Самоподобие в картинках

Квант 2025, №2 с. 34 Тег TM4J

Дополним статью «Самоподобие» несколькими яркими примерами.

Разноцветные многоугольные области самоподобного «ковра» на рисунке 1 переходят друг в друга при отражении

Рис 2

Рис 1

(или, что то же самое, при повороте на 180q ) относительно подходящей вершины центрального правильного пятиугольника. Каждая область отражается относительно самой правой вершины пятиугольника, если смотреть из данной области. Этот фрактал получается из динамической системы с перекладыванием кусков, в чем-то похожим на приведенное в $статье.^{2.}$ Аналогичный фрактальный «ковер», но только центральный многоугольник – правильный семиугольник, изображен на рисунке 2. Здесь тоже имеется самоподобие, но невооруженным глазом его разглядеть невозможно – нужен микроскоп с тысячекратным увеличением. $^{3.}$ На рисунке 3 показано построение фрактала, который Рис 3 можно рассматривать как геометрическую интерпретацию слов Фибоначчи. Первая ломаная соответствует $слову_{3}^{w}$ , вторая $–_{4}^{w}, затем_{5}^{w},_{6}^{w},_{7}^{w},_{8}^{w},_{9}^{w}$ , далее самая правая в нижнем ряду $–_{12}^{w}$ , левее $–_{15}^{w}$ и, $наконец,_{22}^{w}$ . Фрактал строится по следующему правилу: если в последовательности встретилась 1, то рисуем единичный отрезок; если в последовательности встретился 0, то рисуем единичный отрезок и поворачиваем влево на 90q, если 0 на четном месте, и на 90q вправо, если 0 на нечетном месте. Как и слова, фрактал удовлетворяет свойству конкатенации: каждая сле-

дующая часть фрактала есть объединение двух $предыдущих.^{4.}$ На рисунке 4 показана плоскость с координатами x; y (оси системы координат не изображены). На этой «динамической» плоскости действует отобра-

Рис 5

Рис 4 жение f, переводящее точку x; y в точку $x^{2} y^{2} 1 ; 2 xy$ . Орбиты красных точек убегают на бесконечность. Орбиты синих и зеленых точек сходятся к циклу, состоящему из двух точек: центральной точке рисунка, имеющей координаты 0;0, и белой точке в левой зеленой области, имеющей координаты 1;0. При этом синие точки отображаются в зеленые и наоборот. Синие и зеленые точки тем темнее, чем медленнее их орбиты приближаются к периодическому 2-циклу, а красные точки, наоборот, тем темнее, чем быстрее они убегают на бесконечность. Эта картинка называется базиликой. Базилика содержит копии самой себя во всех масштабах: эти копии сохраняют углы, хотя и нарушают $пропорции.^{5.}$ Динамическая плоскость отображения, заданного весьма явно, но чуть сложнее примера с базиликой, представлена на рисунке 5. Здесь тоже имеется притягивающий цикл периода 2, а множество точек, орбиты которых никогда не приближаются к этому циклу, представляет собой самоподобную фигуру, родственную треугольнику Серпинского. Цикл состоит из точек 0 и бесконечность (это то, что получается при делении на 0), все желтые и зеленые точки притягиваются к этому циклу, причем желтые точки переходят в зеленые и наоборот. Желтые точки тем светлее, чем быстрее они притягиваются к циклу, а зеленые – наоборот, $темнее.^{6.}$ Множество Мандельброта (рис. 6) состоит из таких точек $u_{1} ; v_{1}$ , для которых последовательности $u_{n}, v_{n}$ , заданные рекуррентными соотношениями $u_{n} 1 u_{n}^{2} v_{n}^{2} u_{n}, v_{n} 1 2 u_{n} v_{n} v_{n}$ , остаются ограниченными. Каждой точке множества Мандельброта соответствует своя динамическая система наподобие базилики.

Рис 6

Соответствующие системы претерпевают существенные изменения (бифуркации) при пересечении границы множества Мандельброта. Кроме того, множество Мандельброта содержит свои многочисленные уменьшенные копии – в том же смысле, как и у базилики. Материал подготовили В.Кириченко, В.Тиморин

КВАН T 2025/№2

(Начало см. на с. 29) б) Приведем пример: пусть в мешках 1, 2,…, 9 конфет. Тогда, как легко проверить, первый заберет 0 конфет, второй 1, третий 2,…, десятый 9 конфет. А.Глебов

M2820. Назовем ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали, горизонтальными, а остальные – вертикальными. Требуется поставить коня на одну из клеток доски 46 u 46, после чего чередовать его горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов.

Разделим доску на 23 вертикальные полоски 46 u 2 и покрасим полоски красным и синим: первую полоску покрасим красным и далее чередуем цвета (см. рисунок).

Пусть конь сделал h горизонтальных ходов. Каждый из горизонтальных ходов определяет пару клеток (это клетки, в которых конь находится до и после выполнения хода); итак, у нас h пар клеток. Легко видеть, что в такой паре одна из клеток красная, а другая синяя. Кроме того, по условию задачи конь не может выполнить два горизонтальных хода подряд, поэтому никакая клетка не может входить в две пары для двух различных горизонтальных ходов. Поэтому h не превышает количества синих клеток: h d 11 2 46 1012. Аналогично показываем, что количество вертикальных ходов не превышает 1012. Итого, было сделано не более 1012 + 1012 = = 2024 ходов. А.Грибалко

M2821. Дорогой на плоскости будем называть прямую, по которой можно двигаться только в одну сторону.

а) Петя и Вася по очереди проводят дороги, начинает Петя. Разрешается проводить только горизонтальную или вертикальную дорогу; направление на дороге выбирает тот, кто проводит дорогу (при создании этой дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрестка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя? б) Пусть на плоскости проведены несколько (конечное множество) дорог, любые две из которых пересекаются. При каком наименьшем m всегда можно добавить m дорог и сделать так, чтобы можно было проехать от любого перекрестка до любого другого?

Ответ: а) всегда; б) 2. а) Пока все проведенные дороги параллельны, пусть Вася продолжит проводить прямые, параллельные проведенным, так, чтобы после его хода крайние дороги были разных направлений. Когда Петя проведет пересекающую их дорогу, Вася может с одной из сторон от нее провести дорогу противоположного направления так, чтобы выполнялось такое условие (): самая левая дорога l, самая правая дорога r, самая верхняя дорога t и самая нижняя дороги b образуют прямоугольник 3 с круговым движением (рис. 1). Покажем, что 1) Вася сможет играть так, чтобы после каждого его хода условие () выполнялось; 2) если условие (*) выполняется, то от любого перекрестка можно доехать до любого другого. Отсюда сразу последует решение. 1) Пусть, для определенности, на очередном ходе Петя проводит горизонтальную дорогу x. Если x проведена между t и b, то Вася также проводит горизонтальную прямую между t и b, так что прямоугольник 3 не поменялся. Допустим теперь, что Петина прямая x расположена выше прямой t. Тогда пусть Вася проведет горизонтальную Рис. 1