Задачи М2614—М2617; Ф2621—Ф2624

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2614–М2617, Ф2621–Ф2624

M2614. В таблице n u n разрешается переставлять местами строки, а также переставлять местами столбцы. В некоторых k клетках таблицы расставляют звездочки. При каком наибольшем k всегда можно добиться того, чтобы все звездочки стали находиться по одну сторону от главной диагонали (при этом на самой главной диагонали звездочек тоже не должно быть)? П.Кожевников

M2615. В треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон CA и AB в точках $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно (см. рисунок). На стороне AB выбрана произвольная точка D. Точка L – центр вписанной окружности треугольника BCD. Пусть биссектриса угла ACD пересекает прямую $B_{1} C_{1}$ в точке M. Докажите, что ‘ CML 90 q. Чан Куанг Хюнг (Вьетнам)

M2616. Докажите, что если p t 5 – простое число, то число p p p

§ p 1! $\cdot$ § p 1! $\cdot$ § p 1! $\cdot$ ¨ ¸ ¨ $¸^{…}$ ¨ ¸ $©^{1}$ ¹ © 2 ¹ © $p^{1}$ ¹ делится на $p^{3}$. И.Вайнштейн

M2617*. Плоскость покрашена в 100 цветов. Докажите, что найдутся три точки одного цвета, являющиеся вершинами треугольника площади 1. В.Брагин

Ф2621. Утром 21 марта в Москве длина тени елочки высотой в 1 метр в некоторый момент времени в три раза больше ее высоты, и это отношение уменьшается. Сколько времени прошло с момента восхода Солнца? Какова скорость изменения длины тени? С.Варламов

Ф2622. Водитель легкового автомобиля массой M 1000 кг в дальней поездке по прямой (из Москвы в Белгород) возле километрового столба с отметкой 100 км установил на счетчике пути значение 000,0 км. Проезжая мимо столба с отметкой 200 км, он увидел, что счетчик пути показал 101,0 км. Водитель остановил машину, подкачал все колеса от давления $p_{1} 1,1$ атм до положенных $p_{2} 2$ атм и продолжил путь. Возле столба с отметкой 300 км счетчик пути показал 201,0 км. Водитель удовлетворенно хмыкнул и поехал дальше, не останавливаясь. Каков