Động học và các liên kết

44

Trong động học thường xét chuyển động của các vật rắn tuyệt đối, tức là các vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của chúng vẫn không đổi. Khi đó có những phương pháp làm đơn giản đáng kể việc giải các bài toán động học. Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một trong số đó.

Giả sử các vật tiếp xúc với nhau khi chuyển động, và không có trượt giữa chúng. Khi đó vận tốc của cả hai vật tại điểm tiếp xúc hoàn toàn trùng nhau (hình 1). Nếu giữa các vật có trượt, thì chỉ các hình chiếu của vận tốc lên đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc là trùng nhau. Khi đó chỉ cần tiếp tuyến tồn tại ít nhất đối với một trong các bề mặt trượt (hình 2).

Xét vài ví dụ.

1. Thanh $OA$ quay theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc $\omega$, làm chuyển động viên gạch $ABCD$ có cạnh bên $a$ (hình 3). Tìm sự phụ thuộc của vận tốc viên gạch $v$ vào góc $\alpha$.

Lời giải. Thanh và viên gạch tiếp xúc tại điểm $A$. Do đó, vận tốc của viên gạch và của thanh tại điểm này theo phương $MN$ ($MN \perp \bot OA$) trùng nhau. Như vậy,

$$v \cos(90^\circ - \alpha) = \omega \cdot OA,$$

hoặc

$$v = \frac{\omega}{\sin \alpha} \cdot \frac{a}{\mathrm{tg} \alpha} = \frac{\omega a \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}.$$

2. Nguồn sáng $S$ nằm cách màn $MN$ một khoảng $l$ (hình 4). Tại thời điểm ban đầu, một vật phẳng có chiều cao $h$ bắt đầu chuyển động đều với vận tốc $v$ từ nguồn đến màn. Tìm sự phụ thuộc của vận tốc chuyển động của mép bóng trên màn vào thời gian.

45

Lời giải. Trong bài toán này, tia $SB$ đóng vai trò của thanh. Tại điểm $A$, tia «tiếp xúc» với vật, còn tại điểm $B$ — với màn, tạo thành các biên của bóng. Lập hai phương trình liên hệ các hình chiếu vận tốc tại các điểm $A$ và $B$: $\omega \cdot SA = v \cos(\pi - \alpha)$ — hình chiếu lên $LK$, $\omega \cdot SB = u \cos \alpha$ — hình chiếu lên $MN$. Ở đây $\omega$ — vận tốc góc của sự quay của tia. Chia đẳng thức thứ hai cho đẳng thức thứ nhất và lưu ý rằng

$$\frac{SB}{SA} = \frac{l}{SL} = \frac{l}{vt} \quad \text{và} \quad tg\alpha = \frac{h}{SC} = \frac{h}{vt},$$

ta được

$$u = \frac{lh}{vt^2}.$$

Bây giờ giả sử thanh $AB$ có độ dài cho trước $l$ (hình 5) chuyển động tùy ý. Các vận tốc $\vec{v}_A$ và $\vec{v}_B$ của hai đầu thanh có thể khác nhau, nhưng vì độ dài của thanh không thay đổi, các hình chiếu $v''_A$ và $v''_B$ của các vận tốc này phải bằng nhau: $v''_A = v''_B$. Các hình chiếu vận tốc $v'_A$ và $v'_B$ xác định chuyển động quay của thanh với vận tốc góc $\frac{v'_B - v'_A}{l}$ (hãy tự kiểm tra điều này thật chính xác).

Hãy giải hai bài toán.

3. Thanh $AB$ tựa hai đầu vào các cạnh của góc tù $\beta$ (hình 6). Đầu trên của thanh được kéo với vận tốc $v$ dọc theo cạnh $AO$. Tìm sự phụ thuộc của vận tốc $u$ của điểm $B$ vào góc $\alpha$.

Lời giải. Vì độ dài thanh $AB$ không đổi, các hình chiếu vận tốc của hai đầu thanh lên phương của thanh là bằng nhau:

$$u \cos \alpha = v \cos(\pi - \alpha - \beta),$$

hay

$$u = -\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos \alpha} v.$$

Xét trường hợp độ dài thanh thay đổi trong khi chuyển động (“thanh” có thể là, chẳng hạn, đoạn thẳng nối hai điểm cho trước mà khoảng cách giữa chúng thay đổi). Khi đó

46

mối quan hệ liên hệ quá trình vận tốc của các đầu thanh có dạng

$$|v_A'' - v_B''| = u,$$

trong đó $u$ là vận tốc thay đổi độ dài thanh. (Môđun ở đây cần thiết, vì không biết vận tốc nào lớn hơn.)

4. Một chiếc thuyền được kéo từ bờ tròn bằng dây với vận tốc không đổi $v$. Tìm sự phụ thuộc của vận tốc thuyền $u$ vào góc $\alpha$.

Lời giải. Trong trường hợp này, ta quan tâm đến đoạn dây $AB$. Tốc độ co ngắn của nó bằng $v$. Các vectơ vận tốc của hai đầu dây $A$ và $B$ được chỉ ra trên hình 7. Theo mệnh đề đã nêu ở trên, ta có

$$v_A \cos \alpha = v_B,$$

hay vì $v_A = u$, $v_B = v$,

$$u = \frac{v}{\cos \alpha}.$$

Hãy thử tự giải các bài toán tương tự.

1. Thanh $OA$ quay theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc $\omega$, làm cho một hình trụ bán kính $r$ chuyển động (hình 8). Không có sự trượt giữa hình trụ và mặt phẳng. Tìm sự phụ thuộc của vận tốc hình trụ $v$ vào góc $\alpha$.

2. Tay quay $AO$ có chiều dài $r$ (hình 9) quay với vận tốc góc $\omega$, chiều dài thanh truyền $AB$ bằng $l$. Tìm vận tốc $v$ của điểm $B$ của thanh truyền, nếu $\angle ABO = \alpha$.

3. Một quả cầu, sau khi được làm quay quanh một trục, được đặt lên một mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát của quả cầu với mặt phẳng khác không. Dưới tác dụng của lực ma sát, quả cầu thay đổi chuyển động quay ban đầu của nó và bắt đầu chuyển động trên mặt phẳng theo một cách nào đó. Hãy mô tả chuyển động này sẽ diễn ra như thế nào.