Va chạm bóng

20

Tại thời điểm quả bóng dừng lại, động năng luôn chuyển thành thế năng biến dạng. Thế năng biến dạng bằng công của lực đàn hồi trên đường đi $x$:

$$U \sim Fx \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}.$$

Điều này có nghĩa là $\frac{1}{2}mv^2 = U \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}$. Nhưng khối lượng của quả bóng là $m = \frac{4}{3}\pi R^3\rho$. Như vậy,

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2\pi}{3}R^3\rho v^2 \sim R^3\rho v^2.$$

Kể từ đây,

$$R^3\rho v^2 \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}},$$

Ở đâu

$$x \sim R \frac{\rho \frac{2}{5}v^{\frac{4}{5}}}{E^{\frac{2}{5}}} = R \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{\frac{2}{5}}.$$

Thuận tiện là biểu thị $\frac{E}{\rho} = u^2$), sau đó là $x \sim R\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{4}{5}}$. Hãy thay giá trị tìm được $x$ vào công thức (2):

$$F \sim ER^2\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{6}{5}}.$$

Hãy ước tính thời gian va chạm của các quả bóng:

$$t \sim \frac{x}{v} \sim \frac{R}{u}\left(\frac{u}{v}\right)^{\frac{1}{5}}$$

(4)

*) Đại lượng được đưa vào theo cách này trùng khớp với tốc độ âm thanh trong chất của quả bóng. Ví dụ: đối với thép $E = 2;1.10^{11}h/m^2$, $\rho = 7,8.10^3\kappa_2/m^3$, $u = 5,2.10^3m/c$ thì tốc độ truyền âm trong thép là khoảng $6.10^3m/c$.

**) Một phép tính chính xác hơn nhưng phức tạp hơn nhiều sẽ cho $t$ một giá trị lớn gần gấp đôi và đối với $F$ - ít hơn một chút.

Cho hai quả bóng thép có bán kính $R = 1cm$ va chạm với nhau với tốc độ $v = 5cm/c$ (khối lượng của quả bóng đó là ~30 $e$). Sử dụng công thức (4) và (3) chúng ta thu được

$$t \sim \frac{10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\left(\frac{5 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{-2}}\right)^{\frac{1}{5}}c \sim 2 \cdot 10^{-5}c,$$

$$F \sim 2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-4}\left(\frac{5 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^{\frac{6}{5}}n \sim 20n.$$

Lưu ý rằng tốc độ của các quả bóng càng cao thì thời gian hỗ trợ của chúng càng ngắn.

Có một cách khác để ước tính thời gian xét xử. Tương tự với lò xo, ta giả sử thời gian va chạm của các quả cầu tương ứng với nửa chu kỳ dao động của quả cầu có khối lượng $m$ lên lò xo có độ cứng $k \sim Er$, tức là

$$t \sim \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}},$$

(5)

Nửa chu kỳ càng ít thì độ cứng càng lớn *).

Ước tính của chúng tôi không thể áp dụng nếu tốc độ bóng quá cao. Trong trường hợp này, độ biến dạng lớn đến mức định luật Hooke không còn áp dụng được nữa. Đối với thép, định luật Hooke có hiệu lực ở biến dạng tương đối $\frac{\Delta l}{l} \leq 10^{-2}$. Từ điều kiện này chúng ta có thể xác định được tốc độ va chạm tối đa của các quả bóng. Biến dạng lớn nhất của quả bóng (“lò xo”)

$$\frac{\Delta l}{l} \sim \frac{x}{r} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \leq 10^{-2},$$

Ở đâu

$$v \leq 10^{-5}u \sim 5 \cdot 10^{-2}m/c = 5cm/c.$$

Người ta có thể đưa ra đánh giá tương tự về thời gian và lực tương tác khi hai hình trụ giống hệt nhau có chiều dài $l$ và bán kính $R$ va chạm vào nhau ở hai đầu. Trong trường hợp này, vùng biến dạng tương đối lớn hơn sẽ mở rộng đến thể tích của mỗi hình trụ.