Nguyên lý Fermat và các định luật quang học hình học

Kvant 1970, số 11 tr. 16, 17, 18, 20, 21, 22 Thẻ 5IWX

Bản dịch máy từ tiếng Nga (gpt-5.6-terra). Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

NGUYÊN LÝ FERMAT
VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT QUANG HỌC HÌNH HỌC

G. Ya. Myakishev

CÁC ĐỊNH LUẬT QUANG HỌC HÌNH HỌC

Sự truyền ánh sáng là một quá trình khá phức tạp. Tuy nhiên, nếu các tính chất của môi trường mà ánh sáng truyền trong đó ít thay đổi trên những khoảng cách xấp xỉ bằng bước sóng ánh sáng, thì các định luật tương đối đơn giản của quang học hình học là đúng. Có tất cả bốn định luật.

Trong môi trường đồng chất, ánh sáng truyền theo đường thẳng.
Định luật phản xạ. Tia tới, tia phản xạ và đường vuông góc với mặt phản xạ nằm trong cùng một mặt phẳng, hơn nữa góc phản xạ β bằng góc tới α (hình 1).
Định luật khúc xạ. Tia tới, tia khúc xạ và đường vuông góc với mặt phân cách nằm trong cùng một mặt phẳng, hơn nữa tỉ số sin của góc tới i với sin của góc khúc xạ r (hình 2) là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào góc tới:

$\frac{\sin i}{\sin r} = n.$

Đại lượng n được gọi là chiết suất của môi trường thứ hai đối với môi trường thứ nhất.

Tính độc lập của các tia sáng. Cắt nhau trong không gian, các tia sáng không tác động gì lên nhau. Chẳng hạn, khi

Hình 3.

bạn đọc sách, chùm sáng đi từ cửa sổ và xuyên qua khoảng không giữa cuốn sách và mắt bạn hoàn toàn không cản trở bạn nhìn thấy các chữ cái.

NGUYÊN LÝ FERMAT

Vào giữa thế kỷ XVII, nhà khoa học Ý Fermat đã nêu ra một nguyên lý, từ đó suy ra mọi định luật của quang học hình học. Nội dung của nó như sau: ánh sáng đi từ điểm này đến điểm khác luôn truyền theo con đường cần thời gian ít nhất*).

Hãy suy ra các định luật quang học hình học theo cách mà Fermat đã làm cách đây khoảng 300 năm.

Định luật truyền thẳng của ánh sáng. Khoảng cách theo đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm. Vận tốc ánh sáng trong môi trường đồng chất là như nhau ở mọi điểm. Vì thế, ánh sáng cần ít thời gian nhất chính khi truyền theo đường thẳng.
Định luật phản xạ. Làm thế nào đi từ điểm A đến điểm B trong thời gian ngắn nhất (hình 3)? Dĩ nhiên là theo đường thẳng AB. Ánh sáng cũng truyền như vậy trong môi trường đồng chất. Nhưng nếu trước đó nó
nguyên lý Fermat nghiêm ngặt được phát biểu như sau: ánh sáng truyền theo con đường đòi hỏi hoặc thời gian nhỏ nhất, hoặc thời gian lớn nhất. Tuy nhiên, trong đa số trường hợp của ánh sáng, cách phát biểu đơn giản hơn là đúng.

Hình 4.

phải phản xạ ở gương rồi mới đến điểm B, thì không thể thấy ngay con đường nào tương ứng với thời gian nhỏ nhất. Trên hình vẽ một số con đường có thể có $AC_1B$ , $AC_2B$ và $AC_3B$ . Do ánh sáng cả trước lẫn sau khi phản xạ đều truyền trong môi trường đồng chất, nên thời gian nhỏ nhất tương ứng với những con đường có độ dài nhỏ nhất.

Đường đi nào là ngắn nhất? Một phép dựng đơn giản giúp tìm ra nó. Ta dựng điểm $A_1$ — ảnh của điểm A. Nó nằm trên phần kéo dài của đường vuông góc $AC_0$ , hạ từ điểm A xuống gương, và cách gương một khoảng $A_1C_0 = AC_0$ . Nối các điểm C $_1$ , C $_2$ và C $_3$ với điểm A $_1$ , dễ thấy rằng $AC_1 = A_1C_1$ , $AC_2 = A_1C_2$ và $AC_3 = A_1C_3$ . Vì vậy, khi tính đường đi từ điểm A đến điểm B, ta có thể thay đoạn $AC_1$ bằng đoạn $A_1C_1$ , đoạn $AC_2$ bằng đoạn $A_1C_2$ và đoạn $AC_3$ bằng đoạn $A_1C_3$ . Rõ ràng, đường đi ngắn nhất là đường mà tại đó tia tới gương ở điểm C $_2$ , nằm trên đường thẳng $A_1B$ : đường thẳng $A_1B$ ngắn hơn mọi đường gấp khúc đi qua các điểm A và B.

Bây giờ chỉ còn phải chỉ ra rằng khi tia phản xạ từ gương tại điểm C $_2$ thì định luật phản xạ được thỏa mãn, tức là góc tới α bằng góc phản xạ β (hình 4). Vì các tam giác $AC_2C_0$ và $A_1C_2C_0$ bằng nhau,

Hình 5.

nên $\angle AC_2C_0 = \angle A_1C_2C_0$ . Mặt khác, $\angle C_0C_2A_1 = \angle BC_2N$ . Do đó, $\angle AC_2C_0 = \angle BC_2N$ , và vì vậy $\alpha = \beta$ .

Không khó để thấy rằng nếu các tia $AC_2, BC_2$ và đường vuông góc $DC_2$ không nằm trong cùng một mặt phẳng, thì quãng đường từ điểm $A$ đến gương rồi từ gương đến điểm $B$ sẽ dài hơn.

Như vậy, định luật phản xạ hoàn toàn suy ra từ nguyên lý Fermat.

Điều đáng chú ý là định luật phản xạ lần đầu tiên được Heron thành Alexandria, sống vào thế kỷ I, tìm ra. Heron cho rằng ánh sáng truyền theo đường ngắn nhất. Đối với một môi trường đồng nhất, điều này trùng với nguyên lý thời gian nhỏ nhất của Fermat. Nhưng giải thích định luật khúc xạ theo cách đó đã không thể được.

Định luật khúc xạ. Ánh sáng từ điểm $A$ tới mặt phân cách phẳng của hai môi trường (hình 5) và bị khúc xạ, sau đó tới điểm $B$ . Nếu vận tốc ánh sáng trong môi trường thứ nhất (phía trên) và thứ hai (phía dưới) khác nhau (để xác định, ta sẽ coi rằng $v_1 > v_2$ ), thì rõ ràng đường đi thẳng $AB$ đòi hỏi thời gian hoàn toàn không nhỏ nhất. Thời gian sẽ nhỏ hơn nếu ánh sáng đi một quãng đường lớn hơn một chút trong môi trường thứ nhất,

Hình 6.

nơi nó truyền với vận tốc lớn hơn, nhưng bù lại đi một quãng đường nhỏ hơn một chút trong môi trường thứ hai.

Giả sử rằng ánh sáng mất ít thời gian nhất nếu đường đi của nó qua điểm $C$ . Khi đó bất kỳ đường đi nào khác ở bên trái hoặc bên phải điểm $C$ sẽ mất nhiều thời gian hơn. Quỹ đạo tùy ý của tia $AFB$ có thể được xác định bằng biến $x$ — khoảng cách giữa điểm $C$ và điểm $F$ trên mặt phân cách giữa các môi trường. Đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của thời gian truyền ánh sáng vào $x$ phải có cực tiểu tại điểm $C$ , tức là khi $x=0$ (hình 6). Gần cực tiểu, thời gian thay đổi rất ít khi $x$ thay đổi. Trong gần đúng với $x$ rất nhỏ, thời gian này hoàn toàn có thể coi là không đổi: trên một đoạn rất nhỏ lân cận $x=0$ , đường cong có thể được thay bằng một đoạn thẳng nhỏ song song với trục $x$ .

Hãy so sánh thời gian truyền ánh sáng theo các đường $ACB$ và $AFB$ , coi rằng $x=FC$ rất nhỏ. Theo đường $ACB$ , ánh sáng trong môi trường thứ nhất đi thêm đoạn đường $MC$ (FM — đường vuông góc với $AC$ ; vì $FC$ rất nhỏ nên $AF=AM$ ). Trong môi trường thứ hai, tia truyền theo đường $AFB$ lại đi thêm đoạn đường ( $CN \perp FB$ ). Vì thời gian truyền ánh sáng từ điểm $A$ đến điểm $B$ không được thay đổi khi

bầu trời so với mặt biển. Trong trường hợp này, các tia sáng bị uốn cong khi đi lên các lớp khí quyển phía trên ấm hơn.

Một hệ quả thú vị khác của nguyên lí Fermat là nguyên lí thuận nghịch của quỹ đạo truyền ánh sáng. Nếu ánh sáng đi từ điểm A đến điểm B theo một quỹ đạo bảo đảm thời gian truyền là nhỏ nhất, thì hiển nhiên, trên đường từ điểm B đến điểm A (nghĩa là, nếu nguồn sáng ở điểm B), chuyển động theo chính quỹ đạo ấy cũng sẽ cần thời gian nhỏ nhất.

Một ví dụ nữa. Mọi người đều biết tính chất hội tụ của thấu kính. Ánh sáng từ điểm A (hình 8) đi theo mọi đường có thể, bị khúc xạ trong thủy tinh và tập trung tại điểm E. Mâu thuẫn chăng? Bởi vì ánh sáng luôn đi theo đường đòi hỏi thời gian nhỏ nhất! Vậy tại sao bất kể tia đi ra theo hướng nào, nó cũng đến cùng một điểm E?

Thực ra không hề có mâu thuẫn nào. Đường ADE ngắn hơn đường ACE, nhưng quãng đường đi trong môi trường có mật độ quang học lớn hơn — thủy tinh — trong trường hợp thứ nhất lại lớn hơn. Vì vậy, trong các trường hợp chung thời gian truyền là như nhau và cả hai tia đồng thời đến điểm E. Các đường ADE và ACE đối với ánh sáng là tương đương!

Nếu không như vậy, chúng ta đã không thể xây dựng một hệ hội tụ.

Chính nhờ việc đối với các tia sáng đi ra từ điểm A theo những hướng khác nhau rồi đi qua thấu kính, cùng một thời gian truyền nhỏ nhất tương ứng với những quỹ đạo dẫn đến điểm E, mà thấu kính hội tụ ánh sáng chiếu vào nó.

Nguyên lí Fermat không chỉ cho phép giải thích hoạt động của một hệ quang học phức tạp tùy ý, mà còn cho phép tính toán nó. Tuy vậy, chúng ta cũng có thể tính toán một hệ quang học bằng cách sử dụng các định luật phản xạ và khúc xạ, vốn đã được biết từ lâu trước công trình của Fermat. Vậy nguyên lí Fermat đem lại điều gì mới? Thứ nhất, định luật này có tính khái quát lớn hơn, mà định luật càng có tính khái quát lớn thì ý nghĩa của nó càng lớn. Vì thế, việc phát hiện nguyên lí Fermat là một bước tiến lớn trong sự phát triển của quang học hình học. Thứ hai, từ nguyên lí Fermat có thể suy ra một số hệ quả quan trọng mới. Nhưng một trong những hệ quả quan trọng nhất là chiết suất bằng tốc độ truyền ánh sáng tương đối trong môi trường thứ nhất và thứ hai.

Khúc xạ trên bề mặt hội tụ

Hãy xét, làm ví dụ về việc tính toán một hệ quang học, sự suy ra công thức thấu kính mà bạn đã biết. Để làm điều đó, chỉ cần xét sự khúc xạ ánh sáng trên mặt cầu. Mọi tia đi ra từ nguồn điểm S, sau khi khúc xạ trên mặt cầu sẽ không hội tụ tại một điểm S₁. Điều này là do chỉ một bề mặt có hình dạng rất phức tạp mới có thể bảo đảm thời gian truyền ánh sáng hoàn toàn như nhau từ S đến S₁ theo mọi quỹ đạo có thể. Một bề mặt như vậy rất khó chế tạo, và người ta thậm chí không cố chế tạo nó. Còn làm một mặt cầu thì đơn giản hơn không gì sánh được. Tuy mặt cầu không hội tụ mọi tia, nhưng một chùm tia hẹp đi gần pháp tuyến với bề mặt (người ta gọi nó là chùm tia cận trục) thực tế hội tụ tại một điểm.

Giả sử nguồn sáng điểm S nằm cách mặt cầu bán kính R một khoảng a (hình 9). Coi chiết suất của không khí bằng một, còn chiết suất của quả cầu thủy tinh bằng n, nghĩa là vận tốc truyền ánh sáng trong không khí lớn hơn n lần

Hình 9.

vận tốc truyền ánh sáng trong thủy tinh. Hãy tìm khoảng cách $b$ từ mặt cầu mà tại đó chùm tia hẹp đi từ nguồn $S$ sẽ hội tụ. Theo nguyên lý Fermat, khoảng cách này được xác định bởi điều kiện rằng thời gian truyền ánh sáng theo đường thẳng $SDS_1$ bằng (xấp xỉ) thời gian truyền ánh sáng theo đường đi tùy ý $SAS_1$ , miễn là điểm $A$ gần đường thẳng $SDS_1$ , vuông góc với mặt cầu.

Từ điểm $A$ hạ xuống đường thẳng $SS_1$ đường vuông góc $AB$ . Ký hiệu độ dài của nó là $h$ . Vì ta xét một chùm tia cận trục, nên $h \ll a$ , $h \ll b$ và $h \ll R$ . Ký hiệu khoảng cách $DB$ là $x$ . Trên tia $SA$ lấy đoạn $SD_1 = a + x$ , còn trên tia $AS_1$ lấy đoạn $S_1B_1 = b - x$ . Khi đó, đi theo quỹ đạo $SAS_1$ , ánh sáng sẽ đi thêm quãng đường $\Delta_1 = D_1A$ trong không khí và $\Delta_2 = AB_1$ trong thủy tinh so với quỹ đạo dọc theo đường thẳng $SS_1$ . Nhưng trên quỹ đạo thẳng, ánh sáng sẽ đi trong thủy tinh một quãng đường lớn hơn $x - \Delta_2$ so với trường hợp nó đi theo quỹ đạo $SAS_1$ . Độ trễ của ánh sáng trong thủy tinh trên quãng đường $x - \Delta_2$ phải bằng độ trễ trong không khí trên quãng đường $\Delta_1$ cộng với độ trễ trong thủy tinh trên quãng đường $\Delta_2$ . (Khi $x \leq \Delta_2$ sự bù trừ như vậy là không thể.)

Bây giờ ta tìm các quãng đường $\Delta_1$ , $\Delta_2$ và $x$ .

Bình phương cạnh góc vuông $h$ của tam giác vuông $SAB$ , theo định lý Pythagore, bằng

$h^2 = (a + x + \Delta_1)^2 - (a + x)^2,$

hay

$h^2 = (a + x + \Delta_1 + a + x)(a + x + \Delta_1 - a - x),$

nhưng $a + x + \Delta_1 - a - x = \Delta_1$ , còn $a + x + \Delta_1 + a + x = 2a + \Delta_1 + 2x \approx 2a$ (vì $\Delta_1 \ll a$ và $x \ll a$ ). Do đó

$h^2 = 2a\Delta_1$

và

$\Delta_1 \approx \frac{h^2}{2a}.$

Tương tự, từ tam giác vuông $ABS_1$ ta được

$\Delta_2 \approx \frac{h^2}{2b}.$

Cuối cùng, từ tam giác vuông $ABC$ có thể suy ra phương trình để xác định $x$ :

$h^2 = R^2 - (R - x)^2.$

Suy ra

$x \approx \frac{h^2}{2R}.$

Nếu vận tốc ánh sáng trong không khí bằng $v_1$ , còn vận tốc ánh sáng trong thủy tinh bằng $v_2$ , thì quãng đường $\Delta_1$ ánh sáng đi trong thời gian $\tau_1 = \frac{\Delta_1}{v_1} = \frac{h^2}{2av_1}$ , còn quãng đường trong thủy tinh $\Delta_2$ ánh sáng đi trong thời gian $\tau_2 = \frac{\Delta_2}{v_2} = \frac{h^2}{2bv_2}$ .

Trên đoạn $x$ , độ trễ của ánh sáng do nó đi trong thủy tinh chứ không phải trong không khí bằng hiệu thời gian ánh sáng đi qua đoạn $x$ trong thủy tinh và trong không khí:

$\tau = \frac{x}{v_2} - \frac{x}{v_1} = \frac{x}{v_1}\left(\frac{v_1}{v_2} - 1\right) = \frac{x}{v_1}(n - 1) = \frac{h^2(n - 1)}{2Rv_1}.$

Để các tia hội tụ, thời gian ánh sáng đi từ điểm $S$ đến điểm $S_1$ theo mọi quỹ đạo phải như nhau. Do đó,

$\tau_1 + \tau_2 = \tau.$

Thay vào đây các biểu thức của $\tau_1$ , $\tau_2$ và $\tau$ , rồi khử nhân tử chung $\frac{h^2}{2}$ , ta được phương trình

$\frac{1}{a} + \frac{n}{b} = \frac{(n - 1)}{R}.$

Phương trình này cho phép, theo chiết suất đã biết $n$ và bán kính của mặt cầu $R$ , tìm vị trí của ảnh (khoảng cách $b$ ) khi biết khoảng cách từ nguồn đến mặt cầu. Việc khoảng cách $b$ không phụ thuộc vào $h$ cho thấy rằng mọi tia trong một chùm hẹp, chỉ khác nhau ở giá trị $h$ , hội tụ tại một điểm.

Trong trường hợp riêng khi $a \to \infty$ (chùm gồm các tia song song), vị trí của điểm mà các tia hội tụ (tiêu điểm) được xác định theo công thức

$f = \frac{Rn}{n - 1}.$

Hình 10.

Bây giờ ta hãy xem điều gì xảy ra khi $a < \frac{R}{n-1}$ . Từ công thức (1) suy ra rằng khi đó $b < 0$ . Điều này có nghĩa là điểm $S_1$ phải nằm không phải ở bên phải mặt cầu, mà ở bên trái nó. Nhưng các tia tới mặt cầu, tất nhiên, không thể giao nhau ở phía trước mặt này. Chỉ các phần kéo dài của chúng mới có thể giao nhau ở phía trước mặt (hình 10). Trong những trường hợp như vậy, người ta nói rằng ảnh của điểm là ảnh ảo. Ảnh ảo của nguồn tương ứng với dấu âm của khoảng cách $b$ .

Tiêu cự của thấu kính và công thức thấu kính.

Sử dụng công thức (1), thu được nhờ nguyên lý Fermat, có thể tính các thấu kính, tức là tìm công thức liên hệ khoảng cách $a$ từ vật đến thấu kính, khoảng cách $b$ từ thấu kính đến ảnh và tiêu cự của thấu kính (nói cách khác, thu được công thức thấu kính). Dĩ nhiên, cũng có thể làm điều đó trực tiếp, áp dụng chính nguyên lý Fermat cho toàn bộ thấu kính, nhưng con đường này phức tạp hơn.

Thấu kính là một vật trong suốt được giới hạn bởi các mặt cầu. Trên hình 11 là một thấu kính hai mặt lồi có bán kính cong của các mặt bằng $R_1$ và $R_2$ . Đường thẳng nối các tâm $O_1$ và $O_2$ của các mặt cầu được gọi là trục quang học chính của thấu kính.

Hình 11.

Ta sẽ coi thấu kính là mỏng, tức là coi rằng các khoảng cách $a$ và $b$ , cũng như các bán kính cong $R_1$ và $R_2$ , lớn hơn nhiều so với bề dày của thấu kính. Khi đó trong các tính toán có thể hoàn toàn bỏ qua bề dày của thấu kính.

Sau khi khúc xạ, tia sáng đi ra từ điểm $S$ xuất hiện $A S_1$ . Nếu không có mặt thứ hai, thì ảnh của điểm $S$ sẽ nằm tại điểm $S_1$ cách thấu kính một khoảng $b_1$ , được xác định bởi phương trình

$\frac{1}{a} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1},$

trong đó $n$ là chiết suất của vật liệu làm thấu kính.

Nhưng trên thực tế ánh sáng còn khúc xạ một lần nữa tại mặt cầu thứ hai và ảnh do thấu kính tạo ra nằm tại điểm $S_2$ trên trục quang học, cách thấu kính một khoảng $b_2$ . Ta dùng tính thuận nghịch của tia sáng. Nếu đặt nguồn tại điểm $S_2$ , thì sau khi khúc xạ tại mặt cầu bán kính $R_2$ , các tia sẽ xuất hiện sao cho phần kéo dài của chúng cắt nhau tại điểm $S_1$ , cho ảnh ảo của nguồn. Dùng công thức (1) và lưu ý rằng $b_1 < 0$ , ta có thể viết phương trình

$\frac{1}{b} - \frac{1}{b_1} = \frac{n-1}{R_2}.$