История календаря и хронология

61

(пример 121 на стр. 159, где используются формула перехода к логарифмам по основанию $x$).

По непонятной причине авторы сразу сухают или, лучше сказаны, неправильно указывают ОДЗ для системы 76 (стр. 146): здесь допустимы как $x>0$, $y>0$, так и $x<0$, $y<0$ (другое дело, что из второго уравнения системы сразу следует, что в области $x<0$, $y<0$ нет решения, но этот факт не имеет отношения к отысканию ОДЗ).

Исследуя систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными общего вида, авторы утверждают, что если $\Delta=0$, а хотя бы одно из чисел $\Delta_x$ или $\Delta_y$ отлично от нуля, то в таком случае $\Delta_x\neq0$ и $\Delta_y\neq0$ (стр. 126). Это утверждение просто неверно, в чем легко убедиться на примере системы

$$0 \cdot x - 1 \cdot y = 0, \quad 0 \cdot x + 1 \cdot y = 1,$$

для которого $\Delta=0$, $\Delta_x=1$, $\Delta_y=0$. Поэтому предлагаемое автором исследование случая несовместности системы нельзя признать удовлетворительным.

В книге приводится (стр. 33) неуданное определение перiodической функции (из этого определения и следующей за ним теоремы вытекает, что функция $y=\sin(\sqrt{x})^2$ должна иметь период $2\pi$, что неверно), сообщается (стр. 18), что произведение двух комплектно сопряженных чисел есть действительное положительное число (на самом деле — неотрицательное), утверждается (стр. 212), что задание двух перых членов геометрической прогрессии определяет ее значенатель (это верно, лишь если определять геометрическую прогрессию как последовательность с ненулевым перым членом), и т. д.

Можно было бы продолжать список ошибочных или неполюценных решений задач, недостатков или неточностей при изложении теоретических вопросов. Но и уже приведенные примеры показывают, что рассматриваемая книга принесет мало пользовыемым вузы и, скорее, запутает их.

ИСТОРИЯ
КАЛЕНДАРЯ
И
ХРОНОЛОГИЯ

Так называется книга *), в которой автору удалось очень интересно иясно расссказать о сложной истории календаря.

Люди с давних пор воспринали течение времени, наблюдая постоянную смену дня и ночи, систематически повторение явлений природы. Измерять же время научились значительно позднее. Начиная с XIX столетия и до наших дней и особенно в последние пятьдесят лет «календарная проблема» привлекет к себе большое внимание во многих странах мира. Ввиду несовершенства введенного с 1582 г. и понные действияующего в большинстве стран Григорянского календаря еще в 1923 г. в Женеве при Лите наций был организован Международный комитет поеформе календаря. Его цель — создание всеминого и неизменного календаря, удовлетворяющего требованиям экономического и культурной жизни общества.

Как создавалась и совершенствовалась система счета длиных промежутков времени — календарь? Что такое лунные, лунно-солнечные и солнечные календари? Какова математическая основа календарей? Какие календарии существовали в странах древности — Египте, Греции, Риме, Вавилоне? Правда ли, что календарь индейцев племени майя в Централье

*) С. И. Селеш и ков. История календаря и хронология, изд-во «Наука», М., 1970.

62

ной Америке, существовавший много столетный назад, точнее нашего современного календаря? На эти вопросы дает ответ «История календаря и хропология».

В первой главе книги описаны первобитные формы определения времени, начиная с зарубок на палке или узелков, которые заязывались на особых шнурках. Здесь же приведены и любопытные сведения о счете начала года у разных народов нашей планеты.

Астропомическая основы календаря составляют содержание второй главы. В ней подробно рассмотрен три основные единицы измерения времени: солнечные сутки, лунный месяц и солнечный год, составляющие фундамент любой календарной системы.

Третья глава, посвященная солнечным календарям, начинается с их математической теории. Она содержит подробное описание различных календарей, начиная с древнегитпетского и кончая календарем французской революции конца XVIII в., разработанным специальной комиссей под руководством Жильбера Ромма (1750—1785).

В книге (главы IV и V) дается подробное представление о лунных, лунно-солнечных календарях и о календарях народов Азии.

До недавнего времени считали, что кольбелью астрономии были страны Ближнего Востока, Древний Китай и Индия. Однако в последнее десятилетия археологии открыли новый центр культуры, расположенный на территории Нового света. Они установили, что на получствие Юкатан, которыйогда-то населяли индейцы племени майя, существовала самобытная культура; особое развитие у этого народа получила астрономия, связанная с практическими потребностями. Пожалуйста, впервые в литературе автор отводит такое значительное место календарю и хропологии майя (глава VI), подробно знакомя читателей с применяющимся имми календарными системами.

Описание истории календаря в России и в СССР, начиная с древних словян, доведено автором до наших дней. Здесь не осталось забитыми и проискождения семидневной недели.

Заканчивается книга подробным расссказом о Всемирном календаре. Разбирая недостатки действующего календаря, автор приводит различные проекты его реформы, в том числе проект Всемирного календаря, рассмотренный Социальным и Экономическим Советом ООН.

Хропология и некоторые календарные эры описаны в последней главе. В приложении приведены различные календарии и многое весыли любопытные материалы, в том числе «вечный» табель-календарь для определения дня недели любой календарной даты.

Несмотря на малый объем книги, автору удалось осветить и систематизировать большой круг вопросов, связанных с «календарной пробелой».

Поставленная автором задача — создать «… краткий энциклопедический справочник по вопросам летонически и календарям» — выполена, и эта книга представляет несомненный интерес для самого широкого кругга читателей.

Л. С. Хренов

63

К статье «Электростатика на языке силовых линей»

1. Картина силовых линей выглядит так, как показано на рисунке. Левый заряд вдвое больше правого.
2. Нет, не могут. Если бы существовала замкнутая силовая линя, то, пересегда вдоль нее заряд, мы совершили бы не равную нулю работу.
3. Нет. Направление касательной к силовой линей совпадает с направлением силы, действующей на заряд, а значит, с направлением ускорения заряд. Траектория же движения заряд — это линя, направление касательной к которой совпадает с направлением скорости заряд.
4. Проведем сферу радиуса $r$ с центром, совпадающим с центром заряженных сфера. Из симметрины следует, что плотность силовых линей, пересекающих поверхность этой сферы, во всех точках одинакова. Это означает, что направление поля, равная плотности силовых линей, зависит от расстояния до центра сферы. Полное число силовых линей, пересекающих поверхность проведенной нами сферы равно $4\pi r^2 E$, где $E$ — направжение поля а поверхности сферы. Согласно теореме Гаусса
   $$4\pi r^2 E = 4\pi Q,$$
   или
   $$E = \frac{Q}{r^2},$$
   где $Q$ — заряд, который находится внутри сферы.
   Если $r < R_1$, то $Q = 0$ и $E = 0$; если $R_1 \leq r < R$, то $Q = q_1$ и $E = \frac{q_1}{r^2}$; если $r \geq R_2$, то
   $$Q = q_1 + q_2 \text{ и } E = \frac{q_1 + q_2}{r^2}.$$
5. Проведяя, как это мы делали при решении предыдущего задачи, сферу радиуса $r$ с центром в центре заряженного шара, найдем, что $E = \frac{Q}{r^2}$, где $Q$ — заряд, который находится внутри сферы. Если плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу объема) $ρ$, а радиус заряженного шара $R$, то при $r < R$ $Q = \frac{4}{3} \pi r^3 ρ$ и
   $$E = \frac{4}{3} \pi r ρ,$$
   то есть направление поля возратает пропорционально радиусу проводенной нами сферы.
   При $r < R$ $Q = \frac{4}{3} \pi R^3 ρ$ и $E = \frac{4\pi R^3 ρ}{3r^2}$ — вне шара направенно поля меняется так, как менялась бы она в том случае, если бы заряд $Q$ был сосредоточен в центре шара.
6. Эта задача решается тем же способом, что и предыдущие, только для того, чтобы воспользоваться теоремой Гаусса, нужно построить не сферическое поверхности, а цилиндрическую с осью, совпадающую с осью нити. Так как нить бесконечна и заряжена однородно, то силовые линей пересекают цилиндрическую поверхности по радиусам, причем их плотность во всех точках поверхности одинакова. Это означает, что направление поля зависит только от расстояния до нити. Если высота построенного цилиндра равна 1, а радиус его основания $r$, то поверхности цилиндра пересекает $n = 2\pi r \cdot 1 \cdot E$ силовых линей. Согласно теореме Гаусса
   $$2\pi r \cdot 1 \cdot E = ρ \cdot 1$$

64

(ρ — заряд, приходящийся на единицу длины нити, ρ·1 — заряд, который находится внутри цилиндра). Отсюда $E = \frac{\rho}{2\pi r}$.

7. Задчача решается аналогично предыдущей. Если $R$ — радиус заряженного цилиндра, ρ — плотность заряда и $r$ — расстояние до оси цилиндра, то

$$E = \begin{cases} \frac{\pi r^2 \cdot 1 \cdot \rho}{2\pi r \cdot 1} = \frac{1}{2} r\rho & \text{при } r < R, \\ \frac{\pi R^2 \rho \cdot 1}{2\pi r \cdot 1} = \frac{R^2\rho}{2r} & \text{при } r \geq R. \end{cases}$$

8. Предположим, что поле в полости не равно нулю. Так как в полости нет зарядов, на которых могли бы начаться или заканчивать сcilовые линии, то сcilовые линии обязаться должны пересекать всю полость, не перерывать. Если вдоль одной из таких сcilовых линии пересекаются заряд, то мы совершим неокоторую не равную нулю работу. Это означает, что точки границ полости, лежащие на этой сcilовой линии, имеют различные потенциальы. Но это невозможно, так как полость находится внутри металла. Значит, поле в полости должно обязаться быть равным нулю.

Кстатье «Сокращение алгебраических дробей»

1. $\frac{x^2 - x - 1}{9(x^2 + x - 1)}$.
2. $\frac{x + a}{x^2 + ax + a^2}$.
3. $\frac{a - 1}{x^2 + 2x + 2}$.
4. $\frac{7}{15x^2 - 23}$.

Кстатье «Максимум, минимум и теорема о средних»

1. Обозначим радиус искомого сектора через $R$, длину дуги через $L$ и площадь сектора через $S$. Тогда $P = 2R + L$, $S = \frac{RL}{2}$. По теореме

$$4S = 2RL \leq \left(\frac{2R + L}{2}\right)^2 = \left(\frac{P}{2}\right)^2 = \frac{P^2}{4},$$

откуда $S \leq \frac{P^2}{16}$. Равенство достигается при $2R = L = \frac{P}{2}$.

2. Обозначим через $R$ радиус круга и через $a$ расстояние от точки $A$ до центра круга. Тогда для хорды $MN$, проходящей через точку $A$, выполнен соответствие $xy = (R + a)(R - a)$, где $x = MA, y = AN$. Длина хорды $MN$ равна $x + y$. Получаем по теореме

$$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{(R + a)(R - a)},$$

равенство достигается при $x = y$.

Следовательно,лина хорды минимальная, когда в точке $A$ она делится пополам, т. е. перpendикулярна к диаметру, проходящему через точку $A$.

3. Обозначим $\sqrt{x}$ через $z$. Выражение перепишется так: $2z^6 + \frac{3}{z}$. Телерь из примера 3 следует такая оценка значений данного выражения:

$$2z^6 + \frac{3}{z} \geq 7\sqrt{7\frac{2 \cdot 3^6}{1 \cdot 6^6}} = 7\sqrt{\frac{1}{2^5}} = \frac{7}{\sqrt{32}}.$$

Миниумм достигается при

$$\sqrt{x} = \sqrt{7\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 6}} = 2^{\frac{2}{7}},$$ откуда $x = 2^{\frac{4}{7}}$.

4. Вынесем за скобки постоянный множитель $c = k_1^1 k_2^2 \dots k_n^n$ (его можно не писать) и перепишем произведение так:

$$\frac{x_1}{k_1} \cdot \frac{x_1}{k_1} \dots \frac{x_1}{k_1} \times \frac{x_2}{k_2} \cdot \frac{x_2}{k_2} \dots \frac{x_2}{k_2} \times \frac{x_n}{k_n} \cdot \frac{x_n}{k_n} \dots \frac{x_n}{k_n}$$

Заметим, что

$$\frac{x_i}{k_i} + \frac{x_i}{k_i} + \dots + \frac{x_i}{k_i} = \frac{x_i}{k_i} k_i = x_i$$

($i = 1, 2, \dots, n$).

Следовательно, сумма всех компонентов в новой записи равна $x_1 + x_2 + \dots + x_n$, то есть построена, а произведение будет наименьшим при равенстве компонентов, то есть при

$$\frac{x_1}{k_1} = \frac{x_2}{k_2} = \dots = \frac{x_n}{k_n}.$$