16
КВАНТ 2020/№8
ции Турнира городов – сочинял задачи, читал лекции, был членом жюри различных олимпиад и конференций. Беседовал с докладчиками, объяснял им возможности развития тем их докладов, был всегда внимательным, доброжелательным и заинтересованным. Когда в конце 60-х годов возникла идея создания научно-популярного физико-математического журнала для школьников, Николай Борисович активно подключился к этой работе. Он был бессменным членом редколлегии и постоянным автором «Кванта». По его инициативе в журнале возник один из главных и, пожалуй, самых знаменитых разделов – «Задачник «Кванта», которым Николай Борисович неизменно руководил с момента основания журнала и до конца своих дней (его не стало 28 мая 1998 года). Задачи были главной страстью Н.Б.Васильева. Как и в музыке и вообще в искусстве, в задачах он особенно ценил подлинную красоту и оригинальность идеи. Он был выдающимся композитором математических задач. Его задачи – а их многие десятки – выделяются отточенностью формулировок и решений, глубиной и связями с «большой» математикой. Кроме того, он как никто умел увидеть и выявить изюминку в присланной другим автором задаче, найти наиболее привлекательную
формулировку, обнаружить возможные обобщения и дальнейшее развитие сюжета задачи, ясно и красиво изложить решение, зачастую сопроводить его комментариями и отсылками к литературе – для тех, кто захочет глубже разобраться в проблеме. Все это сделало «Задачник «Кванта» тем, что он есть: огромным корпусом глубоких и содержательных задач, под влиянием которых выросли целые поколения ученых. Николай Борисович также автор более тридцати статей, без сомнения входящих, в число лучших публикаций «Кванта». Многие статьи написаны в соавторстве с другими математиками. Умение увидеть и выделить главное сочеталось в нем с недюжинными литературными способностями; Васильев обладал редкостным даром прозрачно и четно излагать самые сложные математические сюжеты. Зная это его умение, многие математики приносили в редакцию свои статьи и просили Николая Борисовича помочь довести их «до ума». Он никогда в этом не отказывал, а в некоторых случаях статья настолько улучшалась, что авторы просили его стать их соавтором. На протяжении без малого сорока лет журнал «Квант» и Николай Борисович Васильев были неразрывно связаны. Трудно найти номер журнала, в котором не
Не будет преувеличением сказать, что каждый молодой человек, кто в течение последних тридцати лет начал в той или иной форме свой путь в математику, одним из первых слышал или читал имя Николая Борисовича Васильева. Оно было известно всем – и тем, кто участвовал в различных математических олимпиадах, и тем, кто интересовался «внеклассными» математическими статьями и книжками, и тем, кто увлекался причудливой игрой ума в решении математических задач. Этого человека просто боготворили юные, делавшие лишь первые шаги в математике, они гордились возможностью вместе с ним устраивать математические соревнования, придумывать задачи, обсуждать темы и содержание статей. Его горячо любили и высоко ценили ровесники – за преданность науке и бескорыстное служение образованию молодежи, за честность человеческих отношений и чудесный характер, за то, что с ним было надежно работать. Он пользовался бесспорным авторитетом у более старших корифеев математики, многих из них уже нет с нами, – за исключительную компетентность и многогранную образованность, за талант ученого и преподавателя, популяризатора и организатора, за то, что во главу угла всегда ставил только интересы дела. И практически все называли его тепло и по-семейному – просто Коля. Н.Х.Розов, 1998 год
18
КВАНТ 2020/№8
среди этих многоугольников найдутся два равных. (Четвертая Всесоюзная олимпиада, 1970 год, Симферополь)
Рис. 1
шестиугольников со стороной 1 (рис.1). Жук, двигаясь по линиям сети, прополз из некоторого узла А в некоторый узел В по кратчайшему пути, равному 100. Докажите, что половину всего пути он полз а одном направлении (Четвертая Всероссийская олимпиада, 1964 год, Москва)
6 («Игра Васильева»). Написано 20 чисел: 1, 2, …, 20. Двое играющих по очереди ставят перед этими числами знаки «+» или «–» (знак можно ставить перед любым свободным числом). Первый стремится к тому, чтобы после расстановки всех 20 знаков сумма всех чисел была как можно меньше по модулю. Какую наибольшую по модулю сумму может обеспечить себе второй игрок? (Шестая Всероссийская олимпиада, 1966 год, Воронеж)
7 («Фигуристы»). После выступлений 20 фигуристов каждый из 9 судей по своему усмотрению распределяет среди них места с 1-го по 20-е. Оказалось, что у кадого фигуриста места, присвоенные ему разными судьями, отличаются не более чем на 3. Подсчитаем суммы мест, полученных каждым фигуристом, и расположим эти числа в порядке возрастания: . Какое наибольшее значение может иметь ? (Вторая Всесоюзная олимпиада, 1968 год, Ленинград)
8 («Разноцветный многоугольник»). Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что
9 («Нервные сети»). В бесконечной цепочке нервных клеток каждыя клетка может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальный момент времени t 0 возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться, как показано на рисунке 2. (Возбужденные клетки – черные.)
Рис. 2
Пусть в начальный момент времени t 0 возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находиться в возбужденном состоянии через 15 мсек? через 65 мсек? через 1000 мсек? через t мсек? Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а содержит всего N клеток, соединенных в окружность (рис.3), – будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет? («Задачник «Кванта», Рис. 3 задача М19)
10 («Параллелепипеды»). В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых все эти точки служат вершинами? (Седьмая Всесоюзная олимпиада, 1973 год, Кишинев)