XLV Турнир городов

XLV Турнир городов

О ЛИМПИА ДЫ

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1 (4).^{1}$ Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.) Б.Френкин

2 (4). Шахматную доску 8 u 8 перекрасили в несколько цветов (каждую клетку – в один цвет). Оказалось, что если две клетки – соседние по диагонали или отстоят друг от друга на ход коня, то они обязательно разного цвета. Какое наименьшее число цветов могло быть использовано? М.Евдокимов

3 (5). Пять равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке 1. Три больших треугольника равны

Рис. 1

между собой и два маленьких тоже равны между собой. Найдите углы треугольника ABC. Е.Бакаев

4 (5). Два пирата делят 25 золотых монет разного достоинства, выложенные в виде квадрата 5 u 5. Пираты по очереди берут по одной монете с краю (монету можно взять,

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

если или слева, или справа, или снизу, или сверху от нее нет другой). Верно ли, что первый пират всегда может действовать так, чтобы гарантированно получить хотя бы половину суммарной добычи? М.Евдокимов

5 (6). Есть N удавов, их пасти имеют размеры 1 см, 2 см, …, N см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду нельзя определить, какая у кого пасть. Вечером смотритель может выдать каждому удаву сколько хочет яблок каких хочет размеров, и за ночь удав заглотит все те из них, что влезают ему в пасть. Какое минимальное количество яблок суммарно смотритель должен вечером выдать удавам, чтобы утром по результату он гарантированно определил размер пасти каждого удава? Т.Казицына

10–11 классы

1 (3). В последовательности действительных чисел $a_{1}, a_{2},^{…}$ каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида $y x^{2} a_{n} x a_{n} 1$ (где n 1, 2, 3, …) имеют общую точку. М.Евдокимов

2 (4). Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке 2. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трех остальных квадратов? М.Евдокимов

Рис. 2

отрезка для наглядности показывает игрока, который сделал ход). Можно заметить, что после любого следующего хода первого игрока второй сможет захватить квадрат. Эта игра известна во многих странах под различными названиями. Впервые ее правила опубликовал французский математик Эдуард Люка еще в 1889 году. 4. Лягушки и жабы. На 2n + 1 клетках по прямой линии $расположены^{n}$ лягушек $и^{n}$ жаб, между которыми одна пустая клетка (рис.3). Лягушки слева, жабы справа.

Рис. 3

Лягушки могут перемещаться только вправо: либо в соседнюю клетку, если она пустая, либо перепрыгнуть через одну жабу или одну лягушку на пустую клетку. Аналогично для жаб, но они перемещаются только влево. Цель игры – поменять лягушек и жаб местами. Ходы не обязательно должны чередоваться между лягушками и жабами. Задача 1. Докажите, что эта игра-головоломка всегда имеет решение. Найдите число ходов. Напрашивается обобщение этой игры. Что если у нас m жаб $и^{n}$ лягушек? Задача 2. Докажите, что и обобщенная головоломка имеет решение, и найдите число ходов. Сколько решений имеет эта головоломка? Обозначим ход буквой Ш, если это перемещение в соседнюю клетку, и буквой П, если это прыжок. Запишем последовательность ходов, приводящую к выигрышу. Например, в случае двух жаб и двух лягушек:

ШПШППШПШ

Заметим, что получившаяся строка ходов является палиндромом [3]. Задача 3. Докажите, что это верно для произвольного числа жаб и лягушек. Задача 4. Верно ли, что выигрышная последовательность ходов будет являться палиндромом и для $случая^{m} z^{n}$? Еще одно обобщение этой головоломки – двумерное поле (рис.4). Теперь лягушки двигаются только вправо или вниз, жабы могут двигаться только влево и вверх.

Рис. 4

Земноводное может перепрыгивать через соседа при условии, что квадрат, на который оно попадает, пуст. Цель головоломки снова состоит в том, чтобы заставить лягушек и жаб поменяться местами. Задача 5. Докажите, что двумерная головоломка имеет решение. Есть другой вариант игры «Жабы и лягушки», предложенный математиком Ричардом Гаем. В этой игре жабы и лягушки снова расположены по прямой, но свободных клеток может быть много, разрешенные ходы те же, только в эту игру надо выиграть. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Позициям в такой игре можно присвоить значения. Иногда они являются привычными нам числами, а иногда – другими, более сложно устроенными сущностями. Попытка детального анализа подобных игр неожиданно приводит к интересной и сложной теории. Подробное обсуждение можно найти в книге [4] и сборнике [5].

Литература

1. Шашки Ласкера. – «Квант», 1970, №4, с.59. 2. Игра «йога». – «Квант», 1978, №9, с.64. 3. https: www.cut-the-knot.org SimpleGames FrogsAndToads.shtml 4. E.R.Berlekamp, J.H.Conway, R.K.Guy. Winning ways for your mathematical plays. Vol.1. – A K Peters/CRC Press, 2001. 5. Дж.Конвей и др. Человек, который играл в математику. – М.: МЦНМО, 2023.

Материал подготовил Н.Панюнин