Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Квант 2021, №8 с. 45, 49 Тег LLA0

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Национальный исследовательский университет «МИЭТ» на протяжении многих лет проводит для старшеклассников олимпиады по математике, физике и информатике, которые пользуются большой популярностью среди школьников страны. С 2015 года в заочной (дистанционной) форме проводится олимпиада школьников «РИТМ МИЭТ». Ежегодно в 9 секциях олимпиады принимают участие более 2000 человек. В 2018 году университет организовал очную Физикоматематическую олимпиаду МИЭТ, которая проходит в нескольких десятках городов России и стран СНГ. С 2019 года также проводится олимпиада школьников «Электронный наномир». Ниже приводятся задачи по физике заключительного этапа олимпиады «РИТМ МИЭТ», варианты Физико-математической олимпиады МИЭТ и избранные задачи олимпиады «Электронный наномир».

Интернет-олимпиада «РИТМ МИЭТ»

Заключительный этап

В момент отправления поезда с ускорением a 1 м $с^{2}$ пассажир находился на расстоянии r 15 м от открытой двери своего вагона и на 10 м позади нее (рис.1). С какой

Рис. 1

минимальной скоростью и в каком направлении должен бежать пассажир, чтобы заскочить в свой вагон? 2. Ось полого цилиндра горизонтальна. Небольшая шайба находится внутри цилиндра в нижней точке. Цилиндр начинают вращать вокруг его оси так, что скорость шайбы до начала ее проскальзывания увели-

чивается со временем по линейному закону v at, где a 1 м $с^{2}$ . Проскальзывание шайбы начинается в момент, когда цилиндр повернулся на угол M S 6 относительно первоначального положения. Определите коэффициент трения между цилиндром и шайбой. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 3.$ В теплоизолированном цилиндрическом сосуде объемом $V_{0} 1$ л под поршнем находятся небольшой электронагреватель и одноатомный идеальный газ при давлении $p_{0} 100$ кПа. Поршень начинают перемещать с постоянной скоростью, включив при этом электронагреватель и регулируя его мощность так, что давление в сосуде изменяется пропорционально объему газа. Определите минимальную и максимальную мощности нагревателя при увеличении объема газа в 2 раза за время $t_{0} 400$ с. 4. Состояние двухатомного идеального газа изменяется по циклу Карно. Минимальный объем газа в цикле V 1 л, максимальное давление p 200 кПа. При адиабатическом расширении газ совершает за цикл работу A 150 Дж. Определите КПД цикла. 5. Три одинаковых шарика соединены двумя легкими нерастяжимыми нитями одинаковой длины (рис.2). Крайние шарики поло-

Рис. 2

жительно заряжены. В начальный момент шарики находятся на одной прямой, скорости крайних равны нулю, а средний шарик движется в направлении, перпендикулярном нитям, с кинетической энергией, равной потенциальной энергии электрического взаимодействия крайних шариков. Определите: а) минимальный угол между нитями при движении шариков; б) угол E между нитями в момент времени, когда скорость среднего шарика равна нулю. Силой тяжести пренебречь. 6. К двум медным стержням прижали Побразный медный проводник (рис.3). Сопротивления четырех контактов П-образного проводника со стержнями равны $R_{1} R_{2} R_{3} 1$ Ом и $R_{4} 3$ Ом. Эти сопротивления значительно превышают сопротивления самих стержней и П-проводника.

Э КЗАМЕНА Ц ИОННЫЕ

мощность так, что температура в сосуде остается постоянной. За время $t_{0} 500$ с объем газа в сосуде увеличился в 2 раза. Определите минимальную и максимальную мощности нагревателя в этом процессе. 5. Три одинаковых шарика соединены двумя легкими нерастяжимыми нитями одинаковой длины (рис.13). Крайние шарики за-

Рис. 13

ряжены положительно. Сначала шарики удерживают в вершинах равнобедренного треугольника при натянутых нитях, а затем одновременно отпускают. В системе возникают колебания с максимальной кинетической энергией $E_{max} 0,1$ Дж и максимальной потенциальной энергией электрического взаимодействия $U_{max} 2 E_{max}$ . Определите: а) максимальную кинетическую энергию $E_{1}$ среднего шарика; б) минимальный угол $D_{min}$ между нитями. Силой тяжести пренебречь.

11 класс 1. На горизонтальной поверхности земли находится гладкая полусфера радиусом R. Из ее верхней точки А начинает скользить небольшой камушек. а) С какой скоростью v он упадет на землю? б) Под каким углом D к горизонту будет направлена эта скорость? в) Под каким углом E к горизонту нужно бросить камушек с поверхности земли с минимально возможной начальной скоростью, чтобы он достиг точки А? 2. Цилиндрический сосуд с водой находится в помещении, в котором поддерживается влажность воздуха $M_{1}$ 70% при неизменной температуре. Уровень воды в сосуде понижается со скоростью $v_{1} 0,2$ см сутки. Определите, с какой скоростью $v_{2}$ будет понижаться уровень воды в сосуде, если влажность воздуха в комнате станет $M_{2}$ 50% при той же температуре. 3. Заряженная бусинка массой m и зарядом q скользит без трения по нити, натянутой вдоль оси симметрии однородно заряженной неподвижной диэлектрической полусферы, приближаясь к ее внутренней поверхности (рис.14). Воображаемую границу сферы бусинка пересекла в точке 1 со скоростью v, а в точке 2, совпадающей с центром

МАТЕ Р ИАЛЫ

Рис. 14

полусферы, имела скорость 5v. а) Определите разность потенциалов $M_{1} M_{2}$ электростатического поля полусферы в точках 1 и 2. б) С какой скоростью бусинка ударилась о внутреннюю поверхность полусферы? 4. Наночастицей принято называть изолированный твердофазный объект, имеющий отчетливо выраженную границу с окружающей средой, максимальный размер которого в любом направлении составляет от 1 до 100 нм. Какое количество электронов можно удержать на сферической проводящей наночастице радиусом R 50 нм, если предельная напряженность электрического поля окружающей среды $E_{max} 2$ $10^{6}$ В м, а диэлектрическая проницаемость окружающей частицу среды H 11,7? Коэффициент пропорциональности в законе Кулона k 9 $10^{9}$ Н $м^{2} Кл^{2}. 5.$ На диэлектрической подложке сформирована двухуровневая металлизация, фрагмент которой показан на рисунке 15. Алю-

Рис. 15

миниевые проводники 1 и 2 лежат в нижнем слое металлизации, а проводники 3 и 4 – в верхнем, отделенном от нижнего слоя диэлектриком. Каждый проводник подсоединен к изолированной от других проводников контактной площадке. Потенциалы проводников равны $M_{1} 4$ В, $M_{2} 3$ В, $M_{3} 2$ В, $M_{4} 1$ В соответственно. Сопротивление между проводниками в местах их перекрытия R 100 МОм значительно больше сопротивления самих проводников. Определите ток I, втекающий в рассматриваемый фрагмент по проводнику 1. Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый, А.Спиридонов, И.Федоренко

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 1

Теперь от нас требуется доказать, что окружности (DBC), (DEF) и $DO 1 O_{2}$ имеют вторую общую точку помимо D. Из равенства ABD ACD следует (см. рис.1), что радиусы окружностей (ADB), (ADC) равны и что они получаются друг из друга центральной симметрией относительно M – середины AD. Обозначим через $B_{1}, C_{1}$ вторые точки пересечения прямой BC с окружностями (ADB), (ADC) соответственно. Тогда ADE DBC $B_{1} AD$ , откуда $AB_{1} P DE$ , т.е. точки $B_{1}, E$ также центрально симметричны относительно M. Аналогично, $C_{1}, F$ центрально симметричны относительно М, откуда $EFB_{1} C_{1}$ – параллелограмм и EF P BC. Также

FBC

FBA ABD DBC FDA ACD ADE

BCD DCA ACE

BCE, откуда BCEF – равнобокая трапеция. Тогда вторая точка пересечения окружностей (DBC) и (DEF) – точка Dc, симметричная точке D относительно оси симметрии равнобокой трапеции BCEF. Осталось доказать, что окружность $DO 1 O_{2}$ проходит через точку Dc, т.е. надо доказать вписанность четырехугольника $DD c O_{1} O_{2}$ . Это равносильно тому, что серединные перпендикуляры к отрезкам DDc $, DO_{1}, DO_{2}$ пересекаются в одной точке, т.е. что AC и EX пересекаются на оси симметрии трапеции BCEF. Рассматривая радикальные оси для пар окружностей (ADBF), (ADCE), (BCEF), получаем, что прямые AD, BE, CF конкурентны, т.е. что точка пересечения прямых AD, CE лежит на оси симметрии трапеции. Из теоремы Паскаля для ломаной (ADXECC) следует, что точки пересечения пар прямых AD и CE, AC и EX, DX и касательной к окружности (ADC) в точке C – обозначим эту точку через Y – лежат на одной прямой. Поэтому достаточно доказать, что Y лежит на оси симметрии трапеции, т.е. что DX, касательная к окружности (ADC) в точке C и ось симметрии трапеции пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

РЕШЕНИЯ

Из (3) следует, что точка X лежит на окружности Аполлония для точек B и C, проходящей через точку D и основания K и L внешней и внутренней биссектрис угла D в треугольнике DBC (обозначим эту окружность через Z ). Рассмотрим радикальный центр окружностей (ADC), Z и окружности нулевого радиуса с центром в С. Он лежит на прямых DX и касательной к окружности (ADC) в точке С, т.е. совпадает с точкой Y. Осталось доказать, что радикальная ось Z и окружности нулевого радиуса с центром в С – ось симметрии трапеции, т.е. серединный перпендикуляр к BC. Так как их радикальная ось перпендикулярна их линии центров (т.е. BC), нужно проверить, что на их радикальной оси лежит середина BC. Это очевидно, поскольку (C, B, L, K) –1 (как две вершины ’ DBC и основания внешней и внутренней биссектрис), откуда K и L инверсны относительно окружности с диаметром BC и центром N (одно из определений гармонической четверки точек на прямой) и NL $NK NC^{2}$ , т.е. степень точки N относительно двух рассматриваемых окружностей одинакова, и эта точка лежит на их радикальной оси, что и требовалось. 4 (М. Исупов). Отметим точки касания отрезков AB, BC, CD, DA с * – точки K, L, M, N соответственно (рис.2). Также отметим точку J, диаметрально противоположную точке I на:. Заметим, что I лежит на биссектрисе угла BAD. Так как IAJ 90 q, то AJ и AI – внутренняя и внешняя биссектрисы угла XAY. Значит, I и J – середины дуг XY, поэтому X и Y симметричны относительно IJ – линии центров окружностей. Аналогично, Z и T симметричны относительно IJ. Отсюда TX ZY. Далее, из симметрии относительно IJ вытекает, что отрезки касательных от T и Z до * равны.

Рис. 2