Учитесь работать с логарифмами

50

УЧИТЕСЬ РАБОТАТЬ
С ЛОГАРИФМАМИ
А. Я. Маргулис, Б. А. Радунский

Определенное логарифма

Как известно, логарифмом числа $N$ по основанию $a$ ($a > 0; a \neq 1$) называется показатель степенения, в котором надо возвести основание $a$, чтобы получить данное число $N$, то есть при $a > 0$, $a \neq 1$ $x = \log_a N$, если $a^x = N$.

Matематический запись определения логарифма является так называемое основное логарифмческого тожество:

$$a^{\log_a N} = N \quad (a > 0, a \neq 1, N > 0).$$

Напомним, что всякое положительное число при любом (положительном и отличном от единицы) основании имеет логарифм, а отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют.

10 следствий из основного тожества

Если числа $a$ и $b$ положительные и отличны от единицы ($M > 0$ и $N > 0$), то справедливые следующие соотношения (свойства логарифмов):

$$\log_a MN = \log_a M + \log_a N,$$

$$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N,$$

$$\log_a M^\alpha = \alpha \log_a M,$$

$$\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a},$$

$$\log_b a \times \log_a N = \log_b N,$$

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a},$$

$$\log_a^k N = \frac{1}{k} \log_a N \quad (k \neq 0),$$

$$\log_a^k N^k = \log_a N \quad (k = 0),$$

$$\frac{\log_a N}{\log_a M} = \frac{\log_b N}{\log_b M} \quad (M \neq 1),$$

$$\log_a N \times \log_b M = \log_a M \times \log_b N,$$

$$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}.$$

Формулы (1), (2) и (3) называют правилами логарифмования. Они позволяют находить логарифмы произведения (1), частного (2) и степени (или

51

(3). Эти же формулы позволяют находить число по его логарифму, то есть произведение потенцирования.

Формула (4) имеет особое значение — это формула перехода к новому основанию. Благодаря этой формуле нет необходимости иметь таблицы логарифмов при разных основаниях: достаточно иметь, например, таблицу десятичных логарифмов, чтобы по формуле (4) найти логарифм по любому интерсуціему нас основанию.

Формула (8) показывает, что отношение логарифмов двух чисел не зависит от основания.

Доказательства формул (1) — (5) проводятся в школьном курсе *); формулы (6) и (7) читатель без труда доказет сам, переход к основанию $a$ по формуле (4). В справедливости формулы (8) легко убедиться, если заметить, что и левая, и правая ее части равны числу $\log_M N$ (почему?); формула (9) есть просто иная запись равенства (8). А вот обоснование формулы (10):

$$a^{\log_b c} = a^{\frac{\log_a c}{\log_a b}} = (a^{\log_a c})^{\log_b a} = c^{\log_b a}.$$

Замечание

Мы предложали, что $M > 0$ и $N > 0$. Однако при решении логарифмических уравнений (или неравенств), когда в роли $M$ и $N$ выступают выражения от неизвестного $x$, преобразования по указанным выше формулам могут привести к неравносильным уравнениям (неравенствам). В подобных случаях следует пользоваться более общими формулами **); например, если $M(x) \cdot N(x) > 0$, то

$$\log_a M(x) \cdot N(x) = \log_a |M(x)| + \log_a |N(x)|.$$

Сейчас мы также волросы рассматривать не будем. Наша цель состоит в том, чтобы показать, как основные свойства логарифмов применяются для уравнения выражений, вычисления одних логарифмов через другие и их сравнения по величины.

Упрощение выражений, содержащих логарифмы

Внимательно разберете с карандашом и бумагой приводимые примеры; важно понять, где используется перечисленные выше формулы (мы специально проводим преобразования подробно, но почти без пояснения).

Пример 1. Упростимь: $\log_3 5 \cdot \log_4 9 \cdot \log_5 2$.

Решение. $\log_3 5 \cdot \log_4 9 \cdot \log_5 2 = \log_3 5 \cdot \log_5 2 \cdot \log_2 3 = \log_3 2 \cdot \log_2 3 = \log_3 3 = 1$.

Пример 2. Упростимь выражение:

$$N = \frac{\log_a \left[ \frac{1}{2} \log_b a^2 \right] \cdot \lg a \cdot \log_a \frac{1}{2} 100}{\left(\lg a \cdot 2^{\log_2 \lg a}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \lg^{-\frac{1}{2}} a^2}.$$

Решение. Укжем сначала область допустимых значений параметров: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $b \neq 1$ (так как $a$ и $b$ служат основаниям логарифмов), $a > 1$ (для существования $\log_2 \lg a$ должно быть $\lg a > 0$, откуда $a > 1$), окон-

*) См., например, Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова, Алгебра и элементарные функции, М., «Просвещение», 1970, §§ 183—186.

**) Подробнее см. Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов, Пособие по математике для поступающих вузы, М., «Наука», 1970.

52

Чаательно

$$a > 1; b > 0; b \neq 1.$$

Имеем
$$\log_a \left[ b^{\frac{1}{2} \log_b a^2} \right] \cdot \lg a \cdot \log_a^{\frac{1}{2}} 100 = \log_a b^{\log_b a} \cdot \lg a \sqrt{2 \log_a 10} =$$
$$= \frac{\log_a a \cdot \lg a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\lg a}} = \sqrt{2 \lg a}; \quad (\lg a \cdot 2^{\log_2 \lg a})^{\frac{1}{2}} \lg^{-\frac{1}{2}} a^2 =$$
$$= \frac{\sqrt{\lg a \cdot \lg a}}{\sqrt{2 \lg a}} = \sqrt{\frac{\lg a}{2}};$$

окончательно, $N = \frac{\sqrt{2 \lg a}}{\sqrt{\frac{\lg a}{2}}} = 2.$

Пример 3. Упростим выражение:
$$\left( b^{\frac{\log_{1000} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{1000} b}{\lg a}} \right)^3 \log_{ab} (2a + 3b)$$

Решение. Параметры должны удовлетворять условиям $a > 0; a \neq 1; b > 0; b \neq 1$ (объясните почему).

Имеем $b^{\frac{3 \log_{1000} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{3 \log_{1000} b}{\lg b}} = b^{\frac{\lg a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\lg b}{\lg b}} = ab,$
позному

$$N = (ab)^{\log_{ab} (2a + 3b)} = 2a + 3b.$$

Пример 4. Упростим выражение:
$$N = \left[ \left( \frac{\log_a^2 b + 1}{2 \log_a b} - 1 \right)^{\frac{1}{2}} + \left( \frac{2 \log_a^2 b + 1}{2 \log_a b} + 1 \right)^{\frac{1}{2}} \right] \sqrt{2} \log_a^{\frac{1}{2}} b.$$

Решение. Параметры должны удовлетворять условиям: $a > 0; a \neq 1; b > 0, b \neq 1$ (объясните почему); кроме того, для существования $\log_a^{\frac{1}{2}} b$ должно быть $\log_a b \geq 0$. Поэтому окончательно: $a > 1$ и $b > 1$ или $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$. Далее,

$$N = \left[ \sqrt{\frac{(\log_a b - 1)^2}{2 \log_a b}} + \sqrt{\frac{(\log_a b + 1)^2}{2 \log_a b}} \right] \sqrt{2 \log_a b} = |\log_a b - 1| + (\log_a b + 1) = \left\{ \begin{array}{l} 2 \log_a b, \text{ если } b \geq a > 1 \text{ или } 0 < b \leq a < 1; \\ 2, \text{ если } a \geq b > 1 \text{ или } 0 < a \leq b < 1. \end{array} \right.$$

Примеры 2 и 4 наглядно показывают, как важно учитывать область допустимых значений параметров.

Вышение одних логарифмов через другие

Пример 5. Дано: $\log_{30} 3 = a; \log_{30} 5 = b; \text{ найти } \log_{30} 8.$

Решение. $\log_{30} 8 = 3 \log_{30} 2 = 3 \log_{30} \frac{30}{15} = 3 (\log_{30} 30 - \log_{30} 3) - \log_{30} 5) = 3 (1 - a - b).$

Здесь все просто, потому что, во-первых, основания всех логарифмов одинаковы и, во-вторых, можно выразить число 2 через числа, логарифмы

53

которые заданы (или известны), то есть через числа 30, 3 и 5. Очевидно это не всегда легко сделать.

Пример 6. Дано: lg196=a; lg56=b; найти lg 0,175.

Решение. Представить число 0,175 через известные числа 196, 56 и 10 не так-то просто. Преобразуем:

$$\lg 0,175 = \lg \frac{175}{1000} = \lg \frac{7}{40} = \lg 7 - 2 \lg 2 - 1.$$

Таким образом, задача свелась к нахождению lg7 и lg2.

Условия задачи можно записать в виде двух равенств:

$$2\lg 2 + 2\lg 7 = a,$$
$$3\lg 2 + \lg 7 = b.$$

Из них находится

$$\lg 2 = \frac{2b-a}{4}; \quad \lg 7 = \frac{3a-2b}{4}.$$

Позатем

$$\lg 0,175 = \frac{3a-2b}{4} - \frac{4b-2a}{4} - 1 = \frac{5a-6b-4}{4}.$$

Пример 7. Дано: $\log_{14}7=a; \log_{14}5=b; \text{найти } \log_{25}28.$

Решение. В случае разных оснований целесообразно перейти к одному основанию:

$$\log_{35}28 = \frac{\log_{14}28}{\log_{14}35} = \frac{\log_{14}2 \cdot 14}{\log_{14}5 \cdot 7} = \frac{1 + \log_{14} \frac{14}{7}}{a+b} = \frac{2-a}{a+b}.$$

Пример 8. Дано: $\log_{12}27=a; \text{найти } \log_{6}16.$

Решение. $\log_{6}16 = 4\log_{6}2 = 4\frac{\log_{12}2}{\log_{12}6} = \frac{4\log_{12}2}{\log_{12} \frac{12}{2}} = \frac{4\log_{12}2}{1-\log_{12}2}.$

Остается найти $\log_{12}2$. По условию задачи

$$a = \log_{12}27 = 3\log_{12}3 = 3\log_{12} \frac{12}{4} = 3(1-2\log_{12}2).$$

Отсюда $\log_{12}2 = \frac{3-a}{6}$, а потом

$$\log_{6}16 = \frac{4 \cdot \frac{3-a}{6}}{1-\frac{3-a}{6}} = \frac{4(3-a)}{3+a}.$$

Сравнение логарифмов по величины

Зная свойства логарифмической функции, легко ответать на такие вопросы: какое из двух чисел больше: $\log_{2}3$ или $\log_{3}2$?

($\log_{2}3 > \log_{3}2$, либо $\log_{2}3 > 1$, а $\log_{3}2 < 1$);

$$\log_{\frac{1}{2}}3 \text{ или } \log_{3}1,1? \quad \left( \log_{\frac{1}{2}}3 < 0, \quad \log_{3}1,1 > 0; \quad \log_{\frac{1}{2}}3 < \log_{3}1,1 \right);$$

$$\log_{3}5 \text{ или } \log_{4}5? \quad (\log_{3}5 > \log_{4}5 - \text{объясните почему});$$

$$\log_{\frac{1}{2}}3 \text{ или } \log_{\frac{1}{2}}4? \quad \left( \log_{\frac{1}{2}}3 > \log_{\frac{1}{2}}4 - \text{объясните почему} \right).$$

При решении более сложных примеров, кроме использования свойств логарифмической функции, приведется производить различные преобразования.

54

Пример 9. (МГУ, химфак, 1969). Без таблицы определить, что больше: $\log_{20}80$ или $\log_{80}640$?

Решение. Максимальное употребим заданные логарифмы и приведем их к одному основанию:

$$\log_{20}80 = 1 + 2\log_{20}2 = 1 + \frac{2}{\log_{2}20},$$

$$\log_{80}640 = 1 + 3\log_{80}2 = 1 + \frac{3}{\log_{2}80}.$$

Остается сравнить числа $\frac{2}{\log_{2}20}$ и $\frac{3}{\log_{2}80}$. Но $\log_{2}20 > 0; \log_{2}80 > 0$, а $2\log_{2}80 = \log_{2}6400 < 3\log_{2}20 = \log_{2}8000$. Поэтому $\frac{2}{\log_{2}20} < \frac{3}{\log_{2}80}$, то есть $\log_{20}80 < \log_{80}640$.

Пример 10. (МГУ, ф-т психологин, 1969). Не пользовать таблицами, доказать, что $\log_{3}7 > \log_{7}27$.

Решение. Так как $\log_{7}27 = 3\log_{7}3 = \frac{3}{\log_{3}7}$ и $\log_{3}7 > 0$, то достаточно доказать, что $\log_{3}^27 > 3$ или $\log_{3}7 > \sqrt{3}$, или $7 > 3\sqrt{3}$.

Попробуем подробать «удобное» приближение для irrationalного показателя степени. Именно, используя тот факт, что $\sqrt{3} < 1,75 = \frac{7}{4}$, сравним $7$ и $3^{\frac{7}{4}}$, то есть $7^4$ и $3^7$. Из него введен $7^4 = 2401 > 3^7 = 2187$ следует $7 > 3^{\frac{7}{4}} > 3^{\sqrt{3}}$, а потом $\log_{3}7 > \log_{7}27$.

Пример 11. Без таблицы определить, что больше: $\log_{5}7$ или $\log_{13}17$?

Решение. Приведение к одному основанию ничего хорошего, оченьindo, не дает. Однако этот пример решается двух предыдуших. Заметим, что $1 < \log_{5}7 < 2$, $1 < \log_{13}17 < 2$. Сравним тогда числа

$$\log_{5}7 - 1 = \log_{5}7 - \log_{5}5 = \log_{5}\frac{7}{5}$$

и

$$\log_{13}17 - 1 = \log_{13}17 - \log_{13}13 = \log_{13}\frac{17}{13}.$$

Но $\log_{5}\frac{7}{5} > \log_{13}\frac{7}{5} > \log_{13}\frac{17}{13}$ (объясните почему), а тогда $\log_{5}7 > \log_{13}17$.

Пример 12. Доказать, что при любом натуральном $n > 1$

$$\log_{n}(n+1) > \log_{n+1}(n+2).$$

Решение. Очевидно, что $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} > \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$. Поэтому, используя свойства логарифмической функции, имеем (при $n > 1$)

$$\log_{n}\frac{n+1}{n} > \log_{n+1}\frac{n+1}{n} > \log_{n+1}\frac{n+2}{n+1}.$$

Преобразуя левую и правую части, сразу получаем, что

$$\log_{n}(n+1) > \log_{n+1}(n+2).$$

Отсюда, например, следует, что

$$\log_{2}3 > \log_{3}4 > \dots > \log_{k+1}(k+2).$$