Решения задач М89—М95; Ф100—Ф107

40

Решения

В этом номере мы публикуем решения задач
М89—М95; Ф100—Ф107

M89
Решение этой задачи содержится в заметке И. М. Яглома на стр. 28.

M90
Докажите, что если $x_1 < x_2 < x_3 \dots$ — натуральные числа, то
$$\frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3} + \dots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4}.$$

Предположим сначала, что $x_n \leq n^2$. Тогда
$$\frac{\sqrt{x_i-x_{i-1}}}{x_i} \leq \frac{x_i-x_{i-1}}{x_i} = \frac{1}{x_i} + \frac{1}{x_i} + \dots + \frac{1}{x_i}.$$
$$x_i - x_{i-1} \text{ слагаемых}$$

Посленяя сумма, очевидно, не превышает содержащей столько же слагаемых суммы
$$\frac{1}{x_{i-1}+1} + \frac{1}{x_{i-1}+2} + \dots + \frac{1}{x_i} + \frac{1}{x_i-1} + \frac{1}{x_i}.$$

No тогда
$$\sum_{i=1}^{n} \frac{\sqrt{x_i-x_{i-1}}}{x_i} < \frac{1}{x_0+1} + \dots + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_1+1} + \dots + \frac{1}{x_i} + \dots + \frac{1}{x_{n-1}+1} + \dots + \frac{1}{x_n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n^2}.$$
Предположим теперь, что среди чисел $x_0, x_1, x_2, \dots, x_n$ есть большие чем $n^2$. Если $x_i > n^2$, то
$$\frac{\sqrt{x_i-x_{i-1}}}{x_i} < \frac{\sqrt{x_i}}{x_i} = \frac{1}{\sqrt{x_i}} < \frac{1}{n}.$$
Таким образом, какое слагаемое со значением $x_i$, большим $n^2$, меньше $\frac{1}{n}$.
Следовательно, сумма всех таких слагаемых (их не более чем $n$) меньше 1. Но сумма остальных слагаемых, как уже было показано выше, меньше $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n^2}$, что и завершает доказательство неравенства(*)

Ю. И. Ионии

41

М91
Решение задачи M91 посвязывана отдельная заметка «Окружение десята» на стр. 24.

М92
Петя собирается все 90 дней каникул проводится в деревне и при этом строго придерживается такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купатся на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя проделывает и то, и другие, и третье, и очень устал.) Сколью будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купатся, но не нужно ездить в магазин и решать задачи? Сколью «скучных», когда совсем не будет никаких дел?

Эта задача привлекава внимание многих наших читателей. Вот ее подробное решение.
Занumerуем все дни: 1, 2, 3, …, 90.
Выясним, сколько раз Петя ходил купатся. Он делал это в первый день, а потом через день. Значит, он ходил купатся в дни с нечетными номерами (рис. 1). Таких дней 90:2=45. Следовательно, он ходил купатся 45 раз.

Точно так же можно выяснить, сколько было дней, когда он ездил в магазин, и сколько, когда решал задачи. Ездил в магазин он в те дни, номера которых при делении на 3 дают остаток 1. (Таких дней 90:3=30 (рис. 2)). А задачи решал в те дни, номера которых при делении на 5 дают остаток 1. (Таких дней 90:5=18 (рис. 3)).

Однако для того, чтобы узнать, сколько было дней, когда Петя (a) купался и ездил в магазин, (b) купался и занимался математкой, (c) ездил в магазин и занимался математкой и (d) купался, ездил в магазин и занимался математкой. Чтобы не решать какую из этих задач в отдельности, мы должны такую общую лемму.

Лемма. Среди натуральных чисел, меньших N, остаток q при делении на n дают $$\frac{N-1-q}{n} + 1$$ чисел (q≠0). (Напомним, что через [x] обозначают целую

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

часть числа x: наиболее целое число, не превосходшее x.)

Докажательство леммы. Остаток q при делении на n дают числа

q, q+1·n, q+2·n, …, q+kn, …

Поскольку нас интересют только числа, меньше N, нам нужно найти такое целое k, что q+kn<N≤q+(k+1)n. Перепишем это неравенство так:

$$kn \leq N-1-q < (k+1)n,$$

и, наконец, так: $k \leq \frac{N-1-q}{n} < k+1$. Поэтому $k = \frac{N-1-q}{n}$, а всего чисел, меньших N и дающих остаток q при делении на n, существует $$\frac{N-1-q}{n} + 1$$ (единица появляется из-за числа $q=q+0\cdot k$).

Теперь уже просто получить ответы на вопросы a, b, c и d. Действительно, каждый из этих вопросов можно переформулровать так: сколько натуральных чисел, меньших 91, дают остаток 1 при делении на n_i, где n_i зависит от вопроса: $n_a=6$, $n_b=10$, $n_c=15$ и $n_d=30$. Подставляя эти числа в нашу формулу, получаем, что было:

42

15 дней, когда Пета купался и ездил в магазин;
9 дней, когда Пета купался и решал задачи;
6 дней, когда Пета ездил в магазин и решал задачи;
3 дня, когда Пета купался, ездил в магазин и решал задачи.
Тепер мы уже можем вычислять, сколько было «скучных» и сколько «приятных» дней. Всего Пета провел в деревне 90 дней. 3 дня он занимался треем делами, 15+9+

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

42

+6=30 дней — хотя бы двумя делами и 45+30+18=93 дня — хотя бы один делом. Поэтому (см. рис. 4, 5) 90—93+30—3=24 дня он ничего не занимался. Итак, «скучных» дней было 24. Аналогично вычисляется число «приятных» дней: всего Пета купался 45 дней, купался и занимался еще чем-нибудь он 15+9=24 дня, и, наконец, всеми треем делами он занимался 3 дня. Окончательно, «приятных» дней было 45—24+3=24.

M93
Каждеое из чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равно плоскости или минус единиц. Известно, что
$$x_1x_2+x_2x_3+\dots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0.$$
Докажите, что $n$ делится на четые.

Поскольку в сумме $x_1x_2+x_2x_3+\dots+x_nx_1$ равно $n$ слагаемых, то $n$ четно — число минус единиц в этой сумме равно числу плоскости. Остается показать, что число минус единицу. Перемножим для этого все слагаемые
$$x_1x_2 \cdot x_2x_3 \cdot x_3x_4 \cdot \dots \cdot x_nx_1=x_1^2x_2^2 \cdot \dots x_n^2=1.$$
Позному количество минус единиц действительно четно и $n$ делится на 4.

M94
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.

Допустим, что такой многогранник существует. Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ — плоские углы его граней. Сосчитаем двумя разными способами, чему равно их среднее арфметическое. Сгруппируем углы по граням. Тогда, поскольку у каждой грани по крайней мере четыре угла, среднее арфметическое ее углов не меньше 90°. Отсюда сразу следует, что и среднее арфметическое всех углов не меньше 90°. Сгруппируем их теперь по вершинам. Поскольку к каждой вершине примыкает хотя бы четыре угла, а сумма всех углов при вершине меньше 360°, то среднее арфметическое углов при вершине меньше 90°*). Но тогда и среднее арфметическое всех углов меньше 90°. А, как мы доказали выше, оно не меньше 90°. Полученное противоречие и доказывает, что таких выпukлы многогранников не существует.

Другое решение задачи можно получить, основываясь на формуле Эйлера**). Пусть

*) В этом месте мы пользовемся выпуклостью многогранника. Как заметили некоторые наши читатели, можно построить невыпуклый многогранник с «дыркой», у которого каждая грань четырехугольник и в каждой вершине сходятся четыре ребра (см. рис. 6).

**) О формуле Эйлера можно прочитать в книге: Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика?, «Просвещение», 1967.

43

В кольцество вершин, $P$ — ребер, а $\Gamma$ — граней многогранника. Тогда для выпуклого многогранника (и вообще для многогранника без «сквозных дыр») справедливо такое равенство:

$$B - P + \Gamma = 2.$$

В нашем многограннике к каждой вершине примыает не менее четырех ребер. Поэтому $P \geq \frac{4B}{2}$. (Пополам надо делить потому, что каждое ребро примыает к двум вершинам.) Аналогично, поскольку к каждой вершине примыает хотя бы четыре ребра, $P \geq \frac{4F}{2}$.

Поэтому $2P \geq 2(B + \Gamma)$, то есть $P \geq B + \Gamma$, а по формуле Эйлера $B + \Gamma = P + 2$. Таким образом, из существования многогранника, обладающего указанным свойствами, следовало бы, что $P \geq P + 2$, что противоречив.

М95

На доске была начечена трапеция, в ней была проведена средняя линия $EF$ и опущен перpendикуляр $OK$ из точки $O$ пересечения диагоналей на большое основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам $EF$ и $OK$ (рис. 7)?

Построение трапеции. Проведем чертез точки $K$ прямую $l$, параллельную отрезку $EF$. Отышем середину $M$ отрезка $EF$. Найдем точку $N$ пересечения прямой $l$ и прямой $OM$. Построим параллельграмм с вершинами $E$, $N$ и $F$, для которого отрезок $EF$ является диагональю. Обозначим его четверту вершину черз $P$. Проведем чертез нее прямую $l'$, параллельную $l$. Проведем чертез точки $O$ прямые, параллельные сторонам параллграмма $ENFP$. Точки, в которых эти прямые пересекают прямые $l$ и $l'$, являются вершинами трапеции.

Наше построение основано на том, что прямая $OM$ делит основания трапеции пополам. Доказательство этого несложного факта и доказательство правильности построения мы оставляем читателем. (Кроме этого мы пользовались тем, что средняя линия треугольника параллельна его стороне.)

Другое решение задачи можно получить, основываясь на том, что точка $Q$ пересечения продолженной боковых сторонах на прямой $OM$ и отношения расстояний до прямых $l$ и $l'$ для точки $O$ Qодинаковы. Пользоваться этим, после того как построены прямые $l$ и $l'$, можно построить точку $Q$ и, соединив ее с точками $E$ и $F$, найти вершины трапеции.

Исследование. Разберем различные случаи расположения отрезков $EF$ и $OK$.

1. Точка $O$ лежит на отрезке $EF$. Тогда решений нет (если точка $O$ является серединой отрезка $EF$, то прямую $OM$ можно проведти почти произвольно — подойдет лю-

Рис. 11 a.

Трапеция получается только, если отрезок ОМ короче отрезка MN (рис. 9, а, б). Если отрезки ОМ и MN равны, то получится треугольник (рис. 10). Если же ОМ больше MN, то получается «самопересекающая трапеция» (рис. 11, а, б).

Правильные решения задач прислали:
Н. Башкина (Курган-Тюбе) М92; С. Буу-бамрин (Глодяны МССР) М92; А. Аляев (Пачелмы Пензенской обл.) М92, М95; А. Буеай (Изяслав) М93, М95; В. Гамолин (Одесса) М93—М95; В. Гончаренко (Майкоп) М95; В. Афанасьев (Коломна) М95; О. Волков (Свердловск) М95; О. Винер (с. Городовка Винницкой обл.) М92, М95; А. Довжков (Ленинград) М95; В. Зубарев (Архангельск) М95; И. Брамовская (г. Усолье-Сибирское) М92; А. Заславский (Калинин) М95; Г. Златкус (Советск Калининградской обл.) М92; В. Запорожская (пос. Сосницы Черниговской обл.) М92, М95; А. Гольбере (Москва) М92—М95; В. Кореняко (Воронеж) М92, М94, М95; А. Николаев (Москва) М92—М94; В. Грицецич (г. Чортков Терновольской обл.) М93, М94; Т. Кислица (с. Шаранга Горьковской обл.) М95; С. Белчко (Докуаевск Донецкой обл.) М95; Ю. Кисин (Старая Русса) М95; Р. Косой (Одесса) М92, М95; Л. Книжнерман (Москва) М92; Л. Лазарева (Ленинград) М92; В. Лозинов (Москва) М93; Т. Казанов (Тбилиси)

Рис. 11 б.

М95; А. Грицорян (Баку) М93, М94; М. Илларинов (Воронеж) М92, М93, М95; А. Сбоев (псс. Медведок Кировской обл.) М92, М93, М95; А. Колчцов (Горький) М92, М95; А. Куцуков (Баку) М92, М93, М95; А. Слинин (Лазовая Харьковской обл.) М94; Ю. Полонский (Зеленодольск) М95; В. Надежко (Ленинград) М95; Л. Рудцер (Харьков) М95; В. Терентьев (г. Павлов Горьковской обл.) М92; Г. Макаров (Златоуст Челябинской обл.) М93, М95; В. Слепченko (Челябинск) М92, М93, М95; С. Муклыцин (Новосибирск) М92; И. Порумчикова (г. Сокольники Тульской обл.) М92; М. Розов (Минск) М92—М95; М. Прееер (Томск) М94—М95; Э. Туркевич (Черновцы) М92—М95; П. Серееев (Грозный) М95; А. Сликин (Москва) М92; А. Шмаев (Москва) М92, М93, М95; А. Удальцов (Калининград Московской обл.) М92, М93, М95; О. Худавердян (Ереван) М93, М95; Р. Шцанов (Люберцы Московской обл.) М92, М93; Г. Фи льковский (Баку) М92, М95; Ю. Якушиин (Ломоносов) М92; Е. Часовников (с. Парыгино Зыряновского р-на) М92; И. Юргель (Глубокое БССР) М92; С. Чекмарев (Москва) М93; Н. Фамкулин (Казань) М93, М95; А. Черняк (Минск) М92, М93, М95; В. Малченко (Славянск-на-Кубани) М92; Р. Сольцас (Вильнюс) М95; П. Сухов (Саратов) М95; А. Шерстюк (Николаев) М93, М95; Л. Резник (Ленинград) М92, М95.

Л. Лиманов

46

Ф101

К висящей очень тонкой пружине с жесткостью $k$ подвешен шарик. Вначале пружина не растянут. Какой максимальный скорости достигает шарик при своем движении? Масса шарика $m$.

Запишем уравнение движения шарика. На него действуют две силы: сила тяжестни $mg$ и сила натяжения пружины $F = kx$, где $x$ — деформация пружины. По второму закону Ньютона

$$mg - kx = ma.$$

Из этого уравнения следует, что ускорение шарика $a$ вначале направлено вниз и уменшается, затем становится равным нулю при $x = \frac{mg}{k}$, а потом снова возвращает, но направлено уже вверх.

Скорость шарика возвращает, пока его ускорение направлено вниз, и уменшается, когда оно направлено вверх. Поэтому скорость шарика максимальная при $x = \frac{mg}{k}$.

Для того чтобы найти ее, запишем закон сохранения энергии. Если шарик опустился на расстояние $x$, то его потенциальная энергия уменшилась на величины $mgx$, а кинетическая — возросла на $\frac{mv^2}{2}$ (раныше она была равна нулю). Часты потенциальной энергии шарика, равная $\frac{kx^2}{2}$, пошла на увеличение потенциальной энергии деформации пружины. Поэтому

$$mgx = \frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2}.$$

Отсюда при $x = \frac{mg}{k}$ получим

$$v_{\text{max}} = g \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Ф102

В герметических закрытом сосуда смещали поровну кислород и гелий. Затем в стенке сосуда сделали отверстие. Каков состав молекулярного пучка, выходитшего из него?

Энергия молекул газа зависит только от его температуры. Поскольку газы в сосудах находятся в равновесии и их температуры одинаковы, то

$$\frac{m_{\text{O}_2}v_{\text{O}_2}^2}{2} = \frac{m_{\text{He}}v_{\text{He}}^2}{2},$$

где $v_{\text{O}_2}$ и $v_{\text{He}}$ — средние скорости движения молекул газов, $m_{\text{O}_2}$ и $m_{\text{He}}$ — их массы. Из

46

Рис. 12.

это формулы следует, что

$$\frac{v_{\text{O}_2}}{v_{\text{He}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{O}_2}}}.$$

Будем для простоты считать, что молекулы газа могут движаться только в трех взаимно перpendicularных направлениях и скорости всех молекул одинаковы и равны средней скорости. Тогда в направлении к отверстию движется одна шестая часть молекул каждого из газов. За время $\Delta t$ из сосуда вылетают те молекулы газа, которые вначале находились на расстоянии, не большем $v\Delta t$ от отверстия. То есть это молекулы кислорода, находящиеся в объеме $v_{\text{O}_2}\Delta t \cdot s$ и молекулы водорода, находящиеся в объеме $v_{\text{He}}\Delta t \cdot s$ (s — площадь отверстия). Всего таких молекул кислорода $N_{\text{O}_2} = v_{\text{O}_2}sn_{\text{O}_2}\Delta t$ и молекул геля $N_{\text{He}} = v_{\text{He}}sn_{\text{He}}\Delta t$, где $n_{\text{O}_2}$ и $n_{\text{He}}$ — число молекул кислорода и геля в единице объема. Если в сосуде имеются равные количество молекул обихх газов, то $n_{\text{O}_2} = n_{\text{He}}$ и

$$\frac{N_{\text{O}_2}}{N_{\text{He}}} = \frac{v_{\text{O}_2}}{v_{\text{He}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{O}_2}}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}.$$

Если же массы газов в сосуде равны, то $m_{\text{O}_2}n_{\text{O}_2} = m_{\text{He}}n_{\text{He}}$ и

$$\frac{N_{\text{O}_2}}{N_{\text{He}}} = \frac{v_{\text{O}_2}}{v_{\text{He}}} \cdot \frac{n_{\text{O}_2}}{n_{\text{He}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{O}_2}}} \cdot \frac{m_{\text{He}}}{m_{\text{O}_2}} = \frac{1}{16\sqrt{2}}.$$

Ф103

Из пушки делают две серии выстрелов, наклонив ствол под углами $30^\circ$ и $40^\circ$ к горизонту. В каком случае попадания снарядов будут более кучными, если разброс вызван неточным прицеливанием, а не разброс начальных скоростей снарядов? Сопротивление воздуха считать пребрежимо малым.

Найдем вначале зависимость дальнейших полета снаряда от угла его вылета. Запишем

47

для этого кинематические уравнения движения снаряда. Если скорость снаряда равна $v_0$, а угол, под которым снаряд вылетает из ордия, равен $\alpha$, то в вертикальном направлении вдоль оси $y$ снаряд движется сускорением $a=-g$ и начальной скоростью $v_{0y}=v_0 \sin \alpha$. Поэтому изменение координаты $y$ снаряда определяется уравнием

$$y = v_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2}.$$

По горизонтали вдоль оси $x$ снаряд движется равномерно со скоростью $v_x=v_0 \cos \alpha$. Поэтому

$$x = v_0 t \cos \alpha.$$

В момент падения на землю $y=0$ и $v_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2} = 0.$

Отсюда можно найти время движения снаряда. Оно равно $t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$. Подставляя теперь это выражение в уравнение движения по горизонтали, найдем, что дальность полета снаряда равна

$$x_{\max} = \frac{2v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.$$

Это выражение максимального при sin $2\alpha=1$, то есть при $\alpha=45^\circ$.

Нарисуем график зависимости дальности полета снаряда от $\alpha$ (рис. 12). При малых отклонениях $\Delta \alpha$ угла вылета снаряда график зависимости $x_{\max}(\alpha)$ можно заменить прямой — касательной к действительному графику $x_{\max}(\alpha)$. Чем больше наклон этой касательной, тем больше ошибка в дальности полета снаряда при одной и той же ошибке $\Delta \alpha$ в угле вылета снаряда.

Из рисунка 12 видно, что при малых углах вылета снаряда угол наклона касательной к горизонту (к оси $0\alpha$) больше, чем при больших. Это означает, что при малых углах вылета снаряда изменение дальности при изменении угла вылета больше, чем при больших, и при стрелле с углом наклона ствола в $40^\circ$ кучность попадания снарядов будет выше, чем при угле $30^\circ$.

Этот же результат можно получить и с помощью формул. Пусть ошибка в угле вылета снаряда мал и составляет $\Delta \alpha$. Тогда ошибка $\Delta x$ в дальности полета снаряда составляет

$$\Delta x = \frac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha - \frac{v_0^2}{g} \sin [2(\alpha + \Delta \alpha)] = 2 \frac{v_0^2}{g} \cos(2\alpha + \Delta \alpha) \sin \Delta \alpha \approx 2 \frac{v_0^2}{g} \cos 2\alpha \cdot \Delta \alpha.$$

Таким образом, $\Delta x$ пропорционально $\Delta \alpha$, но коэффициент пропорционального зависит от $\alpha$. Он тем больше, чем меньше угол $\alpha$.

Ф104

В закрытом сосуде имеется несколько капель жидкости разной величины. Что произойдет с ним через продолжительное время?

Давление насыщенного пара у поверхности капли зависит от ее радиуса. Покажем это.

Представим себе замкнутый сосуд, в котором имеется капиллярная трубка, не смачиваемая жидкость. Давление в точке $B$ больше давления в точке $A$ (рис. 13) на величины $\rho_{\pi}gh$:

$$P_B = P_A + \rho_{\pi}gh,$$

где $h$ — разность уровней жидкости в капилляре и в сосуде, $\rho_{\pi}$ — плотность пара.

Так как пленка жидкости в капилляре находится в равновесии под действием двух сил: силы поверхности натяжения, равной $2\pi r\sigma$ (σ — коэффициент поверхности натяжения, r — радиус капилляра) и силы давления жидкости на глубине $h$, равной $\rho_{\pi}gh \cdot \pi r^2$ ($\rho_{\pi}gh$ — плотность жидкости), то $2\pi r\delta = \pi \rho_{\pi}ghr^2$.

Отсюда

$$h = \frac{2\sigma}{\rho_{\pi}gr}$$

и

$$P_B = P_A + \frac{2\sigma}{r} \frac{\rho_{\pi}}{r_{\pi}}.$$

Таким образом, давление над поверхностью жидкости тем больше, чем меньше ее радиус капли. Значит, если над поверхностью маленькой капли пар насыщен, то над поверхностью большей капли он не будет насыщенным. Это приведет к тому, что пар будет конденсировать на большой капле, попавая тем самым давление пара у поверхности малой капли. Это, в свою очередь, приводит к испарению маленькой капли. В результате в сосуде через некоторое время остается только одна большая капля.

Тот же результат можно получить и из самых общих рассудений. Предположим, что в сосуде налична жидкость (поверхность жидкости плоская) и имеет капля.

49

Из второго уравнения следует, что этот треугольник прямоугольный и угол между векторами скоростей электровaren 90°

Ф107

В схеме, изображенной на рисунке 16, волтметр изменяет падение напряжения на сопротивлении $R=300$ ком. Каким должно быть сопротивление волтметра для того, чтобы его показания отличались не более чем на 2% от действительного значения $u_R$? Внутренним сопротивлением источника претензей.

В отсутствие волтметра сопротивления $R$ и $R_1$ включаются последовательно. Поэтому падение напряжения на сопротивлении $R$ равно $u_R = \frac{R}{R+R_1} E$. При подключении волтметра он будет изменять падение напряжения на участке, состоящем из параллельно включенных сопротивлений $R$ и сопротивления волтметра $r$. Волтметр показывает величины

$$u' = \frac{Rr}{R+r} E$$

По условию показание волтметра должна отличаться не более чем на 2% от значения $u_R$. Поэтому

$$\frac{u_R - u'}{u_R} \leq 0,02.$$

Подставив в это уравнение выражения для $u_R$ и $u'$, найдем, что сопротивление волтметра не должно превышать 3675 ком.

Правильные решения прислали: В. Авсейков (Севастополь) $\Phi 103$, $\Phi 105$—$\Phi 107$; А. Александров (Глазов УАССР) $\Phi 100$; П. Амосов (Ярославль) $\Phi 100$; С. Арасланов (Нижне-Ивкино Кировской обл.) $\Phi 103$, $\Phi 107$; В. Белов (Вологда) $\Phi 100$—$\Phi 105$, $\Phi 107$; А. Блохин (Киселевск Кемеровской обл.) $\Phi 106$, $\Phi 107$; Л. Брачинский (Фрунзе) $\Phi 101$; А. Братковский (Москва) $\Phi 103$, $\Phi 104$, $\Phi 106$; А. Будников (Славянск Донецкой обл.) $\Phi 101$; А. Бузулуков (Новосибирск) $\Phi 107$; Ю. Гиви Долидзе (Тбилиси) $\Phi 101$; В. Глем-

$$R_1 = 100\text{ ком}$$

Боцкий (Ярославль) $\Phi 101$, $\Phi 102$; Е. Громак (Новокузнецк) $\Phi 103$, $\Phi 106$; М. Дзик (с. Кратово Армавирского р-на Тюменской обл.) $\Phi 101$, $\Phi 103$; А. Довспевич (Москва) $\Phi 101$; Е. Долов (Москва) $\Phi 100$, $\Phi 101$; Е. Домов (Москва) $\Phi 03$, $\Phi 106$; Г. Зайцев (Гагра) $\Phi 101$, $\Phi 103$, $\Phi 106$, $\Phi 107$; С. Занецочный (Ужгород Закарпатской обл.) $\Phi 101$; Н. Зыков (Саратов) $\Phi 101$; О. Замова (Москва) $\Phi 100$; А. Иванов (Льгов Курской обл.) $\Phi 102$; Я. Имин (Режница Гомельской обл.) $\Phi 101$; А. Истомин (Подольск Московской обл.) $\Phi 103$, $\Phi 105$; Т. Казанов (Тбилиси) $\Phi 103$, $\Phi 106$; А. Каримов (Уфа) $\Phi 101$; Т. Кисличина (с. Шаранга Горьковской обл.) $\Phi 105$, $\Phi 107$; Ю. Кисин (Старая Русса) $\Phi 103$; Л. Книжerman (Москва) $\Phi 100$—$\Phi 103$; Л. Кодан (Черновцы) $\Phi 101$; М. Колодочкин (Москва) $\Phi 101$; С. Кориллов (Грозный) $\Phi 101$; В. Коломиццев (Ростов-на-Дону) $\Phi 101$; П. Конев (Плеес Ивановской обл.) $\Phi 101$; В. Каманов (пос. Цалка ГССР) $\Phi 101$; В. Коменов (Москва) $\Phi 101$; В. Крылов $\Phi 100$; С. Кузьмич (Житомир) $\Phi 103$, $\Phi 105$, $\Phi 107$; В. Кулии (д. Могильно Брестской обл.) $\Phi 101$; В. Кууск (Ржев) $\Phi 100$, $\Phi 101$, $\Phi 104$, $\Phi 106$; Г. Леви (Куйбыцев) $\Phi 101$; В. Лукашин (Москва) $\Phi 101$; Ю. Лурье (Грозный $\Phi 101$; А. Мамула (с. Добинцы Богуславского р-на Киевской обл.) $\Phi 101$, $\Phi 102$, $\Phi 107$; Ю. Мурзанов (пос. Родинковский Краснодарского края) $\Phi 101$; М. Марон (Куйбыцев) $\Phi 100$, $\Phi 101$; И. Мацс (Макеевка) $\Phi 100$; Л. Менькова (Александров Владимирской обл.) $\Phi 101$; В. Надежко (Ленинград) $\Phi 101$, $\Phi 107$; А. Николаев (Свердловск) $\Phi 107$; С. Помашей (Ульяновск) $\Phi 100$, $\Phi 101$; Ю. Полонский (Зеленодольск ТАССР) $\Phi 101$; М. Преер (Томск) $\Phi 100$, $\Phi 101$, $\Phi 105$, $\Phi 106$; Л. Рудцер (Харьков) $\Phi 101$, $\Phi 105$; Л. Сафулин (с. Б. Сады ТАССР) $\Phi 107$; П. Сергеев (Грозный) $\Phi 100$, $\Phi 101$, $\Phi 103$, $\Phi 106$, $\Phi 107$; И. Сидоров (Москва) $\Phi 100$, $\Phi 101$; Г. Симоненков (Каунс) $\Phi 106$; М. Соломонович (Кишинев) $\Phi 101$; Е. Сычудов (пос. Краснодарского р-на) $\Phi 101$; М. Тайц (Москва) $\Phi 101$; О. Татаринская (Алма-Ата) $\Phi 101$; И. Турище (Кропоткин Краснодарского края) $\Phi 100$, $\Phi 102$, $\Phi 103$, $\Phi 105$, $\Phi 107$; А. Удальцов (Калининград Московской обл.) $\Phi 105$; В. Файмелевич (Рамавир) $\Phi 100$—$\Phi 102$; Г. Фаст (Карагана) $\Phi 104$; И. Федин (Омск) $\Phi 100$—$\Phi 103$, $\Phi 105$, $\Phi 107$; Г. Фурманов (Черновцы УССР) $\Phi 101$; М. Хомененко (Витебск) $\Phi 102$; О. Худавердян (Ереван) $\Phi 103$, $\Phi 107$; С. Чекмарев (Москва) $\Phi 100$—$\Phi 103$, $\Phi 105$, $\Phi 107$; Е. Часовников (с. Парычино Зыкновского р-на) $\Phi 101$; С. Черников (Семпалатинск) $\Phi 101$; Ж. Шенемко (Д.-Городок Брестской обл.) $\Phi 103$, $\Phi 104$, $\Phi 107$; А. Шерстюк (Николаев УССР) $\Phi 107$; Р. Шзаанов (Люберцы Московской обл.) $\Phi 101$; В. Шувалов (Электросталь) $\Phi 101$; И. Юренко (Киев) $\Phi 101$.