Bài toán

quá sớm, chúng tôi đã không dạy khả năng “tấn công vào góc”.
Nếu cây thánh giá nằm trên đường chéo của hình vuông được phòng thủ, thì nó đe dọa số trường bên ngoài hình vuông gần như gấp đôi so với trong một “cuộc tấn công trực diện” vào cạnh của hình vuông này, chẳng hạn như trong Hình 8, nó đe dọa, như trước đây (Hình 5), 13 trường mỗi bên và tổng cộng là 25 trường.
Có phải những con số 0 thực sự không thể chịu được đòn tấn công này? Khả năng lấy các cạnh của một hình vuông lớn làm quảng trường phòng thủ sẽ hỗ trợ các số không. Hãy lấy một hình vuông lớn hơn (lớn hơn nhiều so với trong Hình 9) và vẽ một hình vuông trong đó, cách cạnh hình đầu tiên sáu hình vuông. Hãy lấy tâm của hình vuông trong ô nơi đặt dấu thập đầu tiên. Miễn là các cây thánh giá nằm bên trong hình vuông nhỏ hơn, cạnh của hình vuông không bị đe dọa bởi bất kỳ cuộc tấn công nào và trong khi các cây thánh giá đang di chuyển về phía cạnh (hoặc góc) của hình vuông bên trong, các cây thánh giá sẽ có thể củng cố vị trí của chúng ở các góc của hình vuông lớn, chẳng hạn như đặt 11 số 0 ở mỗi góc (Hình 9), do đó “tấn công vào góc” sẽ vô nghĩa và chúng ta đã học cách đẩy lùi cuộc tấn công từ bên cạnh nếu nó bắt đầu từ khoảng cách sáu ô tính từ bên cạnh. Để đặt 11 số 0 ở mỗi góc (trên thực tế, bạn có thể làm ít hơn), bạn sẽ cần một hình vuông bên trong có cạnh là 87 ô, và do đó, hình vuông bên ngoài sẽ có cạnh là 99 ô.
Chúng tôi để độc giả xây dựng chính xác chiến lược “chiến thắng” của các số 0 và khám phá các biến thể khác của trò chơi này (ví dụ: để tìm hiểu xem $p$ và $q$ số 0 nào, họ không thể “khóa” các dấu thập nếu $p$ chéo và $q$ số 0 được đặt trong một nước đi).

Bài tập

1. Trên các cạnh $AB, BC, CA$ của tam giác $ABC$ điểm $C_1, A_1, B_1$ được chọn tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ cắt nhau tại một điểm. Hãy khái quát hóa phát biểu này cho trường hợp có sáu điểm được chọn trên các cạnh của teradir.

2. Cho pyatulnik $ABCDE$. Vẽ một đường tròn đi qua hai đầu mỗi cạnh và giao điểm của hai cạnh liền kề. Chứng minh rằng các đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ năm (khác các đỉnh của điểm thứ năm) nằm trên cùng một đường tròn.

3. Qua điểm $P$ nằm bên trong $BAC$ vẽ hai đường tròn bằng nhau, một đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $AB$, đường còn lại tiếp xúc với đường thẳng $AC$.

4. Hai đường tròn tiếp xúc (cùng phía) với đường thẳng $l$ tại điểm $C$ và đường thẳng $m$ song song với $l$ và cắt cả hai đường tròn tại các điểm $S, T, X, Y$ (tuần tự). Chứng minh rằng điểm $C$ nằm trên bissertrix của một trong hai góc tạo bởi các cặp tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm $S, T$ hoặc $X, Y$.

5. Một tam giác nội tiếp trong một đường tròn và độ dài bình phương các cạnh của nó tỉ lệ với độ dài các đường vuông góc vẽ từ các đỉnh đối diện với một tiếp tuyến cố định với đường tròn. Chứng minh rằng một cạnh nằm trên đường kính của đường tròn.

6. Hai đường tròn có bán kính $R$ và $r$ được sắp xếp sao cho bình phương khoảng cách giữa tâm của các đường tròn là $R^2 + 14Rr + r^2$. Chứng minh rằng tồn tại vô số đường tròn tiếp tuyến theo cặp với nhau và với cả hai đường tròn đã cho.