Kvant
Tạp lục

[Hai bài toán]

Kvant 1970, số 6tr. 38Thẻ 532O

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

38

các nghiệm của nó
x1,x2=2±4+4m2−4m−3=2±(2m−1),x_1, x_2 = 2 \pm \sqrt{4 + 4m^2 - 4m - 3} = 2 \pm (2m - 1),
tức là x1=1+2mx_1 = 1 + 2m và x2=3−2mx_2 = 3 - 2m.

Các nghiệm thu được sẽ là thực với mọi mm thực. Với các giá trị nghiệm đã tìm được cần yêu cầu thỏa mãn điều kiện xác định, tức là
{1+2m≥−1,3−2m≥−1;{m≥−1,m≤2;\begin{cases} 1 + 2m \geq -1, \\ 3 - 2m \geq -1; \end{cases} \quad \begin{cases} m \geq -1, \\ m \leq 2; \end{cases}
suy ra
−1≤m≤2.-1 \leq m \leq 2. (1)

Ngoài ra, theo điều kiện bài toán, các nghiệm phải có giá trị khác nhau. Điều này xảy ra nếu x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0 hoặc (1+2m)(3−2m)<0(1 + 2m)(3 - 2m) < 0. Sau khi giải nó, bất đẳng thức được thỏa mãn với các giá trị mm sau:
m<−12 vaˋ m>32.m < -\frac{1}{2} \text{ và } m > \frac{3}{2}. (2)

Đối chiếu các kết quả thu được (1) và (2) trên trục số (hình 3), ta được rằng mọi điều kiện đã nêu của bài toán được thỏa mãn với các giá trị mm sau:
−1≤m<−12 vaˋ 32<m≤2.-1 \leq m < -\frac{1}{2} \text{ và } \frac{3}{2} < m \leq 2.

Còn phải lưu ý rằng vì x1x_1 và x2x_2 là nghiệm của phương trình đã cho, nên khi x=x1x = x_1 và x=x2x = x_2 biểu thức dưới dấu căn của nó nhất thiết là một số chính phương, do đó không âm. Điều này cũng có thể kiểm tra bằng phép thế trực tiếp.

Sai lầm điển hình mà 70% thí sinh mắc phải trong bài này là không xét đến miền giá trị cho phép x≥−1x \geq -1.

V. A. Nazaev
P. N. Torzhkov

BAO KHOAI TÂY

Trong bao có khoai tây nặng 100 kg với độ ẩm 99%. Khoai tây đã khô đi, độ ẩm giảm xuống còn 98%.

Khối lượng mới của nó là bao nhiêu?

CHỈ CÓ 2 THÔI SAO?

Ai cũng biết rõ các quy tắc sau:

2×2=4,2+2=4;0+0=0.2 \times 2 = 4, \quad 2 + 2 = 4; \quad 0 + 0 = 0.

Hãy suy nghĩ về các câu hỏi sau:

  1. Có những số nguyên aa và bb khác nào sao cho
    a+b=ab.a + b = ab.

  2. Có những số hữu tỉ khác nào không?

  3. Giả sử thêm rằng
    a+b=ab=p,a + b = ab = p,
    trong đó pp là một số nguyên, p≠0p \neq 0, p≠4p \neq 4. Điều này có thể xảy ra:
    a) với a,ba, b thực;
    b) với a,ba, b hữu tỉ.

  1. Một số tự nhiên không chia hết cho 2, cũng không chia hết cho 3, cũng không chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia lũy thừa bậc 4 của số này cho 480.

  2. Hai người mua những quyển sổ giống nhau: người thứ nhất 5 chiếc, người thứ hai 31 chiếc. Tiền thừa của người thứ nhất từ năm rúp chứa số rúp và cô-pếch bằng số cô-pếch và rúp mà tiền thừa tương ứng của người thứ hai từ 25 rúp chứa. Một quyển sổ giá bao nhiêu?