Xung. Định luật bảo toàn động lượng

58

XUNG.
LUẬT BẢO QUẢN
xung lực

I. A. Zaitsev

Bài viết này tập trung giải quyết các bài toán về một trong những chủ đề quan trọng nhất của môn vật lý phổ thông - định luật bảo toàn động lượng. bài toán như vậy thường có thể được tìm thấy trong các bài thi. Bài viết sử dụng bài toán, được đưa ra trong các kỳ thi tuyển sinh vật lý tại Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva, tại các khoa vật lý của Đại học Bang Mátxcơva, Đại học Bang Novosibirsk và một số trường đại học khác.

Xung lực (hoặc số lần chuyển động) của một điểm vật chất là tích của khối lượng và tốc độ của nó. Vì vận tốc là một vectơ và khối lượng là một đại lượng vô hướng nên xung lượng cũng là một đại lượng vectơ. hướng của vectơ xung lực trùng với hướng của vectơ vận tốc.

Nếu chúng ta có một số vật liệu điểm hoặc hạt, thì chúng ta có thể nói về hệ thống xung của vật liệu điểm. Nó bằng tổng vectơ các xung của từng điểm riêng lẻ. Vì vậy, ví dụ: nếu chúng ta có hai vật liệu điểm, một trong số đó có khối lượng $m_1$ và tốc độ $v_1$, còn vật liệu thứ hai có khối lượng $m_2$ và tốc độ $v_2$, thì hệ số p của hệ các vật liệu điểm này bằng tổng $m_1v_1 + m_2v_2$ (Hình 1). Điều quan trọng là đừng quên rằng các xung hạt được thêm vào theo vectơ, nghĩa là về mặt hình học (theo quy tắc của một tam giác hoặc theo quy tắc của hình bình hành). Trong trường hợp vận tốc của hạt hướng theo một đường thẳng thì các xung có thể được cộng theo đại số. Trong trường hợp này, xung của các hạt chuyển động ngược chiều nhau sẽ có dấu ngược nhau.

Để tìm hàm ý của một vật thể, trong đó các điểm khác nhau có vận tốc khác nhau, người ta tưởng tượng nó được chia thành các phần nhỏ (trong giới hạn vô cùng nhỏ) và sau đó cộng các hàm ý của các phần này lại với nhau. Bằng cách này chúng ta hãy tìm ý nghĩa của một đĩa đồng nhất quay quanh trục của nó. Rõ ràng là luôn có thể tìm thấy hai phần tử đĩa như vậy có khối lượng $\Delta m$, có vận tốc tuyến tính bằng nhau về độ lớn abscylotic và có hướng ngược nhau (Hình 2). Tổng xung của các phần tử này rất bằng không. Và vì đĩa luôn có thể được chia thành các cặp phần tử như vậy, nên hệ số cộng của toàn bộ đĩa bằng 0.

Vấn đề sẽ khác nếu đĩa lăn trên một bề mặt nằm ngang (Hình 3). Gọi vận tốc tâm đĩa là $v_0$. Tốc độ của bất kỳ phần tử nhỏ nào $\Delta m$ của đĩa có thể được biểu diễn dưới dạng tổng tốc độ tuyến tính $v_1$ của chuyển động quay của nó trong vòng tròn của đĩa (trong hệ tọa độ

59

liên kết với tâm của đĩa) và tốc độ $v_0$ của chuyển động tịnh tiến của nó: $v = v_1 + v_0$. Động lượng của đĩa bằng tổng các xung của các phần tử riêng lẻ của nó, nghĩa là
$$p = \Sigma \Delta m v = \Sigma \Delta m v_1 + \Sigma \Delta m v_0.$$
Nhưng số hạng đầu tiên trong tổng này rõ ràng bằng động lượng của đĩa trong hệ tọa độ liên kết với tâm của nó. Trong hệ tọa độ này, tâm của đĩa đứng yên và động lượng của đĩa bằng không. Do đó, động lượng của một đĩa lăn dọc theo mặt phẳng nằm ngang là $p = \Sigma \Delta m v_0$. Lấy hệ số không đổi $v_0$ ra ngoài dấu tổng, ta tìm được
$$p = v_0 \Sigma \Delta m = M v_0,$$
trong đó $M$ là khối lượng của đĩa.

Động lượng của vật phụ thuộc vào hệ tọa độ. Cho trong hệ tọa độ $B$ một vật có khối lượng $m$ chuyển động với tốc độ $v_B$. Động lượng của nó là $p_1 = m v_B$. Hệ tọa độ $B$ di chuyển với tốc độ $v_0$ so với hệ tọa độ $A$. Để tìm động lượng của một vật trong hệ tọa độ $A$, cần phải cộng $m v_0$ với $p_1$—tích của khối lượng vật và tốc độ của hệ tọa độ $B$ so với hệ tọa độ $A$. Quy tắc này là hệ quả của thực tế là tốc độ của bất kỳ điểm nào trong hệ tọa độ $B$ là tổng tốc độ của điểm này trong hệ tọa độ $A$ và tốc độ của hệ tọa độ $B$ so với hệ tọa độ $A$ (Hình 4): $v_A = v_B + v_0$. Từ đây
$$m v_A = m v_B + m v_0 = p_1 + m v_0.$$

Sử dụng khái niệm “động lượng”, định luật thứ hai của Newton có thể được viết như sau:
$$F = m a = m \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (m v)}{\Delta t}.$$
Nếu một lực $F$ tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian $\Delta t$ thì động lượng của vật đó thay đổi một giá trị $\Delta (m v) = F \Delta t$. Tích của lực $F$ và thời gian tác dụng của nó $\Delta t$ được gọi là xung lực. Và họ nói rằng sự thay đổi động lượng của một vật bằng xung lượng của lực tác dụng lên nó.

Ví dụ, sử dụng công thức này để viết định luật thứ hai của Newton, chúng ta tìm thấy lực trung bình tác dụng lên tấm mà một quả bóng có khối lượng $m$, đang bay, va chạm đàn hồi abscilton

60

ở tốc độ $v$ ở một góc $\alpha$ so với tấm (Hình 5). Thời điểm quả bóng va chạm vào đĩa là $\tau$.

Vì va chạm là hoàn toàn đàn hồi nên quả bóng bật ra khỏi tấm theo cùng một góc $\alpha$ khi nó tiến tới nó và với cùng tốc độ $v$. Không khó để tìm thấy sự thay đổi động lượng $\Delta p$ của quả bóng khi va chạm. Nó bằng nhau

$$2mv \cos(90^\circ - \alpha) = 2mv \sin \alpha$$

và hướng vuông góc với tấm. Điều này có nghĩa là khi một quả bóng va chạm với một tấm đĩa, một lực trung bình tác dụng lên quả bóng

$$F = \frac{2mv \sin \alpha}{\tau}.$$

Theo định luật thứ ba của Newton, lực tương tự nhưng hướng ngược lại tác dụng lên tấm.

Nếu cùng một lực tác dụng lên hai vật thể cùng một lúc thì xung lực của các vật thể này thay đổi theo cùng một cách, bất kể khối lượng hay tốc độ ban đầu của chúng. Ví dụ: cho hai hạt có khối lượng $m$ và $2m$ chuyển động như trong Hình 6, và phần đầu tiên $(m)$ chuyển động với tốc độ $v$ theo hướng vuông góc với hướng chuyển động của hạt thứ hai $(2m)$, có tốc độ là $2v$.

Cơm. 6.

Tại một thời điểm nào đó, các lực giống nhau bắt đầu tác dụng lên các hạt và các lực này tác dụng lên các hạt trong cùng một khoảng thời gian. Sau khi ngừng tác dụng lực, một hạt có khối lượng $m$ chuyển động với vận tốc $2v$ theo hướng ngược lại với hướng chuyển động ban đầu của nó. Hạt thứ hai chuyển động với tốc độ và hướng nào sau khi lực ngừng?

Hãy tìm xung lực của lực tác dụng lên mỗi hạt. Chúng ta không được quên rằng động lượng và độ biến thiên của động lượng là các đại lượng vectơ. Động lượng của hạt thứ nhất thay đổi về hướng và độ lớn và trở thành $2mv$. Độ biến thiên động lượng của hạt thứ nhất bằng $3mv$ (Hình 6, 6). Vì cùng một lực tác dụng lên hạt thứ hai trong cùng thời gian nên động lượng của hạt thứ hai thay đổi một lượng $3mv$. Cộng động lượng ban đầu của hạt thứ hai với sự thay đổi động lượng, chúng ta thấy rằng động lượng của một hạt có khối lượng $2m$ là $5mv$ và hướng một góc $\alpha = \arctg \frac{3}{4}$ với hướng chuyển động ban đầu của hạt này (xem Hình 6, 6). Chia động lượng của một hạt cho khối lượng của nó, ta thấy tốc độ của một hạt có khối lượng $2m$ sau khi ngừng lực bằng $2,5v$.

Bây giờ chúng ta hãy giải quyết bài toán khó khăn hơn.

Một tàu vũ trụ có tiết diện bất kỳ $S = 50m^2$ và tốc độ $v = 10km/sec$ rơi vào một đám mây thiên thạch micromet, mật độ của nó là $n = 1m^{-3}$ (nghĩa là có một micromet thiên thạch trong một mét khối không gian). Khối lượng của mỗi micromet là $m = 0,02e$. Lực đẩy phải tạo ra bao nhiêu để vận tốc của tàu không thay đổi? Tác động của thiên thạch micromet lên thân tàu được coi là hoàn toàn không co giãn.

Trong thời gian $\Delta t$, con tàu va chạm với các thiên thạch micromet, tại thời điểm ban đầu ở khoảng cách với nó nhỏ hơn $v \cdot \Delta t$ (Hình 7). Khối lượng $M$ của tất cả các thiên thạch micro này là $mnSv\Delta t$. Trước khi va chạm với tàu, vận tốc và xung của thiên thạch micromet bằng 0, và sau khi va chạm không đàn hồi

62

Ta có thể viết định luật bảo toàn động lượng:

$$\frac{m}{2} u_1 \cos \alpha + \frac{m}{2} u_2 \cos \beta = mv$$

đối với các thành phần xung dọc theo trục $x$,

$$\frac{m}{2} u_1 \sin \alpha - \frac{m}{2} u_2 \sin \beta = 0$$

cho các thành phần xung dọc theo trục $y$.

Từ những phương trình này chúng ta tìm thấy

$$u_2 = \sqrt{u_1^2 + 4v^2 - 4vu_1 \cos \alpha},$$

$$\sin \beta = \frac{u_1}{\sqrt{u_1^2 + 4v^2 - 4vu_1 \cos \alpha}} \sin \alpha.$$

Nếu hệ không cô lập và có một lực nhất định $F$ tác dụng lên nó thì tổng động lượng của hệ không được bảo toàn. Tuy nhiên, thành phần xung theo hướng vuông góc với lực $F$ được bảo toàn. lời giải của số lớn bài toán dựa trên điều này. Ví dụ: hãy giải quyết bài toán này.

Một khẩu súng đặt trên sân ga đang chuyển động với vận tốc $v$. Nòng súng hướng về phía chuyển động của bệ và nhô lên trên đường chân trời. Súng nổ, sau đó tốc độ của bệ giảm $n$ lần. Tìm tốc độ $u$ của viên đạn (so với mặt đất) nếu nó rời nòng một góc $\alpha$ so với phương ngang. Khối lượng của đạn là $m$, khối lượng của bệ có súng (không có đạn) là $M$.

Hệ thống vũ khí-bệ-đạn không bị cô lập: nó bị ảnh hưởng bởi trọng lực và phản lực của Trái đất. Tuy nhiên, theo phương ngang, ngoại lực không tác dụng lên bệ có pháo và đạn. Điều này có nghĩa là thành phần nằm ngang của xung của hệ thống sẽ không thay đổi trong quá trình quay. Đó là lý do tại sao

$$mu \cos \alpha + M \frac{v}{n} = (M + m) v.$$

Từ đây

$$u = v \frac{mv + M \frac{n - 1}{n}}{m \cos \alpha}.$$

Nếu hệ của một bộ phận hoặc các vật thể bị cô lập và động lượng của nó không thay đổi thì tốc độ khối tâm của hệ (trọng tâm) không thay đổi. Một phần, nếu tại một thời điểm nào đó hệ chuyển động sao cho tốc độ của khối tâm bằng 0, thì tốc độ này luôn bằng 0. Do đó, vị trí của khối tâm không thay đổi. Hãy xem một ví dụ.

Một người có khối lượng $m$ đang ở đuôi con thuyền có khối lượng $M$, đứng trong quặng. Chiều dài thuyền $L$. Thuyền sẽ chuyển động so với bờ bao nhiêu nếu một người di chuyển từ đuôi thuyền đến mũi tàu?

Vì không có lực nào tác dụng theo phương ngang lên hệ người thuyền nên vị trí khối tâm của nó phải được bảo toàn. Nhưng vị trí khối tâm của hệ được xác định bởi vị trí khối tâm của thuyền và người (Hình 9). Giả sử ban đầu khoảng cách giữa khối tâm của hệ ($O_c$) và khối tâm của thuyền ($O_\pi$) bằng $x$.