Квант
Конкурс имени А. П. Савина

Задачи 9—16

Квант 2024, №11-12с. 32, 35Тег 7CJO

32

КВАНТ 2024/№11–12

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

  1. Из клетчатой скатерти со стороной клетки 1 вырезали прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам клеток, как на рисунке. Суммарная площадь белой части прямоугольника равна 10. Найдите его периметр. Г.Караваев

  2. Можно ли число 202420242024202420242024 представить в виде суммы шести натуральных чисел, каждое из которых записывается а) только цифрами 0 и 4; б) только цифрами 4? Е.Бакаев

  3. Миша смотрел «Что? Где? Когда?» и выписывал счет, начиная с 0:0 и до конца игры (в каждом раунде разыгрывается одно очко; игра заканчивается, когда зрители или знатоки наберут 6 очков). Если у зрителей было больше очков, Миша делал запись синей ручкой, если очков было больше у знатоков — красной ручкой, а если была ничья – зеленой. Могло ли оказаться, что красных, синих и зеленых записей было поровну? М.Евдокимов

  4. Можно ли всю поверхность какогонибудь выпуклого многогранника оклеить в один слой одним правильным десятиугольником и несколькими квадратами? Е.Бакаев

  5. В комнате находится 50 лампочек. К каждой лампочке подсоединены два выключателя, каждый либо включен, либо выключен. Лампочка горит только тогда, когда оба выключателя, подсоединенных

к ней, включены. Сначала в комнате горело 15 лампочек, а когда все 100 выключателей переключили, стало гореть 24 лампочки. Сколько выключателей теперь надо переключить, чтобы зажглись все лампочки? Г.Караваев

  1. а) Дан треугольник площади 4. В нем отмечают точку и соединяют с вершинами, при этом получаются три треугольника. Если их площади равны 1, 1, 2, то назовем такую точку хорошей. Рассмотрим треугольник с вершинами в трех хороших точках. 1) Докажите, что он подобен исходному треугольнику. 2) Найдите его площадь. б) Дан треугольник площади 6. В нем отмечают точку и соединяют с вершинами, при этом получаются три треугольника. Если их площади равны 1, 2, 3, то назовем такую точку хорошей. Найдите площадь выпуклого шестиугольника с вершинами в шести хороших точках. Е.Бакаев

  2. Федя разложил перед собой 16 лотерейных билетов и продает их по 1000 рублей за каждый. Два из них выигрышные – купивший получит стоимость билета и еще 1000 рублей выигрыша. Федя сегодня добрый, поэтому за 100 рублей ему можно задать любой вопрос, который допускает ответ «да» или «нет», и он честно на него ответит. Можно ли, задав несколько таких вопросов, гарантированно заработать а) 1200 рублей; б) 1300 рублей? Ф.Ивлев

  3. На прямой отмечено несколько точек. Известно, что для любых отмеченных точек A, B, C таких, что B на отрезке AC, выполняется ABBCd3AB BC d^{3}. Какое наибольшее количество точек может быть отмечено? Е.Бакаев

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

– Ну как же, с именем Пифагора связана знаменитая теорема, – объяснил дятел Спятел. – В любом прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется равенство

a2b2c2a^{2} b^{2} c^{2}. – Не может быть! – воскликнул Кузька. – В любом прямоугольном треугольнике? – В любом! – подтвердил дятел Спятел. – Я должен это проверить! Дайте мне ваши флажки! – сказал Кузька и убежал за рулеткой. Бусенька, дятел Спятел и Огрыза положили на стол свои флажки, и Кузька принялся за измерения, бегая с рулеткой от одного флажка к другому. Время от времени он откладывал рулетку и кружился на одном месте, словно танцевал. – Все-таки это завораживающее зрелище, когда Кузька что-то вычисляет, – похвалила Бусенька. – Эти его приемы счета на лапах порою выглядят как настоящий балет. – Готово! – доложил Кузька, – я все проверил. Диагноз ясен: вы слишком увлекаетесь авторитетами. Теорема Пифагора неверна! – Как неверна? Почему неверна? – хором спросили Бусенька и дятел Спятел. – Кажется, кто-то из нас спятил, – предположила Огрыза. – Я очень аккуратно вычислил стороны ваших флажков в миллиметрах и для каждого из них подсчитал величину c2a2b2c^{2} a^{2} b^{2}. Для бусенькиного флажка эта величина равна 220, для огрызиного – 265, а для флажка дятла Спятла – 317. Все с удивлением смотрели на Кузьку. – Забавно, – сказал, наконец, дятел Спятел. – Я заплатил за свой флажок как раз 3 рубля 17 копеек. – А я за свой 2 рубля 65 копеек, – сказала Огрыза. – А я за свой, – театрально закатив глаза, медленно произнесла Бусенька, – 2 рубля 20 копеек! Теперь уже Кузька смотрел на остальных, как на новые ворота. – Мистика какая-то, – сказал он. – По крайней мере, из твоих вычислений ясно, что наши флажки – это не прямоугольные треугольники, – сказала Бусень-

ШКОЛЬНИКОВ

ка. – Угол, который мы считали прямым, на самом деле чуть-чуть больше90qбольше^{90q}. На глаз разница практически незаметна. Интересно, как коллега Спрудль назначает цену? – По площади, – сказала Огрыза. – Он при мне измерил катеты флажка, перемножил их, поделил на 2 и сообщил: «Площадь флажка столько-то квадратных сантиметров», а потом вычислил цену флажка, умножив площадь на цену одного квадратного сантиметра. – Но ведь флажок непрямоугольный, – возмутился дятел Спятел, – его площадь меньше половины произведения сторон! Значит, он завысил площадь, а вместе с ней и цену! – Может, он ошибается, потому что думает, что флажки у него прямоугольные, – предположила Бусенька. – А то, что все его ошибки в его пользу, – это рефлекс, который он вырабатывал годами. Как он выкраивает флажки? С помощью угольника? – Ааааа… Кажется, я знаю как! – догадался дятел Спятел. – С помощью египетского треугольника! Точнее, не египетского, а древнешумерского! – Древне… какого? – не понял Кузька. – Древнешумерского! Горгулий завязал на старой веревке 71 узелок и продал ее коллеге Спрудлю по цене антиквариата. Будто бы это древний инструмент для построения прямых углов. Узелки завязаны через равные расстояния. Совмещая первый узел с последним, мы строим с помощью веревки треугольник со сторонами 20, 21 и 29. – 20221229220^{2} 21^{2} 29^{2}, – быстро подсчитал Кузька. – Это же настоящий прямоугольный треугольник! Он древний? – Очень древний, – подтвердила Бусенька, – и довольно-таки шумерский. Вот только мне кажется, что очень неудобно все время совмещать первый и последний узел. Почему бы не связать концы веревки в том месте, где совмещаются узлы? – Действительно неудобно, – согласилась Огрыза. – Видимо, коллега Спрудль так и сделал. Но если при этом он совместил крайние узлы, то у него получился двойной или даже тройной узел – очень неуклюжая конструкция.