Вариации на тему одной геометрической задачи

28

КВАНТ 2024/№11-12

Поэтому за один период движения бусинка трижды достигает максимального расстояния $r_{0}$, и трижды – минимального $r_{0} 3$. Таким образом, траектория за полный оборот вокруг оси отверстия трижды проходит от окружности с радиусом $r_{0}$ до окружности с радиусом $r_{0} 3$ и обратно, причем вблизи общих точек с большей окружностью бусинка движется по радиусу (траектория касается радиуса), в общих точках с меньшей окружностью радиальная скорость бусинки обращается в ноль при ненулевой угловой скорости – бусинка движется перпендикулярно радиусу и ее траектория касается меньшей окружности в общих точках. По этим сведениям можно достаточно корректно изобразить вид траектории (рис. 3). А.Аполонский, К.Парфенов

Вариации на тему одной геометрической задачи

Н.НИКОЛОВ (СОФИЯ), А.ИВАНОВ (ПЛЕВЕН)

В этой статье мы обсудим сюжет, связанный с геометрической задачей М2809, предлагавшейся на 73-й Болгарской национальной олимпиаде.

Рассмотрим такую несложную конструкцию. Пусть точки M и N расположены соответственно на сторонах AC и BC треугольника ABC (рис. 1). Пусть отрезки AN и BM пересекаются в точке O. Далее будем использовать стандартные обозначения элементов треугольника: BC = a, AC = b, ‘ ACB J. Кроме того, положим CM = m, CN = n, ‘ AOM T.

Рис. 3

Рис. 1

Начнем со следующей задачи, которая в принципе доступна ученикам 7–8 классов. Задача 1. Пусть ‘ ACB 90 q, а также пусть известно, что AM = BC и CM = BN. Найдите ‘ A OM.

Упражнение 1. Выясните, каков ответ в задаче 1 в предельных случаях AC = BC и AC = 2BC.

Решение. Достроим треугольник AMB до параллелограмма AMBP (рис. 2). Тогда BC

Рис. 2