Знаете ли вы определения?

43

$u_1, u_2, u_3, \text{ где } u_1 = \cos^4 \frac{x}{2}, \ u_2 = \frac{1}{2} \sin 2x, \ u_3 = -\sin^4 \frac{x}{2},$ представлена собой аргументческую прогрессию.

3. Пусть в аргументческой прогрессии $S_n = n^2 p, S_k = k^2 p$. Доказать, что $S_p = p^3$.

4. Доказать, что

$$\frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}.$$

5. Четыре числа $a, b, c, d$ образуют геометрическую прогрессию. Доказать, что $(a-c)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 = (a-d)^2$.

6. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{u} = \frac{u}{s} = \frac{s}{t}, \\ x = 8u, \\ x + y + z + u + s + t = 15\frac{3}{4}. \end{cases}$$

7. Доказать равенство

$$(66 \dots 6)^2 + \underbrace{88 \dots 8}_{n \text{ цифр}} + \underbrace{44 \dots 4}_{2n \text{ цифр}}.$$

8. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 3x + A = 0$, а $x_3$ и $x_4$ — корни уравнения $x^2 - 12x + B = 0$. Известно, что последовательность $x_1, x_2, x_3, x_4$ является возрастоящей геометрической прогрессией. Найти $A$ и $B$.

9. Решить уравнение $2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - \dots = \frac{13}{6}$, если $|x| < 1$.

10. Сумма членов бесконечного убивающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти десятий член прогрессии.

11. Найти трехзначное число, если его цифры образуют геометрической прогрессию, а цифры числа, меньше на 400, — аргументческую.

12. Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если их уменьшить соответственно на 2, 1, 7, 27, то полученные числа составят аргументческую прогрессию. Найти эти числа.

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ?

1. Какие из следующих формул верны, а какие нет?
   a) $1 > 1$; 6) $1 \geq 1$;
   b) $1 \leq 1$; 7) $2 > 1$;
   d) $2 \geq 1$; e) $-2 \leq -1$.

2. Учитель задал ученику вопрос: «В каких случаях, проводя перепределкур к прямой, проходящий через данную точку, мы говорим, что опускаем перепределкур на прямую, а когда, что восставляем перепределкур к прямой?»

Ученик ответил: «Если точка находится над прямой или на прямой и мы ведем перепределкур вниз, то мы опускаем перепределкур, а если точка под прямой или ведем перепределкур вверх, то мы его восставляем».

Незамедлительно последователь вопрос: «А если точка сбоку от прямой или прямая вертикальная?»

Помогите ученику, ответьте на вопрос: на этих рисунках мы восставляем перепределкур или опускаем?