Задачи М2790—М2793; Ф2797—Ф2800

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2790–М2792 предлагалась на XLV Турнире городов. Задачи Ф2797–Ф2800 предлагались на 85-й Московской олимпиаде школьников по физике.

Задачи М2790–М2793, Ф2797–Ф2800

M2790. Докажите, что среди вершин любого выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника. А.Юран

M2791. В каждой клетке таблицы N u N записано число. Назовем клетку C хорошей, если в какой-то из клеток, соседних с C по стороне, стоит число на 1 больше, чем в C, а в какой-то другой из клеток, соседних с C по стороне, стоит число на 3 больше, чем в C. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток? А.Чеботарев

M2792. В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две не находятся на одной высоте. Жук ползет снизу вверх; встречая палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого (самого левого) столбика, то он закончит свой путь на девятом (самом правом) столбике. Всегда ли можно убрать одну палочку так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика? (Например, если палочки расположены как на рисунке 1, жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью

Рис. 1

палочку на пути жука, дальше он поползет по пунктирной линии.) Г.Караваев

M2793*. В остроугольном треугольнике ABC (AB AC) точка O – центр описанной окружности: (рис.2). Пусть касательная к:, проведенная в точке A, пересекает прямую BC в точке D. Пусть прямая DO пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Точка G построена так, что AEGF – параллелог-

:

Рис. 2

21

ЗАДАЧНИК

емом случае движения света в атмосфере свойства среды изменяются не резко, а плавно. Вместе с изменением плотности воздуха по мере приближения к поверхности Земли изменяется и направление вертикали, в котором плотность изменяется наиболее быстро (т.е. вертикали в разных местах траектории луча света не являются параллельными линиями). Если, например, считать, что толщина слоя атмосферы на Земле составляет примерно 32 км (на этой высоте плотность воздуха составляет примерно 1% от плотности воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря), то при величине радиуса Земли примерно 6400 км длина пути света, падающего по касательной к поверхности Земли, от места входа в атмосферу до поверхности Земли составляет (без учета рефракции) примерно 640 км. При этом вертикали для места входа в атмосферу и в месте касания лучом света поверхности Земли составляют совсем не малый угол – примерно 0,1 рад, или около 5,7q. При учете явления рефракции длина пути будет еще больше, и рассматриваемые вертикали будут образовывать еще больший угол. Эксперименты, проводимые в нормальных условиях, показывают, что видимая на самом горизонте (высота над горизонтом 0q ) звезда на

«КВАНТА»

самом деле уже опустилась ниже горизонта примерно на 35 угловых минут. Иными словами, мы, находясь на поверхности Земли, видим светящиеся космические объекты, находящиеся в телесном угле, большем 2S. Если бы Земля была плоской и над ней была бы атмосфера с такой же плотностью вблизи поверхности, как у настоящей Земли, то в этом случае мы видели бы светящиеся объекты, расположенные в телесном угле, равном 2S. При этом нам бы казалось, что угол, под которым они нам видны, меньше 2S, т.е. свет космических объектов приходил бы к нам (находящимся на поверхности Земли) по направлениям, которые с горизонтом образуют угол не меньше угла рефракции. Оценим величину такого угла для плоской Земли. Коэффициент преломления света в воздухе при нормальных условиях равен примерно n 1,00028. Согласно закону преломления, отношение синусов углов падения и преломления равно отношению скоростей света в соответствующих средах. Отсюда следует, что минимальный угол с горизонтом, который образуют лучи света, пришедшего от объектов вне атмосферы, для плоской Земли будет равен arccos 1 n | 1,35 q 81 угл.мин. Ниже приведена взятая из интернета таблица, в которой указаны видимая угловая высота точечного источника света (звезды) с по-