Задачи

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

ких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше 15?

2. а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? б) А если девочек 11, а мальчиков 10?

не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева – не пятерка?

3. В каждой клетке квадрата 8u8

Автор этих задач – Н.Б.Васильев

Иллюстрации Д.Гришуковой

4. Каких пятизначных чисел больше:

клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из несколь-

28

КВАН T 2020/№8

для n 4 получится бесконечная цепочка примеров для всех четных n. Возможна такая «перестройка» многоугольника: возьмем один из его маленьких углов и вырежем из него параллелограмм, как изображено на рисунке 3. Один ма-

Рис. 3

ленький угол превратится в два равных ему маленьких и один большой.

Упражнение 3. Придумайте другую «перестройку», добавляющую к многоугольнику две вершины.

Итак, для многоугольников с четным количеством сторон есть серия примеров. Осталось понять, при каких нечетных n существуют подходящие n-угольники. Рассмотрим среди всех таких n наименьшее, обозначим его M. Тогда для всех нечетных n, бульших M, подходящий пример можно будет получить, нужное число раз повторив «перестройку» (также надо будет убедиться в наличии хотя бы одного маленького угла в исходном примере, чтобы «перестройку» можно было осуществить). Осталось найти M. В приведенном выше рассуждении скрылась неточность: такого наименьшего n может и не существовать – если подходящих примеров для нечетных n нет вовсе. Но сейчас мы такой пример приведем.

Первый пример Вернемся к конструкции на рисунке 2. При $J = 180 \infty$ такой «четноугольник» превратится в «нечетноугольник» (рис.4). Для

Рис. 4

какого наименьшего n устроенный таким образом пример существует? Сумма углов $E_{1} + E_{2} +^{…} + E_{k}$ должна быть больше $180\infty$, но все слагаемые в сумме меньше $10\infty$, значит, их хотя бы 19. Тогда всего вершин не менее 19 20 39. Нетрудно понять, что нужные значения углов подобрать возможно. Итак, пример на n 39 получен, а значит, M £ 39.

Первая оценка Некоторый пример получен, теперь давайте получим какую-нибудь оценку на количество сторон подходящего многоугольника. Снова будем рассматривать направления, но иначе. Начнем обход границы многоугольника против часовой стрелки и будем следить за тем, как меняется направление, в котором мы движемся. Так как в подходящем многоугольнике каждый угол либо маленький, либо большой, то при переходе на очередную сторону направление, в котором мы движемся, меняется на почти противоположное. Затруднений с примером для четного n как раз и не возникает – при обходе направление меняется на почти противоположное четное количество раз и становится исходным. В случае же нечетного n нам потребуется оценить возможный вклад этих «почти». Можно считать, что направлениям соответствуют лучи, выходящие из одной точки. На рисунках 5,a и 6,а показаны обходы многоугольников, а на рисунках 5,б и 6,б начала тех же лучей-направлений обхода перенесены в одну точку. Будем следить за тем, на какой угол изменяется направление. Некоторые повороты происходят по часовой стрелке, некоторые – против часовой. Направление

Рис. 5

31

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

i a - b £ - 1, тогда $10 \infty$ ◊ $b > 180 \infty$ ◊ 3, т.е. $n \ge b \ge 55$. Итак, во всех случаях количество вершин не меньше 35: $M \ge 35$.

Получаем пример

Из оценки следует, что вариант n 35 возможен лишь при a 19, b 16. Это помогает придумать пример: 4 подряд маленьких угла (в порядке обхода границы многоугольника), затем большой угол, затем снова маленький и так далее – маленькие углы чередуются с большими (рис.11).

Рис. 11

Осталось показать, что устроенный таким образом пример действительно существует и нам не помешают какие-нибудь противоречия, на которые мы еще не обратили внимания. Построение примера можно описать так. Возьмем треугольник, два угла которого меньше $10\infty$, а третий – меньше $170\infty$ (например: 9q, 9q, 162q). Больший его угол разрежем еще на 17 маленьких углов (на рисунке $12 их^{8).}$ Получится замкнутая ломаная, у которой часть звеньев друг на друга накладываются. В нем 19 маленьких углов и 16 углов в $360\infty$ (на рисунке они отмечены красным). Осталось последовательно подвигать вершины, чтобы стороны перестали накладываться друг на друга, но при этом маленькие углы остались маленькими. Таким образом будет получен искомый многоугольник. $Итак,^{M} = 35$. Задача решена.

Рис. 12

ШКОЛЬНИКОВ

Напоследок приведем еще две интересные задачи на затронутые темы.

Дополнительные задачи

1 (В.Произволов, «Задачи на вырост»). Каждый из углов 19-угольника кратен $10\infty$. Докажите, что у него найдутся две параллельные стороны.

2. Какое наибольшее количество острых углов может быть а) в выпуклом, б) в произвольном n-угольнике?