Принцип Ферма и законы геометрической оптики

Квант 1970, №11 с. 16, 17, 18, 20, 21, 22 Тег 5IWX

ПРИНЦИП ФЕРМА
И ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Г. Я. Мякишев

ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Распространение световых волн представляет собой довольно сложный процесс. Однако если свойства среды, в которой распространяется свет, мало меняются на расстояниях, равных примерно длине световой волны, то оказываются справедливыми сравнительно простые законы геометрической оптики. Всего их четые.

В однородной среде свет распространяется прямолинейно.
Закон отражения. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности лежат в одной плоскости, причем угол отражения β равен углу падания α (рис. 1).
Закон преломления. Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к поверхности раздела лежат в одной плоскости, причем отношение синуса угла падания i к синусу угла преломления r (рис. 2) — постоянная величины, не зависит от угла падания:

$\frac{\sin i}{\sin r} = n.$

Величина n называется показателем преломления второй среды по отношению к первой.

Независимость световых лучков. Пересекаясь в пространстве, световые лучки не оказывают никакого воздействия друг на друга. Так, когда

Рис. 3.

вычитайте книгу, световой поток, идущий из окна и пронизывающий пространство между книгой и глазами, ни в коей мере не мешает вам видеть буквы.

ПРИНЦИП ФЕРМА

В середине XVII века ильянский ученый Ферма выдвинул принцип, из которого вытекали все законы геометрической оптики. Заключается он в следующем: свет, идущий из одной точки в другую, всегда распространяется по пути, требующему минимального времени*).

Давайте получим законы геометрической оптики так, как это сделал Ферма около 300 лет назад.

Закон прямолиненого распространения света. Расстояние вдоль прямой — кратчайшее расстояние между двумя точкими. Скорость света в однородной среде во всех точках одна и та же. Следовательно, меньше всего времени свету нужно именно при прямолиненом распространении.
Закон отражения. Как из точки А попасть в точку B за кратчайшее время (рис. 3)? Конечно вдоль прямой AB. Свет так и идет в однородной среде. Но если он предвашется строгого принцип Ферма формулируется так: свет распространяется тем путем, который требует либо минимального, либо максимального времени. Однако в большихстве случае светаправедлива более простая формулировка.

Рис. 4.

рительно должен отражаться от зеркала и лишь потом попасть в точку B, то сразу не ясно, какому пути соответствуют минимальное время. На рисунем несколько возможных путей $AC_1B$ , $AC_2B$ и $AC_3B$ . Благодаря тому, что свет как до, так и после отражения распространяется в однородной среде, то минимальным время соответствуют пути минимальной длины.

Какой же путь наименьший? Не сложный прием помогает его отыскать. Построим точку $A_1$ — изображение точки A. Она лежит на продолжении перпендикулара $AC_0$ , опущенного на зеркало из точки A, на расстоянии $A_1C_0 = AC_0$ от зеркала. Соединив точки C $_1$ , C $_2$ и C $_3$ с точки A $_1$ , легко убедиться в том, что $AC_1 = A_1C_1$ , $AC_2 = A_1C_2$ и $AC_3 = A_1C_3$ . Поэтому, подсчитывая путь из точки A в точку B, мы можем заменить отрезок $AC_1$ отрезком $A_1C_1$ , отрезок $AC_2$ — отрезком $A_1C_2$ и отрезок $AC_3$ — отрезком $A_1C_3$ . Ясно, что кратчайший путь тот, при котором луч падает на зеркало в точке C $_2$ , лежащей на прямой $A_1B$ : прямая $A_1B$ короче любой ломаной, прохождение через точки A и B.

Теперь остается показать, что при отражении луча от зеркала в точке C $_2$ выполняется закон отражения, то есть что угол падения α равен углу отражения β (рис. 4). Так как треугольники $AC_2C_0$ и $A_1C_2C_0$ равны,

Рис. 5.

то $\angle AC_2C_0 = \angle A_1C_2C_0$ . С другой стороны, $\angle C_0C_2A_1 = \angle BC_2N$ . Следовательно, $\angle AC_2C_0 = \angle BC_2N$ , а значит, и $\alpha = \beta$ .

Нетрудно сообщать, что если бы лучи $AC_2, BC_2$ и перpendикуляр $DC_2$ не лежали в одной плоскости, то путь от точки $A$ до зеркала и затем от зеркала до точки $B$ был бы длинее.

Таким образом, закон отражения полностью следует из принципа Ферма.

Интересно, что впервые закон отражения был получен Героном Александрийским, жившим в I веке. Герон считал, что свет распространяется по кратчайшей пути. Для одногоной среды это совпадает с принципом наименьшего времени Ферма. Но объяснить таким образом закон преломления оказалось уже невозможным.

Закон преломления. Свет из точки $A$ падает на плоскую границу раздела двух сред (рис. 5) и преломляется, попадая затем в точку $B$ . Если скорости света в первой (верхней) и второй (низней) средах различны (для определенности будем считать, что $v_1 > v_2$ ), то ясно, что путь по прямой $AB$ требует совсем не минимального времени. Время будет меньше, если свет проходит несколько больший путь в первой среде,

Рис. 6.

где он распространяется с большей скоростью, но заго — несколько меньше путь во второй среде.

Предположим, что свет затрачивает наименьшее время, если его путь проходит через точку $C$ . Тогда любой другой путь левее и правее точки $C$ займет большое время. Произвольную траекторию луча $AFB$ можно задать с помощью переменной $x$ — расстояния между точкой $C$ и точкой $F$ на поверхности раздела сред. Кривая зависимости времени распространения света от $x$ должна иметь минимум в точке $C$ , то есть при $x=0$ (рис. 6). Вблизи минимума время очень мало меняется с изменением $x$ . Приближению при очень малых $x$ это время вообще можно считать постоянным: на очень маленьком отрезке высизи $x=0$ кривую можно заметить маленьким отрезком прямой, параллельной оси $x$ .

Сравним времена распространения света на пути $ACB$ и $AFB$ , считая, что $x=FC$ очень мало. На пути $ACB$ свет в первой среде проходит дополнительный путь $MC$ (FM — перpendикуляр к $AC$ ; так как $FC$ очень мало, то $AF=AM$ ). Во второй среде дополнительный путь проходит уже луч, распространяющийся по пути $AFB$ ( $CN \perp FB$ ). Так как время распространения света от точки $A$ к точке $B$ не должно меняться при

Леменом от морской поверхности. В этом случае лучи света испривляются, поднимаясь в верхние более теплые слоны атмосферы.

Другое интересное следствие принципиа Ферма — принципи обратности траектории распространения света. Если свет прошел из точки A в точку B по траектории, обеспечивающий минимальное время прохождения, то, очевидно, и на пути из точки B в точку A (то есть, если источник будет находиться в точке B), то движение по той же траектории потребует минимального времени.

Еще один пример. Всем известны фокусирующие свойства линзы. Свет из точки A (рис. 8) идет всевозможными путями, преломляется в стекле и собирается в точке E. Противоречие? Ведь свет всегда идет по пути, требующему минимального времени! Почему же независимо от направления, в котором вышел луч, он приходит в одну и ту же точку E?

На самом деле никакого противоречия нет. Путь ADE короче пути ACE, однako расстояние,ройденное в оптически более плотной среде — стекле, в первом случае больше. Таким образом, время прохождения в общих случаях одинаково и оба луча одновременно придуgt в точку E. Пути ADE и ACE для света равененны!

Если бы это было не так, мы не смогли бы построить фокусирующей системы.

Именно благодаря тому, что для лучей света, вышеших из точки A в различных направлениях и прошедших затем через линзу, одному и тому же минимального времени распространения соответствуют траектории, induce в точку E, линза и фокусирует падающий на нее свет.

Приципп Ферма позволяет не только объяснить работу сколь угодно сложной оптической системы, но и расчитать ее. Впрочем, расчитать оптическую систему мы могли бы, и пользоваться законами отражения и преломления, известными задолго до работы Ферма. Что же нового дает приципп Ферма? Во-первых, этот закон обладает большей общностью, а чем больше общностью обладает закон, тем больше его значение. Поэтому открытие прициппа Ферма — это большой шаг в развитию геометрической оптики. Во-вторых, из прициппа Ферма можно вывести несколько новых важных следствий. Однако из самых важных — то, что показатель преломления равен относительной скорости распространения света в первой и второй средах.

Преломление на фокусической поверхности

Рассмотрим в качестве примера расчет оптической системы вывод известной вам формулы линзы. Для этого достаточно расстоять преломление света на фокусской поверхности. Все лучи, вышешие из точного источника S, после преломления на фокусской поверхности не будут собираться в одной точке S₁. Это связано с тем, что только поверхности очень сложной формы может обеспечить совершенное одинаковое время распространения света от S к S₁ по всевозможным траекторям. Такую поверхность следует очень трудно, и ее даже не пытается изготовить. Следать же фокусскую поверхность неравенно проще. Хотя фокусная поверхность и не фокусирует всех лучей, но узкий лучок лучей, induceх влизации перpendикуляра к поверхности (его называют парасильным лучом) собирается практически в одной точке.

Пуст точный источник света S расположен на расстоянии a от фокусской поверхности радиуса R (рис. 9). Показатель преломления воздуха считать равным единице, а показатель преломления стеклянной сферы, равным n, то есть скорость распространения света в воздухе в n раз больше.

Рис. 9.

скорости распространения света в стекле. Найдем на каком расстоянии $b$ от поверхности сферы будет coincрать узкий лучок лучей, ищих от источника $S$ . Согласно принципу Ферма это расстояние определяется условием, что время распространения света по прямолинейному пути $SDS_1$ равно (приложению) времени распространения света по произвольно выбранному пути $SAS_1$ , если только точка $A$ близка к прямой $SDS_1$ , перпендикулярной к поверхности сферы.

Из точки $A$ опустим на прямую $SS_1$ перпендикуляр $AB$ . Его длину обозначим $h$ . Так как мы рассматриваем параксильный лучок лучей, то $h \ll a$ , $h \ll b$ и $h \ll R$ . Расстояние $DB$ обозначим $x$ . На луче $SA$ отложим отрезок $SD_1 = a + x$ , а на луче $AS_1$ отрезок $S_1B_1 = b - x$ . Тогда, ия по траектории $SAS_1$ , свет проидет лишьний путь $\Delta_1 = D_1A$ в воздухе и $\Delta_2 = AB_1$ в стекле по сравнению с траекторийем вдоль прямой $SS_1$ . Но заго на прямолинейной траектории свет проидет в стекле путь на $x - \Delta_2$ больший, чем в том случае, когда он идет по траектории $SAS_1$ . Запаздывание света в стекле на пути $x - \Delta_2$ должно быть таким же, как запаздывание в воздухе на пути $\Delta_1$ плюс запаздывание в стекле на пути $\Delta_2$ . (При $x \leq \Delta_2$ такая компенсация оченьнозможна.)

Найдем теперь пути $\Delta_1$ , $\Delta_2$ и $x$ .

Квадрат катаета $h$ прямогольного треугольника $SAB$ , согласно теореме Пифагора, равен

$h^2 = (a + x + \Delta_1)^2 - (a + x)^2,$

или

$h^2 = (a + x + \Delta_1 + a + x)(a + x + \Delta_1 - a - x),$

но $a + x + \Delta_1 - a - x = \Delta_1$ , а $a + x + \Delta_1 + a + x = 2a + \Delta_1 + 2x \approx 2a$ (так как $\Delta_1 \ll a$ и $x \ll a$ ). Поэтому

$h^2 = 2a\Delta_1$

$\Delta_1 \approx \frac{h^2}{2a}.$

Аналогично из прямогольного треугольника $ABS_1$ найдем, что

$\Delta_2 \approx \frac{h^2}{2b}.$

Наконец, из прямогольного треугольника $ABC$ можно получить уравнение для определения $x$ :

$h^2 = R^2 - (R - x)^2.$

Отсюда

$x \approx \frac{h^2}{2R}.$

Если скорость света в воздухе равна $v_1$ , а скорость света в стекле равна $v_2$ , то путь $\Delta_1$ свет проидет за время $\tau_1 = \frac{\Delta_1}{v_1} = \frac{h^2}{2av_1}$ , а путь в стекле $\Delta_2$ свет проидет за время $\tau_2 = \frac{\Delta_2}{v_2} = \frac{h^2}{2bv_2}$ .

На отрезке $x$ запаздывание света, вызванное тем, что он идет в стекле, а не в воздухе, равно расположении времени прохождения светом отрезка $x$ в стекле и в воздухе:

$\tau = \frac{x}{v_2} - \frac{x}{v_1} = \frac{x}{v_1}\left(\frac{v_1}{v_2} - 1\right) = \frac{x}{v_1}(n - 1) = \frac{h^2(n - 1)}{2Rv_1}.$

Для фокусировки лучей времени прохождения света от точки $S$ до точки $S_1$ по всем траекториям должны быть одинаково. Следовательно,

$\tau_1 + \tau_2 = \tau.$

Подставляя сюда выражения для $\tau_1$ , $\tau_2$ и $\tau$ и сокращая затем на общий множитель $\frac{h^2}{2}$ , получим уравнение

$\frac{1}{a} + \frac{n}{b} = \frac{(n - 1)}{R}.$

Это уравнение позволяет по известному показателю предположения $n$ и радиусу сферического поверхности $R$ найти положение изображения (расстояние $b$ ) при заданной расстоянии от источника до сферического поверхности. То, что расстояние $b$ не зависит от $h$ , показывает, что все лучи в узком лучке, отличующей друг от друга величины $h$ , coincивают в одной точке.

В частином случае, когда $a \to \infty$ (пучок состоит из параллельных лучей), положение точки, в которой скодятся лучи (фокус), определяется по формуле

$f = \frac{Rn}{n - 1}.$

Рис. 10.

Постотрим теперь, что будет при $a < \frac{R}{n-1}$ . Из формулы (1) следует, что при этом $b < 0$ . Это означает, что точка $S_1$ должна быть не справа от сферического поверхности, а слева от нее. Но лучи, падающие на сферискую поверхность, очень/no, не могут пересекаться перед этой поверхности. Пересекается перед поверхностью могут лишь их продолжения (рис. 10). В таких случаях говорят, что изображение точки минимум. Мнимому изображению источника и соответствуют ориентацией знак расстояния $b$ .

Фокусное расстояние линии и формула линзы.

Используя формулу (1), полученную с помощью принципа Ферма, можно расчитать линзы, то есть найти ее формуле, связывающего расстояние $a$ от предмета до линзы, расстояние $b$ от линзы до изображения и формуле расстояние линзы (инными словами, получить формулу линзы). Можно, конечно, то же самое сделать и непредседатель, применяя сам принципи Ферма ко всем линze, однako этот путь более сложен.

Линза представляется собой произное тело, ограниченное сферическими поверхностями. На рисунке 11 изображена двояковыпуклая линза с радиусами кривизны ее поверхности, равными $R_1$ и $R_2$ . Линня, соединяющая центры $O_1$ и $O_2$ сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы.

Рис. 11.

Будем считать линзу тонкой, то есть считать что расстояния $a$ и $b$ , а также радиусы кривизны $R_1$ и $R_2$ много больше толщины линзы. Тогда в расчетах толщиной линзы вообще можно пренебречь.

После преломления светового луча,ышедшего из точки $S$ , он появляется $A S_1$ . Если бы не было второй поверхности, то изображение точки $S$ оказалось бы в точке $S_1$ на расстоянии $b_1$ от линзы, определяемом уравнением

$\frac{1}{a} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1},$

где $n$ — показатель преломления материала линзы.

Но в действительности свет преломляется еще раз на второй сферической поверхности и изображение, даваемое линзой, оказывается в точке $S_2$ на оптической оси на расстоянии $b_2$ от линзы. Используем обратимость световых лучей. Если помещить источник в точку $S_2$ , то после преломления на сферической поверхности радиуса $R_2$ лучи появят так, что их продолжения пересекаются в точке $S_1$ , давая минимум изображение источника. Используя формулу (1) и учитывая, что $b_1 < 0$ , мы можем записать уравнение

$\frac{1}{b} - \frac{1}{b_1} = \frac{n-1}{R_2}.$