Импульс. Закон сохранения импульса

58

ИМПУЛЬС.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
ИМПУЛЬСА

И. А. Зайцев

Эта статья посвящена задачам на одну из самых важных тем школьного курса физики — закон сохранения имплуса. Такие задачи можно часто встретить в экзаменационных билетах. В статье использованы задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах по физике в Московском физico-техническом институте, на физических факультетах Московского государственного университета, Новосибирского государственного университета и в ряде другихузов.

Имплусом (или количество движений) материальной точки называется произведение ее массы на скорость. Так как скорость — это вектор, а масса — величины скалярная, то имплус — тоже векторная величина. направление вектора имплуса совпадает с направлением вектора скорости.

Если у нас имеется несколько материалов точек или частиц, то можно говорить об имплусе системы материалов точек. Он равен векторной сумме имплусов отдельных точек. Так, например, если у нас имеется две материалов точки, одна из которых имеет массу $m_1$ и скорость $v_1$, а второй — массу $m_2$ и скорость $v_2$, то имплус р системы этих материалов точек равен сумме $m_1v_1 + m_2v_2$ (рис. 1). Важно не забывать, что имплусы частиц складываются векторно, то есть геометрические (по правилам треугольника или по правилу параллелограмма). В том случае, когда скорости частиц направлены вдоль одной прямой, имплусы можно складывать алгебраически. При этом имплусы частиц, движущихся в противоположные стороны, следует быть с противоположными знаками.

Для того чтобы найти имплус тела, различные точки которого имеют разные скорости, его разбиают мысленно на маленькие части (в пределе бесконечного маленьке) и затем складывают имплусы этих части. Найдем таким способом имплус однородного диска, врашающего вокруг своей оси. Ясно, что всегда можно найти два таких элемента диска с массами $\Delta m$, линейные скорости которых равны по абсцилотной величины и противоположно направлены (рис. 2). Сумма имплусов этих элементов, очень нулю. А так как диск можно всегда разить на пары таких элементов, то отсюда следует, что имплус всего диска равен нулю.

Иное дело, если диск катится по горизонтальной поверхности (рис. 3). Пусть скорость центра диска равна $v_0$. Скорость любого малого элемента $\Delta m$ диска можно представить как сумму линейной скорости $v_1$ ее врашения во круглце диска (в системе координат,

59

связанной с центром диска) и скорости $v_0$ ее поступательного движения: $v = v_1 + v_0$. Импульс диска равен сумме импульсов отдельных его элементов, то есть
$$p = \Sigma \Delta m v = \Sigma \Delta m v_1 + \Sigma \Delta m v_0.$$
Но первый член в этой сумме, очевидно, равен импульсу диска в системе координат, связанной с его центром. В этой системе координат центр диска неподвижен и импульс диска равен нулю. Поэтому импульс диска, катящегося по горизонтальной плоскости, равен $p = \Sigma \Delta m v_0$. Выносая постоянный множитель $v_0$ за знак суммы, найдем
$$p = v_0 \Sigma \Delta m = M v_0,$$
где $M$ — масса диска.

Импульс тела зависит от системы координат. Пусть в системе координат $B$ тело массы $m$ движется со скоростью $v_B$. Его импульс $p_1 = m v_B$. Система координат $B$ движется со скоростью $v_0$ относительно системы координат $A$. Чтобы найти импульс тела в системе координат $A$, надо к $p_1$ прибавить $m v_0$—произведение массы тела на скорость системы координат $B$ относительно системы координат $A$. Это правило — следствие того, что скорость любой точки в системе координат $B$ складывается из скорости этой точки в системе координат $A$ и скорости системы координат $B$ относительно системы координат $A$ (рис. 4): $v_A = v_B + v_0$. Отсюда
$$m v_A = m v_B + m v_0 = p_1 + m v_0.$$

Пользоваться понятием «импульс», второй закон Ньютона можно записать так:
$$F = m a = m \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (m v)}{\Delta t}.$$
Если на тело действует сила $F$ в течение времени $\Delta t$, то импульс тела изменяется на величины $\Delta (m v) = F \Delta t$. Произведение силы $F$ на время ее действия $\Delta t$ называют импульсом силы. И говорят, что изменение импульса тела равно импульсу действия на него силы.

Воспользовавшись такой формулой записи второго закона Ньютона, найдем, например, среднюю силу, действующую на плиту, с которой абсцилтоно упруго стalkивает шарик массы $m$, летяший

60

со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к плите (рис. 5). Время соударения шарика с плитой равно $\tau$.

Так как столковение абсолотно упруго, то шарик отскакивает от плиты под таким же углом $\alpha$, под каким подлетает к ней, и с той же по величине скоростью $v$. Нетрудно найти изменение импульса $\Delta p$ шарика при ударе. Оно равно

$$2mv \cos(90^\circ - \alpha) = 2mv \sin \alpha$$

и направлено perpendicularно плите. Это означает, что при столковении шарика с плитой на шарик действует средняя сила

$$F = \frac{2mv \sin \alpha}{\tau}.$$

Согласно третьему закону Ньютона точно такая же сила, но направленная противоположно, действует на плиту.

Если одна и та же сила действует на два тела одно и то же время, то импульсы этих тел меняются одинаково, независимо от их начальных масс или скорости. Пусть, например, две частицы с массами $m$ и $2m$ движутся так, как показано на рисунке 6, а — первая часть $(m)$ движется со скоростью $v$ в направлении, perpendicularном направлению движения второй частицы $(2m)$, скорость которой равна $2v$.

Рис. 6.

На частицы в некоторый момент времени начинают действовать одинаковые силы, причем эти силы действуют на частицы одинаковое время. После прекращения действия сил частица массы $m$ движется со скоростью $2v$ в направлении, противоположном направлению ее первого嗽ального движения. С какой скоростью и в каком направлении движения второй частица после прекращения действия силы?

Найдем импульс силы, действующего на каждой частицу. Нужно не забываать, что импульс и изменение импульса — величины векторные. Импульс первой частицы изменяется по направлению и по величине и стал равным $2mv$. Изменение импульса perвой частицы равно $3mv$ (рис. 6, 6). Так как и на вторую частицу действует такая же сила в течение того же самого времени, то и импульс второй частицы меняется на $3mv$. Сложив первооначальный импульс второй частицы с изменением импульса, найдем, что импульс частицы массы $2m$ составляет $5mv$ и направлен под углом $\alpha = \arctg \frac{3}{4}$ к направлению первооначального движения этой частицы (см. рис. 6, 6). Разделив импульс частицы на ее массу, найдем, что скорость частицы массы $2m$ после прекращения действия силы равна $2,5v$.

Теперь решим более сложную задачу.

Космический корабль, имеющий любое сечение $S = 50m^2$ и скорость $v = 10km/sec$, попадает в облако микрометеоров, плотность которого $n = 1m^{-3}$ (то есть в одном кубическом метре пространства находится один микрометеор). Масса каждой микрометеора $m = 0,02e$. Насоклько должна возникнуть сила тягги движателя, чтобы скорость корабля не изменилась? Удар микрометеоров об общивку корабля считать абсолотно неупругим.

За время $\Delta t$ корабль сталкивается с микрометеорами, которые в начальной моментах находились от него на расстоянии, меньше $v \cdot \Delta t$ (рис. 7). Масса $M$ всех этих микрометеоров равна $mnSv\Delta t$. До столковения с кораблем скорости и импульсы микрометеоров были нулю, а после неупругого

62

закона сохранения импульса мы можем записать:

$$\frac{m}{2} u_1 \cos \alpha + \frac{m}{2} u_2 \cos \beta = mv$$

для составляющих импульсов по оси $x$,

$$\frac{m}{2} u_1 \sin \alpha - \frac{m}{2} u_2 \sin \beta = 0$$

для составляющих импульсов по оси $y$.

Из этих уравнений находим

$$u_2 = \sqrt{u_1^2 + 4v^2 - 4vu_1 \cos \alpha},$$

$$\sin \beta = \frac{u_1}{\sqrt{u_1^2 + 4v^2 - 4vu_1 \cos \alpha}} \sin \alpha.$$

Если система не изолирована и на нее действует неокоторая сила $F$, то полный импульс системы не сохраняется. Оdnako сохраняется составляющая импульса в направлении, перпендикулярном силе $F$. На этом основано решение большого числа задач. Решим, например, такую задачу.

На железнодорожной платформе, движущейся со скоростью $v$, укреплен орудие. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы и приподнять над горизонтом. Орудие произвело выстрел, после чего скорость платформы уменьшилась в $n$ раз. Найти скорость $u$ снаряда (относительно земли), если он вылетает из ствола под углом $\alpha$ к горизонту. Масса снаряда $m$, масса платформы с орудием (без снаряда) $M$.

Система орудие — платформа — снаряд не является изолированной: на нее действует сила тяжести и сила реакции Земли. Оdnako в горизонтальном направлении на платформу с пушкой и снаряд внешние силы не действуют. Это означает, что горизонтальная составляющая импульса системы не должна при выстреле измениться. Поэтому

$$mu \cos \alpha + M \frac{v}{n} = (M + m) v.$$

Отсюда

$$u = v \frac{mv + M \frac{n - 1}{n}}{m \cos \alpha}.$$

Если система части или тел изолированна и ее импульс не меняется, то не меняется и скорость центра масс системы (центра тяжести). В частиности, если в некоторый момент система двигаласъ так, что скорость центра масс была равна нулю, то эта скорость остается равной нулю все время. Поэтому не меняется и положение центра масс. Расмотрим пример.

Человек массы $m$ находится на корме лодки массы $M$, стоящей в руду. Длина лодки $L$. На сколько сдвиgets лодка относительно берега, если человек перейдет с кормы лодки на нос?

Так как в горизонтальном направлении на системе лодка — человек силы не действуют, положение ее центра масс должно сохраняется. Но положение центра масс системы определяется положением центра масс лодки и человека (рис. 9). Пусть первоначально расстояние между центром масс системы ($O_c$) и центром масс лодки ($O_\pi$) равно $x$.