Tất cả những gì các nhà toán học làm

55

Trong cuốn sách của nhà toán học và nhà phổ biến khoa học nổi tiếng người Úc U. U. Sawyer*) đã làm rõ bản chất của tư duy toán học, trình bày những ý tưởng cơ bản và những động lực của toán học. Tác giả một cách sắc sảo và hấp dẫn cho thấy tính vô lý của quan niệm đã ăn sâu rằng toán học là một khoa học tẻ nhạt và hình thức. Ở đây chúng tôi đăng bản kể lại rút gọn phần lời mở đầu của cuốn sách này.

*) U. U. Sawyer, Dẫn nhập vào toán học, M., “Giáo dục”, 1965.

56

Hầu như mọi phát minh toán học đều dựa trên một ý tưởng rất đơn giản. Sách giáo khoa thường che giấu sự thật này. Chúng thường chứa những suy diễn cồng kềnh và do đó tạo ra ấn tượng rằng các nhà toán học là những người suốt đời ngồi bên bàn viết và tiêu tốn hàng tấn giấy. Đó là điều vô nghĩa. Nhiều nhà toán học làm việc rất thành công trong phòng tắm, trên giường, khi chờ tàu hoặc khi đi xe đạp (tốt nhất là khi giao thông thưa thớt). Các phép tính toán học được thực hiện trước hoặc sau phát minh. Bản thân phát minh nảy sinh từ những ý tưởng cơ bản.

Ít người hình dung được phạm vi hoạt động của toán học hiện đại rộng lớn đến mức nào. Có lẽ sẽ dễ nắm vững mọi ngôn ngữ đang tồn tại hơn là mọi tri thức toán học đã biết vào thời điểm hiện nay. Tôi nghĩ rằng có thể học hết mọi ngôn ngữ trong một đời người, còn toàn bộ toán học thì dĩ nhiên không. Hơn nữa, khối lượng tri thức toán học không đứng yên. Hằng năm lại công bố những phát minh mới. Chẳng hạn, năm 1951, để trình bày tham khảo tất cả các bài báo toán học xuất bản trong năm, cần đến 900 trang in khổ lớn. Chỉ riêng tháng Giêng đã nêu 451 nhan đề, trong đó các bài báo và sách xem xét những vấn đề mới được giới thiệu; chỉ trong ít tài liệu có nhắc đến những sự kiện đã biết.

Một người muốn theo kịp mọi điều mới trong toán học sẽ phải đọc mỗi ngày khoảng 15 bài báo, phần lớn có dung lượng lớn và chứa những lập luận toán học phức tạp. Khó mà mơ đến việc hoàn thành một nhiệm vụ như vậy.

Những phát minh do các nhà toán học thực hiện đa dạng đến mức có lần ai đó, hình như đãng trí, đề nghị định nghĩa toán học là “tất cả những gì các nhà toán học làm”. Dường như chỉ một định nghĩa rộng như vậy mới có thể bao quát mọi điều thuộc về toán học. Các nhà toán học giải quyết những vấn đề mà trước đây không được coi là toán học, và khó dự đoán trong tương lai họ còn sẽ làm gì.

Chính xác hơn sẽ là định nghĩa: “Toán học là sự phân loại mọi bài toán có thể có và các phương pháp giải chúng”. Có lẽ định nghĩa này cũng quá mơ hồ, vì nó sẽ bao gồm cả những mục như quảng cáo trên báo: “Hãy đem mọi nỗi lo âu trong lòng đến với dì Minnie”, điều mà chúng ta hoàn toàn không muốn nói tới.

Đối với chúng ta, định nghĩa sau là đủ: “Toán học là sự phân loại và nghiên cứu mọi quy luật có thể có và các phương pháp giải chúng”. Từ “quy luật” ở đây được dùng theo một nghĩa mà nhiều người có thể không đồng ý, cụ thể là theo nghĩa rộng nhất, để gọi mọi loại quy luật có thể được nhận biết bằng trí óc.

Bất kỳ lý thuyết toán học nào cũng nhất thiết phải kết hợp trong mình sức mạnh của phương pháp. Quy định phải kết hợp trong mình sức mạnh của phương pháp quy định phải kết hợp trong mình sức mạnh của phương pháp.

khả năng áp dụng vào các khoa học tự nhiên, và vẻ đẹp, tính chặt chẽ, rất hấp dẫn đối với trí tuệ. Chúng tôi cho rằng định nghĩa của chúng tôi về toán học đáp ứng những yêu cầu chung ấy.

Thật thú vị khi nhận thấy rằng các nhà toán học «thuần túy», chỉ được dẫn dắt bởi cảm giác về tính chặt chẽ của hình thức toán học, thường đi đến những kết luận mà về sau hóa ra cực kỳ quan trọng đối với khoa học. Người Hy Lạp đã nghiên cứu các tính chất của elip hơn một nghìn năm trước khi Kepler sử dụng các ý tưởng của họ để xác định quỹ đạo các hành tinh. Bộ máy toán học của thuyết tương đối đã được tạo ra ba mươi — năm mươi năm trước khi Einstein tìm được ứng dụng cho nó trong vật lý. Có thể nêu ra nhiều ví dụ tương tự. Mặt khác, nhiều lý thuyết và bài toán chặt chẽ mà bất kỳ nhà toán học «thuần túy» nào cũng xếp vào toán học, đã nảy sinh cùng với vật lý.

Những người thực hành, theo quy tắc, không có quan niệm về toán học như một phương pháp phân loại mọi bài toán. Họ thường chỉ nghiên cứu những phần của toán học đã tỏ ra hữu ích cho chuyên ngành của mình. Vì thế họ hoàn toàn bất lực trước những bài toán mới. Khi ấy họ mới tìm đến toán học để nhờ giúp đỡ. (Sự phân công lao động giữa các kỹ sư và các nhà toán học này, có lẽ, là chính đáng: cuộc đời quá ngắn để đồng thời nghiên cứu cả lý thuyết trừu tượng lẫn công việc kỹ thuật.) Cuộc gặp gỡ

57

Toán học và kỹ thuật nói chung rất thú vị. Người kỹ sư, hằng ngày làm việc với máy móc, quen với chúng đến mức không thể hiểu được cảm giác của một người nhìn thấy máy lần đầu. Anh ta ném cho nhà toán học tư vấn của mình một khối lượng khổng lồ các chi tiết mà đối với người kia hoàn toàn không có ý nghĩa gì. Sau một thời gian, người kỹ sư đi đến kết luận rằng nhà toán học là kẻ hoàn toàn không biết gì và rằng cần phải giải thích cho anh ta những điều đơn giản nhất, như cho một đứa trẻ hoặc cho Socrates. Nhưng ngay khi nhà toán học hiểu được máy làm gì và người ta đòi hỏi gì ở nó, ông chuyển bài toán sang ngôn ngữ các thuật ngữ toán học. Sau đó ông có thể tuyên bố với người kỹ sư một trong ba điều:

1. rằng bài toán này đã biết và đã được giải;
2. rằng đây là một bài toán mới mà ông có thể thử giải;
3. rằng đây là một trong những bài toán mà các nhà toán học nhất định sẽ cố giải, và rằng có thể còn phải qua nhiều thế kỷ trước khi dù chỉ một bước được thực hiện để giải nó, và vì vậy người kỹ sư sẽ phải giải nó bằng thực nghiệm. Đáng tiếc, trường hợp thứ ba xảy ra thường xuyên đến chán nản. Nhưng trường hợp thứ nhất và thứ hai cũng khá thường xuyên, và chính khi đó nhà toán học, nhờ hiểu biết của mình về các quy luật, có thể đem lại ích lợi trong những lĩnh vực mà theo một nghĩa nào đó ông không biết.
   Nhà toán học phải có những phẩm chất nào?
   Mọi nhà toán học đều có tính táo bạo của trí tuệ. Nhà toán học không thích khi người ta kể cho mình điều gì đó, ông muốn tự mình đi đến tận cùng mọi việc. Dĩ nhiên, nếu bạn nói với một nhà toán học trưởng thành về một khám phá vĩ đại nào đó và kể với ông rằng chưa ai có thể chia một góc thành ba phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa, bạn nhất định sẽ thấy rằng một hai cậu bé sẽ ở lại sau giờ học và cố tìm lời giải. Việc trong hai nghìn năm không ai giải được bài toán này không ngăn họ hy vọng rằng họ có thể làm được điều đó trong giờ nghỉ trưa. Điều này, dĩ nhiên, không thật khiêm tốn, nhưng cũng không chứng tỏ sự tự phụ của họ. Họ chỉ chưa sẵn sàng chấp nhận bất cứ quy luật nào, trong khi trên thực tế đã chứng minh rằng không thể chia một góc thành ba phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa. Nỗ lực tìm lời giải của họ cũng cùng loại với nỗ lực biểu diễn số 2 dưới dạng một phân số hữu tỉ.
   Một học sinh giỏi luôn cố đi trước. Nếu người ta giải thích cho em cách hoàn thành bình phương, em nhất định sẽ hỏi liệu có thể giải phương trình bậc ba bằng cách hoàn thành lập phương hay không. Những học sinh khác trong lớp không đặt những câu hỏi như vậy. Phương trình bậc hai là đủ với họ, họ không tìm thêm khó khăn.
   Chính khát vọng nghiên cứu này là nét nổi bật thứ hai của nhà toán học. Đó là một trong những động lực thúc đẩy sự phát triển của toán học. Nhà toán học nhận được sự thỏa mãn từ những tri thức mà ông đã làm chủ và luôn hướng tới những tri thức mới.
   Ý này có thể được minh họa bằng ví dụ về số mũ phân số trong khóa đại số ở trường. Dễ hình dung một người, sau khi làm quen một cách hời hợt với các số mũ phân số và âm, bắt đầu ngạc nhiên không hiểu tất cả những điều đó để làm gì. Rốt cuộc phải vượt qua biết bao khó khăn lôgic! Tôi cho rằng người đã khám phá ra các số mũ phân số trước hết đã làm việc với các số mũ nguyên và nhận được sự thỏa mãn lớn đến mức ông muốn phát triển phần này, và ông sẵn sàng chấp nhận rủi ro lôgic. Bởi lúc đầu, một khám phá mới hầu như luôn là vấn đề của niềm tin, và chỉ về sau, khi trở nên rõ ràng rằng đó thực sự là một khám phá, mới phải tìm một sự biện minh lôgic làm thỏa mãn những nhà phê bình khó tính nhất.
   Sự quan tâm đến các quy luật là phẩm chất cần thiết thứ ba của nhà toán học. Ngay từ đầu, trong số các đối tượng đã gặp những quy luật. Chẳng hạn, từ bốn viên đá có thể xếp thành một hình vuông, còn từ năm viên thì không thể.

⟦tờ 58⟧

Các năng khiếu toán học, cũng như âm nhạc, bộc lộ rất sớm, từ bốn tuổi, đôi khi còn sớm hơn. Có lần một cậu bé nói với tôi: “Cháu thích từ September (tháng Chín), vì nó thành ra sEptEmbEr.” Bản thân tôi chưa bao giờ nhận thấy sự xen kẽ đều đặn giữa nguyên âm và phụ âm trong từ này. Quả thật nó đối xứng hoàn toàn. Một đứa trẻ như vậy, dĩ nhiên, sẽ thích số học.

Khả năng khái quát hóa là một trong những yếu tố quan trọng nhất tạo nên một nhà toán học. Phạm vi các vấn đề mà một nguyên lý chung nào đó có thể áp dụng càng rộng, thì nó càng thường giúp ta thoát khỏi khó khăn. Poincaré nói: “Giả sử tôi đã làm một phép tính phức tạp và hết sức khó nhọc mới cuối cùng nhận được kết quả; nhưng mọi công sức của tôi sẽ trở nên vô ích nếu chúng không giúp dự đoán kết quả trong những phép tính tương tự khác, nếu chúng không cho phép thực hiện chúng một cách chắc chắn hơn, tránh được những sai lầm và lạc lối mà lần đầu tôi đã phải cam chịu.”

Sau khi khái quát hóa, kết quả trở nên hữu ích hơn. Có lẽ bạn sẽ ngạc nhiên rằng sự khái quát hóa hầu như luôn luôn cũng làm đơn giản hóa kết quả. Một kết quả rộng hơn dễ tiếp nhận hơn một kết quả ít bao quát hơn. Một định lý tổng quát hiếm khi chứa điều gì rắc rối; mục đích của nó là hướng sự chú ý của bạn vào những sự kiện thực sự quan trọng.

Trong toán học sơ cấp, chúng ta gặp một hỗn hợp đủ loại chi tiết quan trọng và không quan trọng

. Trong toán học cao cấp, chúng ta cố gắng tách các yếu tố khác nhau ra và nghiên cứu từng yếu tố riêng biệt. Theo nghĩa này, toán học cao cấp có lẽ đơn giản hơn nhiều so với toán học sơ cấp.

Tất cả những điều chúng ta đã nói ở trên đều nhằm mở rộng phạm vi các vấn đề thuộc quyền của toán học. Nghiên cứu, phát hiện các quy luật, giải thích ý nghĩa của từng quy luật, phát minh những quy luật mới theo hình mẫu của những quy luật đã biết — tất cả những hoạt động ấy đều mở rộng phạm vi tác dụng của toán học. Xét từ quan điểm thực hành, việc theo dõi tất cả các kết quả thu được trở nên đặc biệt khó khăn, và không thể nói rằng sự chất đống các định lý không liên hệ với nhau là một giải pháp dễ chịu. Vừa là những người thực hành vừa là những nghệ sĩ, các nhà toán học cảm thấy cần phải tập hợp tất cả những kết quả rời rạc ấy lại.

Không có gì đáng ngạc nhiên khi toàn bộ lịch sử toán học gồm những quá trình “mở rộng” và “thu hẹp” xen kẽ. Chẳng hạn, một vấn đề nào đó thu hút sự chú ý của các nhà toán học, hàng trăm bài báo được viết ra, mỗi bài chỉ làm sáng tỏ một mặt của chân lý. Vấn đề phát triển. Sau đó một thiên tài nào đó, dựa trên tất cả những dữ liệu được thu thập với bao khó nhọc, tuyên bố: “Tất cả những gì chúng ta biết trở nên gần như hiển nhiên, nếu nhìn nó từ quan điểm này.” Sau đó, không ai, trừ các nhà sử học toán học, còn cần phải nghiên cứu hàng trăm bài báo riêng lẻ nữa. Những kết luận rời rạc được hợp nhất thành một học thuyết đơn giản, những sự kiện quan trọng được tách khỏi vỏ trấu, và con đường thẳng đến kết luận mong muốn được mở ra cho mọi người. Khối lượng tri thức cần học đã giảm đi. Nhưng đó chưa phải là kết thúc. Sau khi phương pháp mới trở thành tài sản chung, những câu hỏi mới sẽ nảy sinh mà nó không đủ để giải quyết, và việc tìm kiếm câu trả lời lại bắt đầu, các bài báo lại được công bố, quá trình “mở rộng” lại bắt đầu.

Nếu có thể quy tất cả tri thức về hai định luật chung, nhà toán học sẽ không thỏa mãn. Ông sẽ không yên tâm cho đến khi chứng minh được rằng cả hai định luật ấy dựa trên một nguyên lý. Nhưng ngay cả khi đó ông cũng không hạnh phúc, ngược lại, ông sẽ trở nên bất hạnh, vì ông sẽ không còn gì để làm. Nhưng viễn cảnh về một bộ phận các định luật như vậy là không thể có. Cuộc sống là như thế: việc giải quyết một vấn đề luôn tạo ra một vấn đề mới; nếu không thì cuộc sống sẽ không thể chịu đựng được. Luôn có và sẽ luôn có tư liệu để nghiên cứu và những khó khăn cần phải vượt qua.

Và sẽ luôn như vậy. Và nếu hóa ra rằng mọi toán học thực chất chỉ xem xét các hiện tượng có những tính chất A, B và C, các nhà toán học sẽ lập tức hỏi: “Điều gì xảy ra nếu một vật nào đó chỉ có một trong những tính chất này? Còn nếu không có tính chất nào?” Và họ lại lao vào công việc.

60

Các dãy $a_k$, tương ứng với $b_k$ bằng $10000101000=144+13+5=162$, $k=b_k-a_k=-100010100=55+5+2=62$, tức là $100=a_{62}$.

Cho bài “Định luật bảo toàn từ thông”

1. Dòng điện không thay đổi.
2. Tốc độ biến thiên của từ thông qua các cuộn dây tỉ lệ với tốc độ biến thiên của dòng điện, tức là không đổi. Điều này có nghĩa là suất điện động cảm ứng trong cuộn dây thứ hai không đổi. Dòng điện cũng không đổi.
3. Tổng từ thông qua mạch phải bằng không. Từ thông qua cuộn dây thứ nhất có độ lớn bằng $0,4\pi \frac{I_1 n_1^2}{l_1 S_1}$.
   còn qua cuộn dây thứ hai là $0,4\pi \frac{I_2 n_2^2}{l_2 S_2}$ ($I_1$ và $I_2$ – độ lớn của các dòng điện trong các cuộn dây). Đồng nhất các biểu thức này, ta được $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}$.
   Xét rằng $I_1 + I_2 = I$, ta tìm được

$$I_1 = I \frac{\left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}{1 + \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}$$

$$I_2 = I \frac{1}{1 + \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \frac{S_2 l_1}{S_1 l_2}}$$

4. Điện tích chạy qua một vòng dây tỉ lệ với sự biến thiên của từ thông bất kỳ của nó:

$$I \sim \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

Còn sự biến thiên của từ thông tỉ lệ với sự biến thiên diện tích của mạch.

Nếu vòng không bị gập mà bị ép sao cho thành “hình số tám”, thì giá trị mới của từ thông $\Phi_1$ sẽ bằng $\frac{S_1}{S} \Phi = \frac{5}{8} \Phi$ ($\Phi$ là từ thông ban đầu qua mạch), $\Phi_1$ – $\Phi = -\frac{3}{8} \Phi$, do đó $Q_1 = -\frac{3}{8} Q$.

Nếu bóp vòng rồi lật đường tròn nhỏ hơn nữa, thì

$$\Phi_1 - \Phi = -\frac{3}{8} \Phi - \frac{1}{16} \Phi +$$

$$+ \left(-\frac{1}{16} \Phi\right) = -\frac{1}{2} \Phi и Q_2 = -\frac{1}{2} Q$$

Nếu lật đường tròn lớn hơn, thì

$$\Phi_1 - \Phi = -\frac{3}{8} \Phi - \frac{9}{16} \Phi +$$

$$+ \left(-\frac{9}{16} \Phi\right) = -\frac{3}{2} \Phi и Q_3 = -\frac{3}{2} Q$$

Dấu trừ cho biết rằng hướng chuyển động của điện tích ngược với hướng mà nó đã chuyển động khi bật từ trường.

5. Nếu vòng là siêu dẫn, thì khi nó chuyển động, dòng điện trong vòng sẽ tăng lên sao cho tổng từ thông cảm ứng từ qua vòng không thay đổi. Hướng dòng điện trong vòng sẽ khiến vòng bắt đầu bị đẩy ra khỏi nam châm. Vào một thời điểm nào đó, lực tác dụng lên vòng từ phía nam châm sẽ cân bằng trọng lượng của vòng, nhưng vì vào thời điểm đó vòng sẽ có một vận tốc nào đó, nên nó sẽ vượt qua vị trí cân bằng, vòng sẽ có vận tốc hướng về phía đó. Vòng lại đi qua vị trí cân bằng, v.v. Vì khi dòng điện đi qua chất siêu dẫn không tỏa nhiệt, nên sẽ xuất hiện các dao động quanh các vị trí cân bằng.

Cho bài “Các thí nghiệm nhập môn”

1. $2 \sin 3\alpha \sin 5\alpha \cos \alpha$.
2. $\lg \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$.
4. $\log_3 2 - 1 < x < 2$.
5. $x_1 = 0, x_2 = 4$.
6. $\frac{9}{8} < x < 2$.
7. $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{2}$.
8. $x_1 = 5; y_1 = 0,6; x_2 = 14; y_2 = 6$.
9. $x_1 = 8; y_1 = 1; x_2 = 1; y_2 = 8$.
10. $x = a \sqrt{3} \sqrt{b}, y = \frac{a}{\sqrt{3} \sqrt{b}}$.
11. $-1 < a < 1$.
12. $a < -3, a > 1$.
13. $2 < a < \frac{10}{3}$.
14. $-\frac{1}{12} \leq a \leq 4$.
15. $-1 < m < 3$.
16. $S_6 = \frac{1}{4} \pi b^2 \frac{\sin 2\alpha}{\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta)}$
17. $V = -\frac{8}{3} l^3 \frac{\cos \frac{\beta}{2} \cos \beta}{\sin^3 \frac{\beta}{2}}$

61

26. $x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi, x_2 = 2\pi n$
    $(k, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$.

27. $-3 < x < -1; \frac{1}{2} < x < 1$

28. $x < 0, x > 1$.

29. $\frac{2}{\sqrt{5}} < x < 1, -1 < x < -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

30. $0 < x < \frac{1}{3}; \frac{1}{3} < x < 2$.

31. $\frac{1}{2^{\sqrt{2}}} < x < \frac{1}{2}; 1 < x < 2^{\sqrt{2}}$.

32. $x = \frac{2a^3}{b(a^2 + 1)}$.

33. $x = 2$.

34. $x = 4, y = 3$.

35. $0 < t \leq 1$.

Cho bài viết “Đồ thị chuyển động”

1. Xem hình 1. Bất kỳ đường cong nào trên hình phía trên đều phù hợp với đồ thị vận tốc. Nếu biết rằng $x = 0$ khi $t = 0$, thì nghiệm là đường thẳng $AB$. Giá trị âm của $t$ đặc trưng cho thời điểm trước thời điểm được coi là ban đầu.

Trên hình phía dưới là đồ thị gia tốc.

2. Xem hình 2.

3. Xem hình 3.

4. Xem hình 4.

5. Từ các điểm $t = 0$ và $t = 10$ cần vẽ các đường thẳng có cùng độ nghiêng, đặc trưng cho chuyển động của vật thứ nhất ở giai đoạn thứ nhất và thứ ba (các đường trắng trên hình 5). Đường thẳng nối các đầu mút của những đường đã vẽ tương ứng với chuyển động ở giai đoạn thứ hai, còn vận tốc ở giai đoạn này là $V_2 = tg\alpha_2$ (nếu $t$ và $x$ được lấy theo cùng một tỉ lệ). Bằng đường màu xanh biểu diễn chuyển động của vật thứ hai, giao điểm của các đường xác định vị trí và thời điểm gặp nhau. 1) $V_2 = 1$ m/giây; 2) $t_1 = 0,5$ giây, $t_2 = 7$ giây, $x_1 = 1,1$ m, $x_2 = 6$ m, 3) $S = 8 + 8 = 16$ m

Hình 1.

62

6. 1. Đường màu vàng trên hình 6 là đồ thị vận tốc của xe đạp thứ nhất, còn đường màu đỏ là của xe đạp thứ hai. $t = 18$ giây kể từ lúc xe đạp thứ nhất xuất phát, $S_2 = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32$ m;

2. $V = 8$ m/ giây; 3) $S_1 = \frac{5 \cdot 10}{2} + 5 \cdot 10 = 75$ m.

7. Vận tốc ở cuối chuyển động là như nhau. Điều này suy ra từ định luật bảo toàn năng lượng. Thời gian chuyển động của viên bi thứ hai nhỏ hơn (nó chuyển động với vận tốc trung bình lớn hơn).

63

Các đồ thị gần đúng của vận tốc chuyển động của các quả cầu được chỉ ra trên hình 7. Vì các quả cầu đi qua những quãng đường bằng nhau, nên diện tích các hình dưới đồ thị vận tốc phải bằng nhau. Để điều đó đúng, $t_1$ phải lớn hơn $t_2$.

Đáp án cho các câu hỏi đặt trong mục “Tạp mục”

1. Số có dạng $30a \pm b$, trong đó $b=1, 7, 11$ hoặc 13. Vì vậy bình phương của số có dạng $120c+1$ hoặc $120c+49$. Lũy thừa bậc bốn (trong cả hai trường hợp) có dạng $480k+1$.

Vì vậy số dư khi chia $N^4$ cho 480 bằng 1.

2. Nếu giá của quyển sổ là $x$ cô-pếch (rõ ràng $x < 100$), thì
   $$500-5x=100a+b, 2500-31x=100b+a.$$
   Suy ra $3000-36x=101(a+b)$,
   $$12(250-3x)=101(a+b),$$
   nên $250-3x$ chia hết cho 101. $250-3x=101k$. Với $k=1$ ta được $3x=149$ — điều này không thể (149 không chia hết cho 3), với $k=2$ ta có: $250-3x=202$, $x=16$. (Hệ
   $$\begin{align*} 500-80=420=100a+b, 2500-496=2004=100a+b \end{align*}$$
   có nghiệm hiển nhiên $a=4$, $b=20$.

Về bài toán “Dấu hiệu chia hết cho 7”
Đúng. Hiệu giữa các số đang xét chia hết cho 7, vì
$$10^n-3^n=(10-3)\cdot(10^{n-1}+10^{n-2}\cdot3+\ldots+10\cdot3^{n-2}+3^{n-1}).$$
Trong mỗi hạng tử, có thể đặt số 7 ra ngoài.