Задачи М2654—М2657; Ф2661—Ф2664

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2654, М2655, М2657 предлагались на заключительном этапе XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задача М2656 предлагалась на XLII Турнире городов.

Задачи М2654–М2657, Ф2661–Ф2664 M2654. На стороне BC параллелограмма ABCD отмечены точки E и F, причем E лежит между B и F (рис.1). Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямые AE и DF касаются окружности, описанной около $треу-^{Рис.} 1$ гольника AOD. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника EOF. А.Кузнецов

M2656. Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_{1} a_{2}$ … такова, что при каждом n! 100 число $a_{n}$ равно наименьшему натуральному числу, большему $a_{n} 1$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} 1$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное число составных чисел. П.Кожевников

M2655. Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди – сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница и т.д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды красить отрезки нельзя. Учительница побеждает, если после хода одного из 31 игроков найдется клетчатый прямоугольник 1 u 2 или 2 u 1 такой, что у него вся граница покрашена, а единичный отрезок внутри него не покрашен. Докажите, что учительница сможет победить. М.Дидин, А.Кузнецов

Ф2661. Для плавного изменения уровня расположения детали над поверхностью стола соорудили показанную на рисунке 2 установку, состоящую из нескольких шарнирно соединенных стержней. Углы, образованные стержнями, равны 120q и 60q. Стержень, отмеченный на рисунке красным цветом, стальной, он имеет длину L 10 см. Его нагревают со скоростью 10 K q мин. С какой скоростью поднимается деталь? Ко-

M2657*. Натуральные числа n! 20 и k! 1 таковы, что n делится на $k^{2}$. Докажите, что найдутся натуральные числа a, b и c такие, что n ab bc ca. А.Храбров

Рис. 2

12

КВАН T 2021/№6

Следовательно, $x^{2} n y^{2} n$. Но тогда 0! $x^{2} n y^{2} n$! x – противоречие. Н.Агаханов

M2643. Окружности: и Z касаются друг друга внутренним образом в точке A (рис.1). Проведем в большей окружности

Рис. 1

: хорду CD, касающуюся Z в точке B (хорда AB не является диаметром Z ). Точка M – середина отрезка AB. Докажите, что окружность, описанная около треугольника CMD, проходит через центр Z.

Обозначим через O центр окружности Z (рис.2). Проведем через точку A общую

Рис. 2

касательную к нашим окружностям; пусть она пересекает прямую CD в точке P. Поскольку PA PB, точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, который также проходит через точки M и O. Так как AM – высота в прямоугольном треугольнике PAO, имеем PM ˜ $PO PA^{2}$. С другой стороны, по свойству касательной и секущей имеем $PA^{2} PC$ ˜ PD. Значит, PM ˜ PO PC ˜ PD. Это и означает, что точки C, D, O и M лежат на одной окружности. П.Бибиков

M2644. Петя и Вася играют на доске 100 ¥ 100. Изначально все клетки доски белые. Каждым своим ходом Петя красит в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым своим ходом Вася красит в черный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: выигрывает Петя. Приведем одну из возможных выигрышных стратегий для Пети. Он все время будет делать ходы, параллельные одной из диагоналей доски, назовем ее главной. Первым ходом Петя закрасит все клетки главной диагонали, после этого доска разбивается на две одинаковые «лесенки» (рис.1). Мысленно сделаем каждую лесенку симметричной относительно вертикальной прямой, сдвинув в ней каждый горизонтальный ряд, кроме первого, на полклетки относительно пре- Рис. 1 дыдущего ряда (рис.2).

Рис. 2

В результате сдвигов и бывшие вертикали, и бывшие диагонали, параллельные главной, стали наклонными рядами. При этом «вертикали» одной лесенки симметричны «диагоналям» другой. Это значит, что на каждый ход Васи Петя может ответить симметричным ходом в другую лесенку (два таких ответа показаны на рисунке 2). Тогда после каждого Петиного хода ситуация на «сдвинутой» картинке будет оставаться симметричной, а значит, Петя всегда сможет сделать ход согласно опи-