LXI Международная математическая олимпиада

39

О Л ИМПИАД Ы

LXI Международная математическая олимпиада

Очередная международная олимпиада (IMO) должна была пройти в июле 2020 года в Санкт-Петербурге, но из-за пандемии сроки олимпиады сдвинулись на 18–28 сентября и формат вынужденно претерпел изменения. К сожалению, участников невозможно было собрать вместе, поэтому во всех странах, участвующих в IMO, были организованы специальные экзаменационные центры (оборудованные видеонаблюдением), где 21 и 22 сентября проводились два тура олимпиады. Несмотря на разницу в часовых поясах, туры прошли во всех странах «почти одновременно», так что самое позднее начало тура предшествовало самому раннему концу тура. Участников Олимпиады было 616, из 105 стран. Центральный оргкомитет олимпиады располагался в Санкт-Петербурге на базе РГПУ им.А.И.Герцена. В команду России этого года вошли: Данила Демин (Сочи), Алексей Львов (Новосибирск), Максим Туревский (Санкт-Петербург), Антон Садовничий (Москва), Данил Сибгатуллин (Казань, Москва), Иван Гайдай-Турлов (Москва). Результаты наших участников показаны в таблице.

Слева направо. Д.Демин, М.Туревский, А.Львов, И.Гайдай-Турлов, Д.Сибгатуллин, А.Садовничий

Сборная России стала второй в общекомандном рейтинге. На первом месте – сборная Китая, третье место – у команды США. Подробные результаты можно найти на официальном сайте олимпиады http: imo-official.com На финальной стадии подготовки сборной большой вклад внесли математики и педагоги: К.Сухов (руководил процессом подготовки), В.Брагин, Б.Баев, А.Кушнир, А.Кузнецов, П.Козлов, Н.Власова, М.Пратусевич, К.Кноп и многие другие. Отметим с благодарностью большую помощь и поддержку в организационных и содержательных вопросах подготовки команды, которую оказали Образовательный центр «Сириус» (Сочи), Центр педагогического мастерства (Москва), Президентский физико-математический лицей № 239 (Санкт-Петербург), Математический институт РАН (Москва, Санкт-Петербург).

47

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

ноль. На какую высоту $H_{1}$ относительно исходного положения платформы взлетит шарик после отрыва от нее? Ускорение свободного падения g, влиянием воздуха пренебречь.

10 класс

1. Парашютист, опускающийся с постоянной скоростью v, бросает камень так, что его начальная скорость горизонтальна и равна u относительно земли. Какое расстояние будет между парашютистом и камнем через время t после броска, если к этому времени они еще будут находиться в воздухе? Влиянием воздуха на камень пренебречь, ускорение свободного падения g. 2. В герметичном цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем находится газ, над поршнем – вакуум (рис.4). Вначале поршень находился точно посередине сосуда. Затем газ начинает просачиваться в верхнюю часть сосуда через малое отверстие в поршне. При этом поршень очень медленно опускается. Найдите давление в нижней части сосуда непосредственно перед тем, как $поршень^{Рис.} 4$ достигнет дна. Ускорение свободного падения g, масса поршня M, площадь сечения сосуда S. Температура цилиндра, поршня и газа одинакова и поддерживается постоянной. Трения нет. 3. На горизонтальной плоскости покоится тело. На него с горизонтальной скоростью u налетает кусок пластилина и прилипает. Тело смещается на расстояние $l_{1}$ и останавливается. После этого на него налетает с той же скоростью точно такой же кусок пластилина. Тело смещается на расстояние $l_{2}$ и останавливается. Найдите коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью. Ускорение свободного падения g. 4. См. задачу 2 для 9 класса (только теперь угол E задан в общем виде).

МАТЕРИАЛЫ

тиль открывают на очень короткое время и сразу же закрывают. После установления равновесия в каждом из сосудов давление в первом равно $p_{1} c$. Чему равно давление $p_{2} c$ во втором сосуде? Температура поддерживается постоянной. 2. На закрепленное кольцо, плоскость которого вертикальна, надета и закреплена в точке B легкая пружина (рис.5). В недефор-

Рис. 5

мированном состоянии свободный конец пружины находится в точке A на одинаковой высоте с точкой B и центром кольца О. На кольцо также надели массивную шайбу, прикрепив ее к свободному концу пружины (в точке A). Найдите массу шайбы m, если известно, что ее положение равновесия оказалось по высоте на R 2 ниже прямой AB. Ускорение свободного падения g, радиус кольца R, жесткость пружины k. Трением между кольцом и шайбой, кольцом и пружиной пренебречь. 3. На горизонтальной плоскости расположены массивное тело и два закрепленных детских пулемета – слева и справа от тела (рис.6). Стволы пулеметов ориентированы горизонтально и нацелены перпендикулярно поверхности тела. Прямая, проходящая через центры пулеметов, также перпендикулярна поверхности тела. Из пулеметов одновременно начали стрелять. Известно, что $временны_{ѣ}$ е интервалы между вылетом пулек у каждого пулемета малы и фиксированы. Также известно, что у левого пулемета скорость вылета пулек в 2 раза выше, чем у правого, но масса пулек в 1,5 раза меньше, а временной интервал между пульками на 30% больше, чем у правого. В какую сторону

11 класс

1. Два сосуда с идеальным газом соединены тонкой трубкой с вентилем. В первом сосуде объемом $V_{1}$ давление равно $p_{1}$, а во втором объемом $V_{2}$ давление равно $p_{2}$. Вен-

Рис. 6

48

К В АН T 2020/№10

начнет двигаться тело? Трением между телом и плоскостью пренебречь, удары пулек о поверхность тела считать абсолютно упругими. Столкновениями пулек между собой и сопротивлением воздуха пренебречь. 4. На гладкую горизонтальную спицу надеты три бусинки (рис.7). Масса второй

Рис. 7

Рис. 8

бусинки в 2 раза больше первой, а масса третьей бусинки в 3 раза больше первой. Бусинки находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и могут свободно без трения перемещаться вдоль спицы. На бусинках имеются одноименные заряды $q_{1}, q_{2}$ и $q_{3}$ соответственно. Бусинки отпускают, и они начинают разлетаться так, что вторая бусинка все время остается строго посередине между первой и третьей. Найдите заряд $q_{1}$, если заряды $q_{2}$ и $q_{3}$ известны.

Q. На сколько после этого левый конец оказался ниже правого? 4. В нулевой момент времени в ванну с водой начинают наливать горячую воду из крана. Воду непрерывно помешивают и измеряют температуру. График зависимости температуры от времени показан на рисунке 9. Определите температуру наливаемой

Второй тур

8 класс

1. Ведро до краев наполнено водой. В ведро медленно опускают сплошной деревянный кубик с ребром a. При этом из ведра выливается вода объемом $V_{0}$. Затем кубик убирают и вместо него, не доливая воды в ведро, медленно опускают другой кубик из того же материала, но с ребром 2a. Определите, какой объем воды V при этом выльется из ведра. Эффектами поверхностного натяжения пренебречь. 2. Кубик плавает в жидкости плотностью U. Когда к нему присоединили грузик, кубик стал плавать, погруженный на 60% своего объема. Когда к нему присоединили второй такой же грузик, кубик полностью погрузился в жидкость и стал плавать в безразличном положении равновесия. Найдите плотность материала, из которого сделан кубик. 3. Цирковая трапеция представляет собой длинную палку, подвешенную на двух упругих вертикальных тросах (рис.8). Когда на трапеции повисла обезьянка, ухватившись за середину палки, то палка опустилась вниз на d 1,5 см. Затем обезьянка переместилась в точку А, которая в два раза ближе к левому концу палки P, чем к правому концу

Рис. 9

воды, если расход воды из крана постоянный. Теплоемкостью ванны и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

9 класс

1. Два пешехода движутся по часовой стрелке с постоянными по абсолютной величине скоростями $v_{1} 1,2$ м с $, v_{2} 1$ м с, первый – по окружности радиусом $r_{1} 8$ м, второй – по окружности радиусом $r_{2} 10$ м. Центры окружностей совпадают. За какое время расстояние между пешеходами изменится от минимально возможного при таком движении до максимально возможного? 2. Мальчик, стоя на горизонтальной плоскости, кидает камень так, чтобы тот улетел на максимальное расстояние. Второй камень он бросает с той же по абсолютной величине скоростью вертикально вверх. Его ловит другой мальчик в верхней точке траектории и затем бросает из этой точки под тем же углом и с той же скоростью, что и первый

49

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

камень. Во сколько раз расстояние по горизонтали, которое преодолел второй камень, больше по сравнению с первым? Влиянием воздуха пренебречь. 3. Новогодняя гирлянда представляет собой прямоугольную проволочную сетку, в горизонтальные перемычки которой вставлены одинаковые лампочки, как показано на рисунке 10. Сопротивление гирлянды, из-

МАТЕРИАЛЫ

помощью навигатора определили, что расстояние между ними равно 3,4 км. Василий остался на месте, а Алексей начал двигаться к нему пешком по улицам по оптимальному пути. В отличие от Алексея, мы не знаем, где точно находятся приятели. Постарайтесь, с помощью имеющейся информации, определить минимальное и максимальное возможное значение длины этого оптимального пути. Ответ округлите до сотен метров. 2. Три одинаковых сосуда с идеальным газом соединены тонкими трубками, снабженными вентилями (рис.12). Давления в

Рис. 10

меренное между клеммами A и B, равно $R_{0} 1919$ Ом. После того как в гирлянде перегорела одна лампочка, сопротивление стало равным R 1920 Ом. Определите общее количество лампочек в гирлянде, если известно, что их число заведомо больше 1938 и меньше 3838. Сопротивления лампочек одинаковы, сопротивлением проводов пренебречь. 4. По лестнице с одинаковыми ступенями прыгает вниз маленькая лягушка (рис.11).

Рис. 12

1-м, 2-м и 3-м сосудах равны $p_{1}, p_{2}$ и $p_{3}$ соответственно. Вентиль между сосудами 1 и 2 открывают и после наступления равновесия закрывают. Затем открывают вентиль между сосудами 2 и 3. Найдите давление $p_{3} c$ в 3-м сосуде после наступления равновесия. Температура поддерживается постоянной. 3. На горизонтальной поверхности стоят три одинаковых кубика (рис.13). Кубики

Рис. 13

Рис. 11

Каждый раз она отталкивается одинаковым образом и попадает с середины ступени на середину следующей ступени. Последний прыжок она совершила по ровной поверхности, длина этого прыжка d, а высота h. Найдите высоту ступеней H, если длина ступеней равна L. Влиянием воздуха пренебречь.

10 класс

1. На острове Манхэттен г.Нью-Йорка много улиц, которые расположены взаимно перпендикулярно на небольших расстояниях друг от друга. Алексей и Василий, прогуливаясь по острову, в некий момент с соединены одинаковыми пружинами, натяжение которых одинаково. Если 1-й кубик медленно тянуть влево, то, когда он пройдет расстояние $d_{1}$, 3-й кубик начнет двигаться. Если из того же исходного положения 1-й кубик медленно толкать вправо, то, когда он пройдет расстояние $d_{2}$, 3-й кубик начнет двигаться. На какое расстояние $d_{x}$ нужно одновременно переместить вправо 1-й и 3-й кубики из того же исходного положения, чтобы средний кубик пришел в движение? Коэффициенты трения покоя и скольжения считать одинаковыми. 4. Значок в виде равностороннего треугольника, его высоты и вписанной в него

53

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

стоянию между точками подвеса пружин, и отпустили. Оказалось, что стержень в равновесии строго параллелен горизонту. Найдите вес стержня. 3. На тонкое полукольцо, сделанное из непроводящего материала, нанизали маленькую бусинку, имеющую положительный заряд (рис.28). На концах полукольца закрепили положительные точечные заряды $q_{1}$ и $q_{2} ( q_{1} q_{2} )$ в точках A и B соответственно. Полукольцо также закрепили. Через длительное время бусинка остановилась в точке С. Найдите угол D. Силы тяжести нет.

Рис. 28

Рис. 29

4. Кольцо массой M, равномерно заряженное по периметру зарядом Q, катится по горизонтальной плоскости (рис.29). В какой-то момент времени включается магнитное поле с индукцией В перпендикулярно плоскости кольца. Сила давления кольца на плоскость возрастает в 3 раза. Найдите скорость кольца. Ускорение свободного падения g. 5. Оцените период остаточных колебаний бензина в наполовину заполненной железнодорожной цистерне, возникших в результате ее торможения. Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие в условии задачи величины, выбрать их численные значения и получить численный результат. 6. Задача-демонстрация (демонстрируется видеоролик). Внутри обычной консервной банки находится небольшое устройство, прикрепленное к центру крышки и состоящее из моторчика и питающего его отсека с батарейками (рис.30). При включении моторчик вращает по кругу отсек с батарейками. Банку плотно закрывают крышкой с

МАТЕРИАЛЫ

Рис. 30

включенным моторчиком и кладут на бок. Она приходит в движение и перемещается по горизонтальному столу. Если на ее пути установить небольшое препятствие, то она преодолевает его, причем иногда с первой попытки, а иногда, ударившись о препятствие, откатывается назад и преодолевает препятствие после нескольких попыток. Объясните наблюдаемое явление. Публикацию подготовили В.Боровков, Е.Жданов, А.Киприянов, С.Лежнин, М.Махмудиан, А.Ненашев, Е.Пальчиков, А.Погосов, Д.Похабов, Г.Федотович