О Л ИМ П ИАД Ы
LXXXIV Московская математическая олимпиада школьников
28 марта 2021 года прошла очередная Московская математическая олимпиада (одновременно со сложным вариантом весеннего тура Турнира городов, многие задачи были общими). Приводим некоторые задачи олимпиады (в скобках после номера задачи указан класс, в котором она предлагалась). Все условия и решения можно найти на сайте olympiads.mccme.ru mmo.
односторонним движением. Министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. Для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, меняет направление движения на одной из дорог. Докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году (т.е. за 214 дней). А.Заславский
Избранные задачи 1.(8) Барон Мюнхгаузен утверждает, что к любому двузначному числу можно справа приписать еще две цифры так, чтобы получился полный квадрат (к примеру, если задано число 10, то дописываем 24 и получаем Прав ли барон? М.Евдокимов
6.(9) Положительные числа a и b таковы, что a b a b. Что больше: a b или ab? В.Клепцын, А.Гусев
2.(8) Митя купил на день рождения круглый торт диаметром 36 сантиметров и 13 тоненьких свечек. Мите не нравится, когда свечки стоят слишком близко, поэтому он хочет поставить их на расстоянии не меньше 10 сантиметров друг от друга. Поместятся ли все свечки на торте? Д.Мухин
3.(8) В правильном пятиугольнике ABCDE отмечена точка F – середина CD. Серединный перпендикуляр к AF пересекает CE в точке H. Докажите, что прямая AH перпендикулярна прямой CE. А.Блинков
4.(8) В каждом из 16 отделений коробки 4 u 4 лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по 9 граммов, а остальные – по 10 граммов. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты? М.Евдокимов
5.(8) В некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с
7.(9) Клетки бумажного квадрата 8 u 8 раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата 2 u 2, не имеющих общих клеток одинаковой раскраски. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.) Л.Попов, А.Гусев
8.(10) На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую – то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? М.Евдокимов
9.(10) Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше 60q. А.Блинков
10.(10) Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее: – перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно; – если в клетке с номером i лежит камень, то можно переложить камень из мешка в клетку с номером i 1 или обратно.