Столкновение шариков

20

В момент остановки шарика всегда кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию деформации. Потенциальная энергия деформации равна работе силы упругости на пути $x$:

$$U \sim Fx \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}.$$

Это означает, что $\frac{1}{2}mv^2 = U \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}$. Но масса шарика $m = \frac{4}{3}\pi R^3\rho$. Таким образом,

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2\pi}{3}R^3\rho v^2 \sim R^3\rho v^2.$$

Следовательно,

$$R^3\rho v^2 \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}},$$

откуда

$$x \sim R \frac{\rho \frac{2}{5}v^{\frac{4}{5}}}{E^{\frac{2}{5}}} = R \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{\frac{2}{5}}.$$

Удобно обозначить $\frac{E}{\rho} = u^2$), тогда $x \sim R\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{4}{5}}$. Подставим найденное значение $x$ в формулу (2):

$$F \sim ER^2\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{6}{5}}.$$

Оценим время столковения шариков:

$$t \sim \frac{x}{v} \sim \frac{R}{u}\left(\frac{u}{v}\right)^{\frac{1}{5}}$$

(4)

*) Введенная таким образом величина по порядку совпадает со скоростью звука в веществе шарика. Например, для стали $E = 2;1.10^{11}h/m^2$, $\rho = 7,8.10^3\kappa_2/m^3$, $u = 5,2.10^3m/c$, скорость звука в стали около $6.10^3m/c$.

**) Более точный, но гораздо более сложный расчет дает для $t$ значение, примерно вторе большие, а для $F$ — несколько меньше.

Пусть при скорости $v = 5cm/c$ стalkиваются два стальных шарика радиуса $R = 1cm$ (масса такого шарика ~30 $e$). По формулам (4) и (3) получаем

$$t \sim \frac{10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\left(\frac{5 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{-2}}\right)^{\frac{1}{5}}c \sim 2 \cdot 10^{-5}c,$$

$$F \sim 2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-4}\left(\frac{5 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^{\frac{6}{5}}n \sim 20n.$$

Заметим, что чем больше скорость шариков, тем меньше время их содействия.

Провести оценку времени сударения можно и по-другому. Следуя аналогичным с пружиной, будем считать, что время сударения шариков соответствуют полуперiodу колебаний шарика массы $m$ на пружине жесткости $k \sim Er$, то есть

$$t \sim \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}},$$

(5)

полуперiod же тем меньше, чем больше жесткости *).

Сделанная нами оценка неприменима при слишком больших скорости шариков. В этом случае деформации настолько велики, что перестает выполнять закон Гука. Для стали закон Гука справедлив при относительных деформациях $\frac{\Delta l}{l} \leq 10^{-2}$. Из этого условия можно определить максимальный скорость столковения шариков. Найбольшая деформация шариков («пружины»)

$$\frac{\Delta l}{l} \sim \frac{x}{r} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \leq 10^{-2},$$

откуда

$$v \leq 10^{-5}u \sim 5 \cdot 10^{-2}m/c = 5cm/c.$$

Можно сделать подобную оценку времени и силы взаимодействия при столковении торцами двух одинаковых цилиндров длины $l$ и радиуса $R$. В этом случае область относительной большей деформации распространяется на объем каждой цилиндраце-