Решения задач М2610—М2613; Ф2617—Ф2620

19

ЗАДАЧНИК

воду. Делали это очень аккуратно, так что ни одного пузырька воздуха в трубе не оказалось. Труба с водой внутри долгое время в неподвижности «висела» посреди космической лаборатории, пока ее случайно не толкнули в направлении оси симметрии. Толчок был кратковременным, ’ $t 10^{3}$ с, и труба приобрела скорость v 1 см с. В дальнейшем труба то останавливалась, то вновь двигалась с приобретенной при ударе скоростью. Через большое время скорость трубы с водой установилась и стала равной 0,5 см с. Оцените период колебаний системы «вода-труба». Коэффициент поверхностного натяжения воды V 0,07 Дж $м^{2}$. Вязкостью воды при расчете периода колебаний можно пренебречь. Г.Агарин

Ф2631. Коллекторный двигатель постоянного тока, имеющийся в электродрели, при подаче на него напряжения 100 В вращается (на холостом ходу), делая в установившемся режиме 1000 оборотов в минуту. При сверлении отверстия в дереве двигатель производит механическую мощность 100 Вт на 700 оборотах в минуту при напряжении на нем 100 В. Какую максимальную механическую мощность сможет в течение длительного времени развивать такой двигатель, если на него подать напряжение 220 В? Д.Релев

Ф2632. Для звукового усилителя используется блок питания с трансформатором. В нем есть двухполупериодный выпрямитель из четырех идеальных диодов. Первичная обмотка трансформатора включена в сеть (220 В, 50 Гц). На выходе вторичной обмотки эффективное напряжение равно U 12 В, оно подано на этот самый выпрямитель. Амперметр постоянного тока, включенный между выпрямителем и усилителем, показывает средний ток I 1 А. Усилитель работал, но противно гудел на частоте 100 Гц и ее гармониках, так как конденсатор, стоявший на выходе выпрямителя параллельно нагрузке, вышел из строя. В распоряжении Васи оказались два конденсатора емкостями

«КВАНТА»

$C_{1} C_{2} 10^{3}$ мкФ и две катушки индуктивностями $L_{1} L_{2}$. Вася собрал такую схему, что гудение на частоте 100 Гц пропало вовсе, а на других частотах значительно уменьшилось. Нарисуйте схему, придуманную Васей. Чему равно сопротивление нагрузки? Какова индуктивность катушек? Считайте, что нагрузка представляет собой активное сопротивление и оно оставалось неизменным. С.Дмитриев

Решения задач М2610–М2613, Ф2617–Ф2620 M2610. Вершины правильного стоугольника покрашены в 10 цветов. Докажите, что можно выбрать 4 вершины этого стоугольника, являющиеся вершинами прямоугольника и покрашенные не более чем в два различных цвета. Впишем данный стоугольник в окружность. Рассмотрим каждый из 50 диаметров, образуемых вершинами стоугольника. Заметим, что если среди них есть два диаметра, для которых набор цветов вершин совпадает, то четыре конца этих диаметров образуют подходящий под условие прямоугольник. Вариантов раскрасить концы диаметра в два различных цвета (без учета порядка) всего 10 ˜ 9: 2 45. Значит, если подходящий прямоугольник еще не найден, найдутся хотя бы пять диаметров, концы которых одноцветны. Выберем любые два, их концы образуют подходящий прямоугольник. Е.Бакаев

M2611. Дан треугольник ABC, в котором AB z AC (рис.1). Пусть M – середина отрезка AB, K – середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC, а P – точка, в которой серединный перпендикуляр к AC пересекает биссектрису угла BAC. Докажите, что точки A, M, K, P лежат на одной окружности.

Рис. 1

20

КВАН T 2020/№10

Рис. 3

Рис. 2

Пусть KL и AD – диаметры окружности (ABC) (рис.2). Тогда AKDL – прямоугольник, центр O которого является центром окружности. Обозначим через l ту из осей симметрии прямоугольника AKDL, которая параллельна AL. Заметим, что AL – биссектриса угла BAC. Отсюда $P AL^{\cap} ON$, где N – середина AC. Серединные перпендикуляры OM и ON к сторонам AB и AC составляют равные углы с AL, поэтому OM и ON симметричны относительно l. Значит, точки P и $Q KD^{\cap} OM$ симметричны относительно l, тем самым AKQP – прямоугольник, и точки A, K, Q, P лежат на окружности Z с диаметром AQ. Но поскольку AM A QM ( AB A OM ), точка M также лежит на Z. Задача решена. Заметим, что «уложить» четыре точки на одну окружность помогла новая, пятая точка Q, диаметрально противоположная точке A в нужной нам окружности (о таком приеме доказательства вписанности рассказано в статье Е.Бакаева, П.Кожевникова и И.Яковлева «Перпендикуляры и еще один признак вписанного четырехугольника» в «Кванте» №5–6 за 2015 г.). Приведем схему еще одного решения (его придумали некоторые участники Кавказской олимпиады, на которой предлагалась эта задача). На луче CA отложим отрезок CS, равный AB 2 (рис.3). Из равенства CS BM можно вывести равенство треугольников KCS и KBM и тот факт, что точки A, K, S, M лежат на одной окружности (подробнее об этом можно прочи- тать, например, в статье А.Полянского «Воробьями по пушкам!» в «Кванте» № 2 за 2012 г.). Для решения задачи остается понять, что точки A, S, P, M лежат на одной окружности. Если R – проекция P на AB, то NS RM AC AB 2, где N, как и в первом решении, середина AC. Поэтому прямоугольные треугольники PNS и PRM равны (получаются поворотом вокруг P). Отсюда ‘ SPM ‘ NPR 180 q ‘ BAC, что завершает доказательство. Отметим, что в доказательстве нам снова помогла новая, пятая точка на окружности, на этот раз – точка S. В завершение отметим, что верно также утверждение, аналогичное утверждению данной задачи: A, M, L и $ON \cap AK$ лежат на одной окружности. П.Кожевников

M2612. Поле для игры – горизонтальная клетчатая полоска $1_{¥} 2019$. Петя и Вася играют в такую игру. В начале игры Петя выбирает n натуральных чисел и записывает их на доске, после чего Вася ставит фишку в одну из клеток. Далее на каждом следующем ходе Петя называет некоторое число s, которое выписано на доске, а Вася переставляет фишку на s клеток, если это возможно, вправо или влево – по своему выбору. Если же переставить фишку ни влево, ни вправо на s клеток невозможно, то фишка остается на месте. При каком наименьшем n Петя может играть так, чтобы фишка за конечное количество ходов побывала на всех клетках полоски? Ответ: n 2.

24

КВАН T 2020/№10

Рис. 1

Ф2620. На фотографии (рис.1), взятой с сайта webdiscover.ru, видны радуга, море, строения, деревья, тени. Используя эту фотографию и сделав разумные предположения, попробуйте оценить, на какой высоте над морем находился фотограф, получивший такой снимок.

Рис. 2

Будем считать, что поверхность суши плоская и что улицы в городке либо параллельны друг другу, либо перпендикулярны (это разумное предположение). Тогда можно найти точки на фотографии, соответствующие горизонту. Одна точка получается, если провести линии (черные) вдоль параллельных дорог городка и они пересекутся в одной точке (рис.2). Вторая точка получится, если провести линии (желтые) по теням, падающим на горизонтальную поверхность от высоких деревьев. Фиолетовая точка – центр двух видимых радуг. Красная линия соответствует виртуальному горизонту (в предположении, что земля плоская). По треугольнику, составленному красной линией и двумя зелеными линиями, можно вычислить угловую высоту Солнца над горизон-