Задачи М131—М135; Ф143—Ф147

Квант 1972, №3 с. 38-39 Тег 2JDE

ЗАДАЧНИК КВАНТА
Задачи

Решения задач из «Задачника «Кванта» просим присылать не позднее полутора мясцев после выхода из печати соответствующего номера. На конверте после адреса журнала написите, решения каких задач вы высылаете (например, 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Наука», редакция журнала «Квант», «Задачник «Кванта» М131, Ф134). В начале письма укажите свою фамилию, имя, отчество, шестизначный почтовый индекс и адрес (а также школа и класс, в котором вы учитесь).

Звездочный отменный более трудные задачи.

M131. Докажите, что четые точки, в которых биссертисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырехугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба (рис. 1).

Мурам Уртембаев, ученик 10 класса школа № 56 г. Алма-Аты

M132. Пусть по окружности выписано $n$ чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , каждое из которых равно $(+1)$ или $(-1)$ , причем сумма $n$ попарных противодействий составляет 0 (как в задане)

M93, стр. 42) и вообще для каждой $k=1, 2, \ldots, n-1$ сумма $n$ попарных противведений чисел, отстоящих друг от друга на $k$ мест, равна 0 (то есть $x_1x_3+x_2x_4+\ldots=0, x_1x_4+x_2x_5+\ldots=0$ и т. д.); пример для $n=4$ dan на рис 2).

a) Докажите, что $n$ — квадрат целого числа.

6)* Существует ли такой набор $n$ чисел при $n=16$ ?

(Полное решение вопроса: при каких $n$ макой набор чисел существует, нам не известно.)

M133. Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль «Вольвокс» — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольным, шестиугольным и пятнуюгольным клеткам (то есть клетками, имеющих семь, шесть или пять соедних; в каждой

«вершине» сходятся три клетки (рис. 3). Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартийных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью стороны) нет, то пятугольных клеток всегдаровно на 12 большие, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы обьяснить этот факт?

В. Маресин

М134. Какое множество точек заполяют центры тяжестии треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трех сторонах AB, BC и AC данного треугольника ABC?

Л. Г. Макаров

М135*. Докажите, что для каждой натурального $n>1$ верно тождество
$\sin x \sin \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \sin \left( x + \frac{2\pi}{n} \right) \times \cdots \times \sin \left( x + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) = c_n \sin nx,$ где $c_n$ — некоторое число (зависшее от $n$ ), и найдите $c_n$ .

В. Маресин

Ф143*. Самолет садится на пальбу авианосца, имея скорость 100 км/час. Запелившись за канат торможения, самолет пробегает до полной остановки 50 м. Определить перегрузки при посадке, если коэффициент упругости каната не меняется по мере его растяжения. Масса пилота 70 кг.

Ф144. Каким должен быть коэффициент треугольника о пол для того, чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке 4? Длина нити, удерживающей стержень, равна длине стержня.

И. А. Зайцев

Ф145. Идеальный газ сначала переход из состояния 1 ( $P_1, V_1, T_1$ ) в состояние 2 ( $P_2, V_1, T_2$ ). Затем из состояния 2 газ медленно и аднабатически (без подвода телла) переход в состояние 3 ( $P_3, V_3, T_3$ ). Известно, что при переходе 2→3 газ совершает работу, равную количество телла, сообщенного газу при переходе 1→2.

Рис. 3.

Показать, что $T_3 = T_1$ . Изображить процессы 1→2 и 2→3 на плоскости VT.

Ф146. Имеется батарея с э. д. с. 100 в и внутренним сопротивлением 2 om. На нагрузке нужно получить напряжение 20 в, причем при изменении сопротивления нагрузки от 50 до 100 om напряжение на ней должно меняться не более чем на 2%. Придумайте простую схему для питания нагрузки и расчитайте параметры этой схемы.

А. Р. Зильберман

Ф147 *. В модели атома Резерфорда и Бора электроны врашают вокруг ядра на определенных круговых орбитах. При переходе с одной орбиты на другую, более близкую к ядру, атом испускает фоотон. Какова энергия и частота фоота, испущенная atomом водорода при переходе электрона с орбиты радиуса $r_1=2,1\cdot 10^{-8}$ cm на орбиту радиуса $r_2=5,3\cdot 10^{-9}$ cm?

С. М. Козел