18-я Международная естественно-научная олимпиада юниоров (IJSO-2021)

55

ОЛИМПИАДЫ

18-Я МЕЖДУНАРОДНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ОЛИМПИАДА ЮНИОРОВ (IJSO-2021)

Олимпиада юниоров в 2021 году проходила в Дубае (Объединенные Арабские Эмираты) в дистанционном формате. В состязании принимали участие 400 юношей и девушек более чем из 70 стран мира. По условиям олимпиады, участники должны быть не старше 15 лет. Олимпиада включала три тура: тестовый, теоретический и экспериментальный, в ходе которых участники выполняли задания по физике, химии и биологии. Золотые медали олимпиады завоевали все шесть членов российской команды: Вячеслав Бобков (школа 1589, город Москва), Даниил Гаврилов (Республиканский лицей для одаренных детей, город Саранск, Республика Мордовия), Григорий Зутлер (школа 179, город Москва), Иван Мякутин (школа 179, город Москва), Егор Потапов (Республиканский лицей для одаренных детей, город Саранск, Республика Мордовия),

Ярослав Шастин (Республиканский лицей для одаренных детей, город Саранск, Республика Мордовия). Подготовка российской сборной длилась более полугода. Она началась в мае с дистанционных домашних заданий, затем в июне в МФТИ прошли учебно-тренировочные сборы, в августе – смена в Образовательном центре «Сириус», сборы в октябре и установочные сборы в первой декаде декабря. Ниже приводятся вопросы теста и условия теоретических задач по физике.

Тест (30 очков)

Вопрос 1. Сигнальная сирена издает звук постоянной частоты и находится рядом с каруселью. Карусель вращается по часовой стрелке так, как показано на рисунке 1. Ниже приведены несколько утверждений о том, когда человек, катающийся на карусели, слышит звук максимальной или Рис. 1 минимальной частоты, а когда слышит исходную частоту звука самой сирены. 1) Человек слышит исходную высоту звука тогда, когда находится в точках на 12 и 6 часов. 2) Человек слышит исходную высоту звука тогда, когда находится в точках на 9 и 3 часа. 3) Самый высокий звук человек слышит в точке на 3 часа, а самый низкий звук – в точке на 9 часов. 4) Самый высокий звук человек слышит в точке на 9 часов, а самый низкий звук – в точке на 3 часа. Выберите верное утверждение: а) 1,4; b) 2,3; c) 1,3; d) 2,4. Вопрос 2. Луч света переходит из безграничной среды 1 в среду 4 (рис.2). Показатели преломления сред 1, 2, 3 и 4 равны 1,62, 1,60, 1,55 и 1,50 соответственно. Слева направо: Я.Шастин, Д.Гаврилов, Г.Зутлер, И.Мякутин, При каком угле падения луч бу-

Е.Потапов

58

КВАНТ 2022/№1

Часть В. Выстрел из пушки

Порох (нитроцеллюлоза) занимает 20% объема пушки диаметром 15,0 см и длиной 5,0 м и плотно зажат ядром того же диаметра. Когда порох поджигают, он мгновенно сгорает и становится идеальным газом при давлении 1000 атм. Когда ядро вылетает из пушки, температура газа уменьшается в три раза по сравнению с его начальной $температурой.^{В1.}$ Напишите формулу для давления газа $p_{2}$ в конце процесса, перед вылетом ядра из ствола пушки, через начальное давление $p_{1}$, начальный объем $V_{1}$, начальную температуру $T_{1}$, конечный объем $V_{2}$ и конечную температуру $T_{2}$. (0,5 $б.)^{В2.}$ Вычислите давление газа (численное значение в единицах СИ) на ядро, когда оно вылетает из пушки (запишите ответ с точностью до трех значащих цифр, т.е. две цифры после запятой). (1,5 $б.)^{В3.}$ Вычислите силу (численное значение в единицах СИ), действующую на ядро, когда оно вылетает из пушки (запишите ответ с точностью до трех значащих цифр, т.е. две цифры после запятой). (0,5 б.)

Задача 2. Багги и абра (5 баллов) Часть A. Багги

Рис. 9

А1. Изобразите на рисунке 9 все ВЕКТО- РЫ сил, действующих на багги. (1 $б.)^{А2.}$ Вычислите суммарную силу (численное значение в единицах СИ), препятствующую движению багги, направленную вдоль склона противоположно движению багги. (0,5 $б.)^{А3.}$ Вычислите минимальную мощность (численное значение в единицах СИ), развиваемую двигателем багги при движении вверх. (0,5 $б.)^{А4.}$ При движении вверх вдоль плоскости багги заглох. Найдите модуль ускорения (численное значение в единицах СИ). (0,5 $б.)^{А5.}$ Какое расстояние проедет багги до полной остановки после того, как он заглох (численное значение в единицах СИ)? (0,5 б.)

Часть B. Лодка абра

Багги – это транспортное средство, используемое в пустынях (рис.8). Рассмотрим такой автомобиль массой 200,0 кг, движущийся с постоянной скоростью 72 км ч по песчаной дюне, представляющей собой плоскость, образующую 30q с горизонтом. Сила трения качения со стороны песка направлена против направления движения автомобиля и пропорциональна нормальной силе реакции опоры, действующей на багги, с коэффициентом пропорциональности f 0,15.

В Дубае есть традиционный вид водного транспорта – лодка абра (рис.10). Длина лодки 6 м. Места, на которых сидят пассажиры, представляют собой две параллельные линии скамеек по обе стороны от вертикальной плоскости, разделяющей лодку в продольном направлении. Центр масс лодки лежит на вертикальной линии, проходящей точно через ее центр. Пассажиры могут садиться по обеим сторонам лодки. Когда пассажиры сидят, можно считать, что их центр

Рис. 8

Рис. 10

60

КВАНТ 2022/№1

Калейдоскоп «Кванта»

Вопросы и задачи

1. Облака вследствие конвекции поднимаются вверх, что воспринимается как падение самолета вниз. 2. Человек, помещенный в такую жидкость, всего лишь будет находиться в состоянии безразличного равновесия. Как в покое, так и при взлете с ускорением он не потеряет веса и будет сжат. 3. Верно, но не только в этой точке. И на космический корабль, движущийся по орбите, и на все находящиеся в нем тела действует только сила тяготения, поэтому они пребывают в состоянии невесомости. 4. Допустим, центр тяжести спортсмена находится на высоте около одного метра. Значит, прыгнув на 2 метра в высоту, он поднял свой центр тяжести всего на 1 метр! На Луне он, соответственно, сможет поднять его в шесть раз выше, т.е. прыгнуть на 7 метров. 5. Для того чтобы человек мог дышать, разница давлений внутри легких и снаружи должна быть около 0,1 атм. Значит, уже на глубине порядка 1 метра человек не сможет вдохнуть через выведенную в атмосферу трубку, так как сила, действующая на грудную клетку со стороны воды, будет очень большой. 6. Если есть направленная вверх архимедова сила, действующая на выделенный объем воздуха, то этот объем, в соответствии с третьим законом Ньютона, действует на остальной воздух вниз с силой, равной весу «вытесненного воздуха», т.е. своему собственному. Таким образом, он все же давит на нижележащие слои воздуха и на землю. 7. В буквальном смысле неверно. Шуба, в силу плохой теплопроводности, лишь сохраняет тепло человеческого тела. 8. Не противоречит. Если газ при нагревании совершал работу, он может отдать холодильнику меньшее количество теплоты, чем было затрачено на его нагревание. 9. Нет. Охлаждение идеального газа при расширении происходит тогда, когда он совершает работу. В данном случае этого нет, значит, внутренняя энергия газа и его температура не изменятся. 10. Процесс нагревания воздуха в комнате – изобарический. При этом увеличение внутренней энергии газа, происходящее за счет увеличения температуры, в точности равно ее убыли за счет уменьшения массы воздуха, частично выходящего наружу. Следовательно, внутренняя энер-

гия воздуха в комнате не изменится, но в ней станет теплее. 11. Нет. Направление касательной к силовой линии совпадает с направление силы, действующей на заряд, а значит, с направлением его ускорения. Траектория же движения заряда – это линия, направление касательной к которой совпадает с направлением скорости заряда. 12. «Зажигают» лампу вовсе не заряды, примчавшиеся к ней от выключателя, а изменение электрического поля в проводнике, распространяющееся со скоростью света. 13. Чтобы человек стал невидимым, показатель преломления всех тканей его тела должен стать равным единице. Значит, глаз такого человека не будет преломлять свет и не сможет фокусировать его на сетчатке. Кроме того, свет будет попадать на сетчатку со всех сторон, а не только через зрачок. И наконец, невидимая сетчатка не будет поглощать свет. Любой из перечисленных причин достаточно, чтобы невидимка оказался слепым.

Микроопыт

Даже если пренебречь трением о воздух, на восходящем участке траектории тело не «толкает», а тормозит сила тяжести. «Сила бросания», действующая на тело во время полета, – заблуждение, идущее еще от Аристотеля (см. эпиграф).

XLIII Турнир городов

Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

1. Еще 4 раза. Так как сейчас 43-й турнир, то осенний тур n-го турнира проходит в году 46 ◊ 43 + n. Число 46 ◊ 43 + n делится на n тогда и только тогда, когда 46 ◊ 43 = 2 ◊ 23 ◊ 43 делится на n. У числа 2 ◊ 23 ◊ 43 есть 4 делителя, больших чем 43, – это 2 ◊ 23, 2 ◊ 43, 23 ◊ 43 и 2 ◊ 23 ◊ 43. Номер турнира N на 2021 - 43 = 1978 меньше номера года M, и так будет всегда. Поэтому M: N = 1 + 1978: N. Таким образом, требуется, чтобы число 1978 нацело делилось на номер очередного турнира. Но 1978 = 43 ◊ 23 ◊ 2, т.е. оно делится (из чисел, больших 43) на 46, 86, 989 и на само себя. Поэтому ответ: еще 4 раза – в 2024, 2064, 2967 и 3956 годах. 2. Их объемы равны 2, 3, 4, 24. Обозначим точку пересечения трех плоскостей, разрезающих куб, через A. Заметим, что объем любого из 8 полученных параллелепипедов ра-

61

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

вен произведению трех его ребер, выходящих из A. Пусть мы хотим найти объем какого-то белого параллелепипеда D. Перемножим объемы трех синих параллелепипедов, примыкающих к D. Мы получим произведение длин 9 отрезков: ребра параллелепипеда D, выходящие из A, будут входить в произведение по два раза, а ребра противоположного к D синего параллелепипеда E, выходящие из A, – по одному разу. Тогда, поделив полученное число на объем E, мы получим квадрат объема D. Таким образом, перемножая тройки чисел из условия и деля на четвертое, мы получим квадраты объемов белых параллелепипедов; останется извлечь корни. 3. 5 монет. Пример. Достанем по одной монете из каждого мешочка. Среди этих пяти монет есть монеты всех трех видов, поэтому какого-то вида есть только одна монета. Если она, например, золотая, то ее достали из мешочка с золотыми монетами. Действительно, для каждой монеты из «смешанного» мешочка есть парная из соответствующего «однородного» мешочка. Оценка. Пусть мы достали только 4 монеты (или меньше). Заметим, что не имеет смысла доставать больше одной монеты из одного и того же мешочка, так как они могут оказаться одинаковыми, а тогда никакой дополнительной информации мы не получим. Поэтому можно считать, что мы достали по одной монете из четырех разных мешочков. Тогда мы могли достать монеты З, З, С, Б, и в этом случае есть по крайней мере два варианта распределения соответствующих мешочков: З, Смеш, С, Смеш, Б и Смеш, З, Смеш, Б, С, не совпадающих ни в одной из позиций (последним указан мешочек, из которого монеты не доставались). 4. Рассмотрим группы равных сторон, расположенных подряд. Заметим, что на стыке таких групп находится острый угол n-угольника – угол при основании равнобедренного треугольника. Но в многоугольнике не может быть больше трех острых углов (сумма внешних углов равна $360\infty$, поэтому среди них не больше трех тупых), значит, этих групп не больше трех. Следовательно, среди каждых четырех сторон найдутся две из одной группы, т.е. равные. 5. Обязательно. Будем говорить, что шахматист A не слабее шахматиста B, если A выиграл и белыми, и черными не меньше партий, чем B. Предположим, что такой пары нет. Если у каких-то двух игроков одинаковое число побед белыми, один из них не слабее другого. То же верно, если у каких-то двух игроков одинако-

РЕШЕНИЯ

вое число побед черными. Значит, число побед белыми у всех разное и число побед черными – тоже. Отсюда следует, что количества побед белыми у 20 игроков равны числам 19, 18, …, 2, 1 и 0, и то же для количеств побед черными. Пусть 19 партий белыми выиграл A, а 19 партий черными выиграл другой шахматист B. Но тогда игру A с B, где A играл белыми, а B – черными, выиграли и A, и B. Такая ситуация невозможна, поэтому 19 партий белыми и черными выиграл один и тот же шахматист. Но тогда он не слабее всех остальных. Противоречие.

10–11 классы

1. Три числа. Оценка. Нетрудно понять, что число интересное в точности тогда, когда оно свободно от квадратов, т.е. в его разложении на простые каждое простое число появляется не больше одного раза. Теперь заметим, что числа, кратные четырем, не свободны от квадратов. Примеры: 1, 2, 3; 5, 6, 7. 3. Через 1515 минут. Занумеруем строки и столбцы числами от –1010 до 1010. Через n минут будут закрашены клетки, до которых хромая ладья (за ход сдвигается на соседнюю клетку) дойдет от одной из исходных клеток не более чем за n ходов. Пример. Закрасим клетки A 505; 0 и B 505; 0. За 1515 ходов ладья дойдет из B до любой клетки правой половины доски (клетки x; y с неотрицательным x): потребуется не более 505 ходов по горизонтали и не более 1010 по вертикали. Аналогично из A ладья дойдет до любой клетки левой половины. Оценка. Назовем расстоянием между клетками сумму расстояний между ними по вертикали и по горизонтали. Оно равно минимальному числу ходов, за которое хромая ладья сможет дойти из одной клетки в другую (и поэтому удовлетворяет «неравенству треугольника»). Пусть все клетки будут черными через 1514 минут. Противоположные угловые клетки не могут быть «обслужены» одной ладьей: расстояние между ними больше чем 2 ˜ 1514. Поэтому каждая ладья «обслужила» две угловые клетки с одной стороны, например ладья из клетки A – обе левые: 1010; r 1010, а ладья из клетки B – обе правые: 1010; r 1010. Но тогда вторая ладья не успела дойти ни до одной из клеток 0; r 1010: расстояние от такой клетки до противоположной угловой клетки равно 3030! 2 ˜ 1514. Аналогично и первая ладья не дошла до этих клеток. Противоречие. 4. Пусть AB 2, O и M – середины отрезков AB и YZ соответственно, H – ортоцентр треугольни-