Olympiad Toán học Quốc tế lần thứ XII dành cho học sinh

54

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ LẦN THỨ XII DÀNH CHO HỌC SINH

Từ ngày 8 đến ngày 22 tháng Bảy, tại Budapest và Keszthely (Hungary) đã diễn ra Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ XII. Các đội Áo, Anh, Bulgaria, Hungary, Hà Lan, CHDC Đức, CHND Mông Cổ, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Pháp, Tiệp Khắc, Thụy Điển và Nam Tư đã tham gia. Mỗi đội gồm tám học sinh.

Ngày 9 tháng Bảy, đội tuyển của chúng ta đến Budapest. Tối ngày 9 và ngày 10 tháng Bảy, chúng tôi làm quen với thành phố, còn ngày 11 tháng Bảy, tất cả những người tham dự Olympic chuyển đến Keszthely, nơi vào ngày 13 và 14 tháng Bảy đã diễn ra các cuộc thi giải bài toán.

Như thường lệ, trong mỗi ngày thi, các thí sinh phải giải 3 bài trong 4 giờ. Bạn sẽ tìm thấy đề các bài này ở cuối bài viết. Trong ngoặc sau mỗi bài có ghi bài do nước nào đề xuất và lời giải được tính bao nhiêu điểm.

Ngày 18 tháng Bảy, các thành viên ban giám khảo tổng kết cuộc thi và thảo luận các vấn đề về địa điểm và cách thức tổ chức kỳ Olympic tiếp theo. Các trưởng đoàn Tiệp Khắc thông báo quyết định của ban giám khảo tổ chức Olympic tại Tiệp Khắc. Những đề nghị về một số thay đổi riêng trong điều lệ đã được đưa ra. Đặc biệt, có đề nghị cho một số bài dưới hai phương án, để các thí sinh có thể chọn phương án họ thích hơn. Cũng có đề nghị đưa vào các bài thuộc toán học hiện đại: lý thuyết nhóm, các cấu trúc đại số, hình học giải tích, đại số vectơ.

Ngày 19 tháng Bảy, tất cả các đội trở lại Budapest, nơi ngày 21 tháng Bảy diễn ra lễ trao bằng cho những người đoạt giải và bế mạc Olympic.

Các thành viên đội tuyển Liên Xô tại Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ XII (từ trái sang phải): Aleksandr Linetsky, Andrei Khodulev, Aleksandr Korlyukov, Pavel Kopylov, I. S. Petrakov (phó trưởng đoàn), Sergei Semenkov, M. I. Serov (trưởng đoàn), Aleksei Aleksandrov, Vello Altleis, Arkady Klimov.

Theo kết quả Olympic, đã trao 7 bằng hạng nhất, 11 bằng hạng nhì và 40 bằng hạng ba.

Bằng hạng I được trao cho các thí sinh đạt từ 37 đến 40 điểm. 40 điểm được Andrei Khodulev (Liên Xô, trường nội trú trực thuộc Đại học Tổng hợp Moskva; từ Kalinin), Wolfeane Burmeister (CHDC Đức), Imre Ruzhe (Hungary) đạt được. Mỗi người đạt 39 điểm là Bernard Silverman (Anh), Arkady Klimov (Liên Xô, trường nội trú trực thuộc Đại học Tổng hợp Moskva; từ Arzamas), Ervin Baimots (Hungary). Học sinh Hungary Iimtvan Gonizy đạt 37 điểm.

Bằng hạng II được trao cho các thí sinh đạt từ 30 đến 35 điểm. Trong các học sinh của chúng ta, bằng này

55

được Aleksei Aleksadrov nhận, với 35 điểm (lớp 9 trường nội trú trực thuộc Đại học Tổng hợp Leningrad).

Bằng hạng III được trao cho các thí sinh đạt từ 19 đến 28 điểm. Trong đội chúng ta, các bằng này được Sergei Semenkov, đạt 27 điểm (lớp 10 trường nội trú trực thuộc Đại học Tổng hợp Leningrad), Vello Alpleis, đạt 24 điểm (lớp 11 Trường trung học Nyuss thuộc huyện Tartu, CHXHCN Estonia) và Aleksadr Korlyukov, đạt 24 điểm (lớp 10 trường nội trú trực thuộc Đại học Tổng hợp Moskva; từ Grodno) nhận.

Pavel Kolyloв (thành phố Voronezh, trường số 58) và Aleksadr Linetsky (thành phố Kharkov, trường số 27) không thể thể hiện hết khả năng của mình và lần lượt đạt 15 và 17 điểm.

Nhìn chung, đội Hungary đạt 233 điểm, Liên Xô và CHDC Đức — mỗi đội 221 điểm, Nam Tư — 209 điểm, Romania — 208, Anh — 180, Bulgaria và Tiệp Khắc — mỗi đội 145, Pháp — 141, Thụy Điển — 110, Ba Lan — 105, Áo — 104, Hà Lan — 87, CHND Mông Cổ — 78.

Hiện nay tất cả các thành viên đội tuyển Liên Xô đã tốt nghiệp trường phổ thông đều học tại Đại học Moskva hoặc Leningrad, còn Aleksadrov đang học xong lớp 10 và nghĩ đến chuyến đi dự Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế lần thứ XIII ở Tiệp Khắc. I. S. Petrakov

Các bài toán được đề nghị trong ngày thứ nhất

1. Cho tam giác ABC, M là điểm trong của cạnh AB. Gọi $r_1, r_2, r$ là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác AMC, BMC, ABC tương ứng; $\rho_1, \rho_2, \rho$ là bán kính các đường tròn nằm trong góc ACB và ngoại tiếp các tam giác AMC, BMC, ABC tương ứng.

Chứng minh rằng $\frac{r_1 r_2}{\rho_1 \rho_2} = \frac{r}{\rho}$ (Ba Lan, 5 điểm).

2. Cho $a, b$ và $n$ là các số tự nhiên lớn hơn một. Các số $a$ và $b$ là các cơ số của hai hệ đếm. Các số $A_n, B_n$ có cùng biểu diễn $\frac{x_n x_{n-1}}{x_1 x_0}$ trong các hệ đếm có cơ số $a$ và $b$, trong đó $x_n \neq 0, x_{n-1} \neq 0$. Các số nhận được sau khi bỏ chữ số đầu tiên $x_n$ được gọi là $A_{n-1}, B_{n-1}$.

Chứng minh rằng $a > b$ khi và chỉ khi $\frac{A_{n-1}}{A_n} < \frac{B_{n-1}}{B_n}$ (Rumani, 7 điểm).

3. Dãy số thực $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$ thỏa mãn điều kiện

$$1 = a_0 \leqslant a_1 \leqslant \dots \leqslant a_n \leqslant \dots$$

(1)

Dãy $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ được xác định như sau:

$$b_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{a_k-1}{a_k}\right) \frac{1}{\sqrt{a_k}}.$$

a) Chứng minh rằng $0 \leqslant b_n < 2$ với mọi $n$.

b) Chứng minh rằng với mỗi $c$ sao cho $0 \leqslant c < 2$, tồn tại một dãy $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$ thỏa mãn điều kiện (1) sao cho $b_n > c$ với vô hạn chỉ số $n$ (Thụy Điển, 8 điểm).

Các bài toán đề nghị trong ngày thứ hai

4. Tìm tất cả các số dương $n$ có tính chất sau: chia tập hợp thành hai tập hợp sao cho tích của tất cả các phần tử của một tập hợp bằng tích của tất cả các phần tử của tập hợp kia (Tiệp Khắc, 6 điểm).

5. Trong tứ diện ABCD, DB ⊥ DC và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng tam giác ABC trùng với trực tâm của tam giác này.

Chứng minh rằng $(AB + BC + CA)^2 \leqslant 6(AD^2 + BD^2 + CD^2)$. Với những tứ diện nào thì xảy ra đẳng thức (Bulgaria, 6 điểm)?

6. Trên mặt phẳng cho 100 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các tam giác có thể có với các đỉnh là những điểm này.

Chứng minh rằng trong số đó có không quá 70% tam giác nhọn (Liên Xô, 8 điểm).