Кинематика и связи

44

Кинематика часто рассматривается движение абсолотно твердых тел, то есть тел, расстояния между любыми двумя точками которых остаются постоянными. При этом существуют методы, значительное прощающее решение kinematических задач. С одним из них мы сейчас познакомимся.

Пусть тела при движении соприксаются, и скольжение между ними отсутствует. тогда скорости обих тел в точке соприксовения полностью совпадают (рис. 1). Если же между телами есть просkalывание, то совпадают лишь проекции скоростей на перепедикуляр к касательной в точке соприксовения. При этом достаточно, чтобы касательная существовала хотя бы для одной из скользывающих поверхностей (рис. 2).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Стержень $OA$ врашается по ча-

совой стрелке с угловой скоростью $\omega$, приводя в движение кирпич $ABCD$ с боковой стороны $a$ (рис. 3). Найти зависимости скорости кирпича $v$ от угла $\alpha$.

Решен и е. Стержень и кирпич соприксаются в точке $A$. Следовательно, скорости кирпича и стержня в этой точке в направлении $MN$ ($MN \perp \bot OA$) совпадают. Таким образом,

$$v \cos(90^\circ - \alpha) = \omega \cdot OA,$$

или

$$v = \frac{\omega}{\sin \alpha} \cdot \frac{a}{\mathrm{tg} \alpha} = \frac{\omega a \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}.$$

2. Источник света $S$ находится на расстоянии $l$ от экрана $MN$ (рис. 4). В начальной момент времени плоский предмет высоты $h$ начинает равномерно движаться со скоростью $v$ от источника к экрану. Найти зависимости скорости движения края тени по экрану от времени.

45

Решение. В данной задаче в роли стержня выступает луч $SB$. В точке $A$ луч «соприкасается» с пределом, а в точке $B$ — с экраном, образуя границы тени. Составим два уравнения, связывающих проекции скоростей в точках $A$ и $B$: $\omega \cdot SA = v \cos(\pi - \alpha)$ — проекция на $LK$, $\omega \cdot SB = u \cos \alpha$ — проекция на $MN$. Здесь $\omega$ — угловая скорость врашення луча. Разделив второе равенство на первое и учтывая, что

$$\frac{SB}{SA} = \frac{l}{SL} = \frac{l}{vt} \quad \text{и} \quad tg\alpha = \frac{h}{SC} = \frac{h}{vt},$$

получим

$$u = \frac{lh}{vt^2}.$$

Пусть теперь стержень $AB$ заданной длины $l$ (рис. 5) движется произвольно. Скорости $\vec{v}_A$ и $\vec{v}_B$ его концов могут быть различны, но, так как длина стержня не меняется, проекции этих скоростей $v''_A$ и $v''_B$ должны быть равны: $v''_A = v''_B$. Проекции скоростей $v'_A$ и $v'_B$ определяют круговое движение стержня с угловой скоростью $\frac{v'_B - v'_A}{l}$ (проверьте это самое точное).

Решим две задачи.

3. Стержень $AB$ опирается своим концам о стороны тупого угла $\beta$ (рис. 6). Верхний конец стержня тнут со скоростью $v$ вдоль стороны $AO$. Найти зависимости скорости $u$ точки $B$ от угла $\alpha$.

Решен и е. Так как длина стержня $AB$ неизменна, проекции скоростей его концов на направление стержня одинаковы:

$$u \cos \alpha = v \cos(\pi - \alpha - \beta),$$

или

$$u = -\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos \alpha} v.$$

Рассмотрим случай, когда длина стержня изменяется во время движения («стержнем» может служить, например, отрезок, соединяющий две заданные точки, расстояние между которых меняется). Тогда

46

соответствие, связывающее процесс скоростей концов стержня, принимает вид

$$|v_A'' - v_B''| = u,$$

где $u$ — скорость изменения длины стержня. (Модуль здесь нужен, так как неизвестно, какая из скоростей больше.)

4. Лодку с круглого берга тянут за вервку с постоянной скоростью $v$. Найти зависимость скорости лодки $u$ от угла $\alpha$.

Решение. В данном случае нас интересует часть вервки $AB$. Скорость ее сокращения равна $v$. Векторы скоростей концов вервки $A$ и $B$ показаны на рисунке 7. Согласно утверждению, приведенном выше, имеем

$$v_A \cos \alpha = v_B,$$

или так как $v_A = u$, $v_B = v$,

$$u = \frac{v}{\cos \alpha}.$$

Попробуйте самостоятельно решить подобные задачи.

1. Стержень $OA$ врашается по часовой стрелке с угловой скоростью $\omega$, приводя в движение цилиндр радиуса $r$ (рис. 8). Скольжение между цилиндром и плоскостью нет. Найти зависимость скорости цилиндра $v$ от угла $\alpha$.

2. Кривошип $AO$ длины $r$ (рис. 9) врашается с угловой скоростью $\omega$, длина шатура $AB$ равна $l$. Найти скорость $v$ точки $B$ шатура, если $\angle ABO = \alpha$.

3. Шарик, предварительно раскрутив вокруг оси,кладут на горизонтальную поверхность. Козффициент трения шарика о поверхности отличен от нуля. Под действием силы трения шарик изменяет свое первоначальное врашательное движение и начинает каким-то образом движется по поверхности. Описать, как будет проинсходить это движение.