Как найти ошибку

26

личин. Таким образом, имеется целочка неравенств

$$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \geq \frac{n}{a_1 + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.$$

Попробуйте последнее неравенство доказать самостояльно.

В заключение отметим, что в высшей математике есть метод нахождения максимумов и минимумов функций дифференцированием. Однако рассмотренные неравенства оказались более удобными для подсчета на электронных вычислительных машинах наобольших и наименьших значений некоторых типов выражений. Эти методы получили название геометрического программирования.

Задание

1. Из круговых секторов данного перimetра $P$ найти сектор наобольшей площади.

2. В данной окружности найти наименьшую хорду, проходящую через точку $A$ внутри окружности.

3. Найдите минимум выражения

$$2x^3 + \frac{3}{\sqrt{x}}.$$

4. Докажите, что если сумма положительных переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$, построена, то произведение $x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \ldots x_n^{k_n}$, где $k_1, k_2, \ldots, k_n$ — данные целые положительные числа, имеет наобольшее значение, когда переменные пропорциональны своим показателем: $\frac{x_1}{k_1} = \frac{x_2}{k_2} = \frac{x_3}{k_3} = \ldots = \frac{x_n}{k_n}$.

Докажите, что то же самое верно и для разциональных положительных чисел $k_1, k_2, \ldots, k_n$.

КАК НАЙТИ ОШИБКУ

Вы перемножили два длинных многочлена. Как проверить, не ошиблись ли вы в вычислениях?

Приведем два способа, позволяющих найти некоторые возможности ошибки (но, разумеется, не дающие полной гарантии правильности проверенных вычислений).

С пособ 1. Возьмем сумму коэффициентов первого многочлена, умножим на сумму коэффициентов второго. Должна получить сумму коэффициентов произведения. Это будет значение многочлена при $x=1$.

Приведенный способ позволяет найти ошибки варифметике (например, если было использовано «равенство» $2 \cdot 3=5$), но не в алгебре. Скажем, если вы на каком-то этапе написали $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$, то этим способом ошибка не выйдет.

С пособ 2. Отличается от первого тем, что коэффициенты при четных степени $x$ берется со знаком плоскости, а при нечетных со знаком минус. В остальном этот способ совпадает с первым. Здесь мы получаем значение многочлена при $x=-1$.

Второй способ сложнее первого, это позволяет выявить и неокоторые алгебраические ошибки. При проверке «равенства» $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$ получается $2 \cdot (-3)=6$. Это равенство абсурдно, значит, в вычислениях была допущена ошибка.