр, следовательно, D – центр окружности, тогда BD = DC, поэтому AD – медиана и высота треугольника. Значит, ’ ABC – равнобедренный. Вернемся к теореме 1. Рассмотрим в качестве одного из ее многочисленных применений задачу Санкт-Петербургской олимпиады школьников (автор – С.Л.Берлов). Задача 2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает прямые AB и $A_{1} B_{1}$ в точках L и K соответственно (рис.5). Оказалось, что CL = = 2CK. Найдите угол C треугольника.

Рис. 5

Решение. Докажем, что ’ $KB_{1} C_{»}$ ’ LBC. Действительно, ‘ $B_{1} CK$ ‘ BCL (рис.6), так как CL – биссектриса внешнего угла при

Рис. 6

вершине C. Видим, что ‘ $KB_{1} C 180 q$ ‘ $A_{1} B_{1} C 180 q$ ‘ ABC (по теореме 1), 180 q ‘ ABC ‘ CBL. Следовательно, ’ $KB_{1} C_{»}$ ’ LBC по двум углам. Из подобия треугольников следует равенство отноше-

31

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Рис. 13

Знание этого факта может очень помочь при решении задач. Например, рассмотрим задачу из Московской устной олимпиады по геометрии (автор – А.А.Заславский). Задача 11. B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60q. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник (рис.14).

Рис. 14

Решение. По доказанному ранее, ортоцентр, точка пересечения медиан и центр описанной окружности лежат на одной прямой, поэтому прямая, данная в условии содержит точку пересечения высот. Обозначим вершины треугольника A, B и C, ‘ BAC 60 q. Пусть H – ортоцентр треугольника, O – центр его описанной окружности, K, L – точки пересечения OH с AB и

Рис. 15

КРУЖОК

AC соответственно (рис.15). Тогда, по теореме 7, AH 2 R cos ‘ BAC R AO. Следовательно, ’ OAH равнобедренный, откуда ‘ AOK ‘ AHL. Так как, по доказанному ранее, ‘ BAO ‘ CAH, то ’ AHL ’ AOK по стороне и двум углам. Значит, AK = AL. Следовательно, ’ KAL равнобедренный, а значит (так как ‘ A 60 q ), и равносторонний. Как всегда, теперь вам предстоит решить еще одну задачу уже самостоятельно. Задача 12. В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности. Докажите, что если ‘ A d ‘ B d ‘ C, то AH BH t 2 R.

В заключение приведем несколько задач для самостоятельного решения, ключевые идеи которых связаны с нашим главным чертежом. Задача 13. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон с вписанной окружностью, лежит на высоте, проведенной из прямого угла. Задача 14. В треугольнике ABC известно, что – $C = 60 \infty$, – $A = 45 \infty$. Пусть M – середина BC, H – ортоцентр. Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC. Задача 15. В треугольнике ABC точка $H_{1}$ симметрична ортоцентру H относительно вершины C, а точка $C_{1}$ симметрична точке C относительно середины стороны AB. Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника ABC, является серединой отрезка $H_{1} C_{1}$. Задача 16. В треугольнике ABC проведены высоты $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Оказалось, что точка C¢, симметричная точке C относительно середины отрезка $A_{1} B_{1}$, лежит на прямой AB. Докажите, что описанная окружность треугольника $A_{1} B_{1}$ C¢ касается прямой AB. Задача 17. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Описанная окружность треугольника $AB_{1} C_{1}$ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K, отличной от A. Докажите, что прямая KH проходит через $A_{0}$, где $A_{0}$ – середина BC, H – ортоцентр треугольника.