Квадрат Пирсона

61

Квадрат Пирсона

А. П. Азия, И. М. Волпер

В «Занимательной алгебре» Я. И. Перельмана есть любопытная задача под названием «В парикмахерской».
В этой задаче автор рассказыет, что, заглянув однажды в парикмахерскую, он увидел, как мастер пытается безупресно приготовить 12-процентный растор перекиси водорода из двух имевшихся в наличии расторов — трех- и трицатипроцентного*).

Задча, описанная Перельманом, встречается не только в парикмахерских.

Например, для зарядки аккумуляторов бывают необходимо приготовить электролит, который должен содержать 24% серной кислоты из двух расторов с содержанием 92% и 10% серной кислоты. На консервных заводах возникает необходимость приготовления 6%-ного уксуса для маринада из двух партий уксуса разной крепости: 3% и 10%, и т. д.

Для решения подобных задач удобно пользоваться «Квадратом Пирсона». Вот как это делается. Рисуют квадрат и проводят две диагонали (рис. 1). В левом верхнем углу просталяют больший показатель крепости исходных веществ (a), а в нижнем углу — второй показатель (b), а на пересечении диагоналей записывают требуемый показатель смеси (c).

Затем производят вычитание по первой диагонали (a − c) и находят коли-

*) Напомним, что содержанием вещества в расторе называется относение массы этого вещества в «чистом виде» к массе растора.

чество второй части смеси (y). Из центра производят вычитание по второй диагонали (c − b) и находят количество первого периой части смеси (x). Значения x и y записьют по одной линии с показателями. На x части первого вещества надо взять y части второго вещества, тогда получится смесь с показателем c.

Рис. 1. Рис. 2.

Пусть, например, имеются две партии сливок: одна содержит 36% жира, а другая — 18%. Требуется определить, сколько надо взять тех и других сливок, чтобы получить смесь с количеством жира 30%. Решаем по изображению выше способу (рис. 2) и получаем

$$y = a - c = 36 - 30 = 6,$$
$$x = c - b = 30 - 18 = 12,$$

то есть на 6 массовых частей второй партии сливок надо взять 12 частей первой.

Этот способ основан на спецификах виде количества получаемой смеси, оно равно разности показателей исходных веществ. Такое допущение в полное возможно, так как нас интересует не абсцидные величины, а относительные количества двух частей смеси.

В самом деле, мы получаем $x + y = (c − b) + (a + c) = a − b$ частей смеси. «Чистого» вещества в ней будет

$$\frac{x \cdot a}{100} + \frac{y \cdot b}{100} = \frac{(c − b) a + (a − c) b}{100} = \frac{ac − bc}{100}$$

частей, а крепость смеси будет равна $\frac{ac − bc}{100(a − b)} = \frac{c}{100}$, то есть c %.