Задачи М191—М195; Ф203—Ф207

35

Задачик «Кванта»
Задчи
M191—M195, Ф203—Ф207

Решения задачи из эмбодного номера можно посылать не позднее 30 апреля по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После.adреса на конверте нацистическо «Наука», журнал «Квант». После.adреса на конверте нацистическо, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Кванта» M191, M192» или «… Ф203».
Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылаемые в отдельных конвертах. Оргизнальные задачи, предладаемые для публикации, просылаемые вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещение «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).
Звездочной отмечены задачи повышенной трудности.

M191. На плоскости даны две точки A и B и прямая l, проходящая через точку A и не проходящая через точку B. Через точки A и B проводится произвольная окружность. Пусть O — ее центр, C — ее точка пересечения с прямой l, отличная от A. Найдите геометрическое место середины отрезков OC.
П. Парамонов, ученик 9 класса

M192. Даны числа 1, 2, 3, …, 1000. Найдите наиболее m, обладающие таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся 1000 — m чисел найдуться два, из которых одно делится на другое.

M193*. Докажите, что сумма площадей пяты треугольников, образуемых параметром и диагоналями выпуклого пятуугольника (см. рис. 1), больше площади всего пятуугольника.
Н. Б. Васильев

M194. Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Известно, что всякое целое число можно представить в виде ax + by, где x и y — целые. Расмотрим множество M целых чисел, которые представны в виде ax + by, где x и y — целые неотрицательные числа.
a) Каково наиболее число c, не принадлежащшее множество M?
b) Докажите, что из двух чисел n и c — n (где n — любое целое) одно принадлежит M, а другое нет.
(На рисунке 2 для a = 3 и b = 7 целые точки, принадлежащие множество M, — красные, не принадлежащие — голубые).

Рис. 1.

36

М195*. Дан треугольник АВС. Сколько существует таких точек D, что перimetры четырехугольников ADBC, ABDC и ABCD одинаковы?

М. Л. Гервер

Ф203. В электронном генераторе использован триод, в котором расстояние между катодом и аномом равно 1 мм. Оценить максимальное частоту колебаний, которые можно получить, используя этот генератор, если аномое напряжение составляет 200 В.

Ф204. Космический корабль подлегает к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. В момент максимального сближения с Луной на короткое время включается тормозной двигатель,

Рис. 3.

и корабль переходит на круговую орбиту спутника Луны. Определять изменение скорости корабля при торможении. Радиус Луны $R_\perp = 1740$ км,ускорение свободного падения на поверхности Луны $g_\perp = 1,7 \text{ m/c}^2$.

Примечние. На параболической траектории полная энергия корабля равна нулю.

С. М. Кобзел

Ф205. Осколком стекла A неправальной формы на вертикальной стенку пускают солнечный зайчик; один раз в точку B, другой раз в точку C (рис. 3). Зайчик в точке B оказывается круглым, а освещенность его в центре второе больше, чем на участках, освещенных только рассейным светом. Какова освещенность в центре зайчика в точке C?

Луччи SA, AB и AC лежат в одной вертикальной плоскости, луч AB горизонтален, $\leftrightarrow SAB = \leftrightarrow BAC = 45^\circ$.

Ф206.* Оцените, до какой максимальной температуры может нагреться из-за треня о воздушном сборелата, который летит со скоростью, близкой к скорости звука. Для оценки считать, что воздушность из двухatomных молекул азота, энергия которых равна $\frac{5}{2} kT$, где $k$ — постоянная Больцмана и $T$ — абсцилотная температура. Температура окружающей воздуха считать равной $-10^\circ\text{C}$.

П. Л. Капица

Ф207. На поверхности масла, напитого в цилиндрической сосуд, плавает кусочек водяного льда. Температура всей системы равна $0^\circ\text{C}$. Как изменится уровень масла и давление на дно сосуда, когда лед растет, а образовавшаяся вода опустится на дно сосуда?