33
После рассмотрения приближенных численных решений уравнения вычисших степеней методами проб, хорд, касательных и интерации на итоговом факультативном занятии по теме: «Приближенные решения уравнения», учащся попробали исследовать следующий метод численного решения уравнения.
Пусть на отрезке a≤x≤b уравнение f(x)=0 имеет единственный корень x0, а функция f(x) непрерывна на этом отрезке и на концах его принимает значения разных знаков. Проведем хорды AC и BC для графика заданной функции на отрезке [a,b].
Запишем уравнение прямой, проходящей через точки A[b;f(b)] и C(x0;0):
f(b)−0f(b)−y=b−x0b−x,
из которого находится
y=f(b)−b−x0b−xf(b).
Аналогично запишем уравнение прямой, проходящей через точки B[a;f(a)] и C(x0;0):
f(a)−0f(a)−y=a−x0a−x,
Graph of the function y=f(b)−b−x0b−xf(b)
откуда
y=f(a)−a−x0a−xf(a).
Чтобы найти координаты точки пересечения этих прямых, решим систему
{y=f(b)−b−x0b−xf(b),y=f(a)−a−x0a−xf(a).
Выписьвая целочкувая收支
f(b)−b−x0b−xf(b)=f(a)−a−x0a−xf(a),
f(b)[1−b−x0b−x]=f(a)[1−a−x0a−x],
f(b)⋅b−x0x−x0=f(a)⋅a−x0x−x0,
f(a)f(b)=a−x0b−x0,
находим
x0=f(a)−f(b)bf(a)−af(b).
Получена формула для корня данного уравнения f(x)=0! Учащся от неожиданного результата с большим возбуждением восторженной воскликнулли даже: «Эврика!».
Но через несколько минут в аудитории восстановилась тревожная тишина. Все были ошеломлены и каждого муaal вопрос: «Как же так?» Крупные учены — математики Абель и Эварист Галya для исчерпывающей доказательство, что для всех уравнений выше четвертой степени составить формулы точно решения нельзя.
Где же была допущена ошибка?
Я. М. Клейман