Муниципальный этап LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

ОЛИМПИАДЫ

Муниципальный этап LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

Теоретический тур

7 класс

1. Канатная дорога На горизонтальной канатной дороге есть участки (трасса), где вагончик движется со скоростью $v_{тр}$ относительно земли, и станции с платформами, вдоль которых вагончик движется медленнее со скоростью $v_{cт} v_{тр}$

Рис. 1

(рис. 1, вид сверху). Переключение скоростей происходит мгновенно, когда вагончик находится точно над краем платформы. На станции всегда скорость изменяется у двух вагончиков одновременно и в этот момент между ними находятся еще 5 вагончиков. Между соседними вагончиками на станции сохраняется равное расстояние l = 6 м. Время медленного движения вагончика вдоль станции от одного края платформы до другого W = 2 мин. Расстояние между вагончиками на трассе s = 40 м, размерами самих вагончиков можете пренебречь. 1) Найдите длину L платформы. 2) Чему равна скорость $v_{cт}$ движения вагончиков на станции? 3) Чему равна скорость $v_{тр}$ движения вагончиков на трассе? С.Кармазин

2. Метеосводка Семиклассник Артем из Долгопрудного решил узнать, на сколько миллиметров отличаются сейчас высоты столбиков термометров у него и его товарища из Великого Устюга. Для этого Артем приложил конец измерительной ленты к шкале своего термометра (рис. 2). Согласно метеосводке, в Великом

Рис. 2

Устюге установилась температура воздуха 37 q С. Помогите Артему сделать нужные расчеты, зная, что термометры Артема и его товарища одинаковые. В.Бабинцев

3. Единицы измерения бывают разные Экран ноутбука пользователя, размеры которого 345 u 194 мм, имеет разрешение 1920 u 1080 пикселей. Пользователь использует мышь с DPI, равным 800 пикселей. Выделяя часть одной строки текста, пользователь равномерно и прямолинейно перемещает мышь со скоростью 0,06 фута в микронеделю. Определите с точностью до трех значащих цифр: 1) DPI мыши пользователя в дюймах; 2) скорость перемещения мыши, равную 0,06 фут микронеделя в дюйм с;

61

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №11-12 за 2024 г.)

9. 18. Обозначим стороны неполных клеток как a, b, c, d (рис. 4). Периметр прямоугольника равен

2 a 3 b c 3 d

2 a 2 b 2 c 2 d 12.

Рис. 5

Рис. 4

А белая площадь, равная 10, составлена из прямоугольников 1 u a, 1 u b, 1 u c и 1 u d, взятых по два раза, и четырех клеток 1 u 1, т.е. равна 2 a 2 b 2 c 2 d 4. Значит, периметр на 8 больше и равен 10 + 8. 10. Рассмотрим представление данного числа 202420242024202420242024 в виде нужной суммы. Поделив на 4, получим, что вопрос задачи эквивалентен следующему: можно ли число 50605060506050605060506 представить в виде суммы шести натуральных чисел, каждое из которых записывается а) только цифрами 0 и 1; б) только цифрами 1? а) Да, можно, так как в числе 5060…6 максимальная цифра – это 6. Пример:

50605060506050605060506 5 ˜ 10101010101010101010101 100010001000100010001. б) Нельзя. Каждое слагаемое состоит только из единиц и их не больше 9, поэтому при сложении не будет переноса единиц в другой разряд. Значит, сумма может быть только числом, где цифры идут в неубывающем порядке, а число 5060…6 таким свойством не обладает. 11. Да. Так как записей трех цветов поровну, их общее количество кратно 3. Но записей на одну больше, чем было раундов. Значит, одна из команд победила со счетом 6: 2 или 6: 5. В первом случае проигравшая команда может лидировать не более двух раз, а нужно 6 2 1: 3 3 раза. Второй случай возможен: 0: 0, 0: 1, 0: 2, 1: 2, 2: 2, 2: 3, 3: 3, 4: 3, 5: 3, 5: 4, 5: 5, 6: 5. 12. Да, можно. Рассмотрим правильный 10-угольник ABCDE… с длиной стороны 1. Построим прямую призму с основанием ABCDE и высотой 1 (рис. 5). Два ее основания и одна прямоугольная боковая грань накрываются десятиугольником, остальные 4 боковые грани – это квадраты со стороной 1. 13. 41. Лампочки, горевшие вначале, после переключения не горят. Разделим лампочки на три группы: 15 лампочек, которые горели вначале, но не горят сейчас; 24 лампочки, которые горят сейчас; оставшиеся 11, которые не горели ни до, ни после переключения. У 24 лампочек, которые горят сейчас, ни один выключатель переключать не надо. У 15 лампочек, горевших вначале, оба выключателя выключены, поэтому надо переключить 30 выключателей, чтобы зажечь их снова. Наконец, у оставшихся 11 лампочек сначала был выключен один выключатель, а после переключения – другой, а значит, чтобы зажечь их, надо переключить еще 11 выключателей. 14. а) 1 4; б) 1. а) Рассмотрим треугольники ABC и ABD. Площади ABC и ABD относятся так же, как относятся длины высот этих треугольников, проведенных к AB. Соответственно, все такие точки K внутри треугольника, что площадь ABK постоянна, лежат на отрезке, параллельном AB. Пусть площадь ABC равна 4, а площадь ABK равна s; тогда пусть точки K лежат на прямых l(s), для s, равных 1, 2, 3. Прямые l(1), l(2), l(3) делят высоту на 4 равные части (рис. 6).

Рис. 6

Рассмотрим разбиение данного треугольника на 16 равных треугольников прямыми, параллельными сторонам (рис. 7). Рассмотрим точки пересечения, указанные на рисунке. Из рассужде-

64

КВАНТ 2025/№2

лишнее, удаляем его. Тогда в вершине 13 остаются два ребра, выделяем ребра 13–3 и 13–12. Рассуждая таким образом, удаляя и выделяя ребра графа, можно показать, что существует только один маршрут, проходящий по всем 32 вершинам графа (рис. 12), который дает единственное решение головоломки, изображенное на рисунке 13.

Чудеса в сети

(см. 3-ю с. обл)

Рис. 11

1. 1. s f8+!!, и черные либо остаются без ладьи, либо получают мат после 1… 7 f8 2. q d8+. 2. 39… / f1+ 40. u f1 e3, и от белых потребуется точность, чтобы остановить проходную.

КВАНТ

Рис. 12

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов, А.Ю.Котова, Н.М.Панюнин, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ

М.Н.Грицук, Д.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Н.В.Станцо

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

Е.А.Митченко, Н.В.Станцо

Рис. 13

тех вершинах, где сходятся два синих ребра, остальные надо удалить, они не будут использоваться в маршруте. Таковой является вершина 9, значит, ребро 9–7 удаляем, что повлечет за собой удаление ребра 7–2 (рис. 11). После этого в вершине 2 останется два ребра, значит, они будут в маршруте, выделяем ребра 2–14 и 2–23. Есть еще вершина 20 с двумя выделенными ребрами, значит, удаляем ребро 20–5. В вершине 23 есть два синих ребра, значит, ребро 23–13

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во ПИ №ФС77–54256 Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ № Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: +7 916 168-64-74 Е-mail: math@kvant.ras.ru, phys@kvant.ras.ru

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «Принт-Хаус» г. Нижний Новгород, ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8 Тел.: (831) 218-40-40