La bàn và thước kẻ

2

Thật dễ dàng để chỉ ra bài toán cho các công trình không có lời giải. Chẳng hạn, không thể vẽ tiếp tuyến từ một điểm cho trước tới một đường tròn cho trước nếu điểm đó nằm bên trong đường tròn. Thú vị hơn nhiều là trường hợp hình vẽ được xây dựng phụ thuộc vào sự tồn tại của các công cụ hữu ích. Chắc hẳn nhiều bạn đã từng nghe nói rằng hai ngôi làng bài toán: chia ba một góc và chia ba một hình lập phương - không thể giải được bằng la bàn và thước kẻ. Những từ này có nghĩa là gì, những công trình nào có thể và không thể được thực hiện bằng la bàn và thước kẻ - đó là những gì bài viết này sẽ nói đến.

1. Lời giải bài toán về phép chia một góc bằng compa và thước

Cho đoạn AB ở hình 1 bằng bán kính đường tròn: AB = OB = OC = OD.

Sau đó $\Rightarrow BAO = \Rightarrow BOA = \alpha$, $\Rightarrow CBO = \Rightarrow BCO = 2\alpha$ ($\Rightarrow CBO =$ góc ngoài $\Delta ABO$), $\Rightarrow COD = 3\alpha$ (như góc ngoài $\Delta ACO$). Điều này dẫn đến phương pháp đơn giản sau đây để chia một góc tùy ý thành ba phần bằng nhau.

Hãy đánh dấu hai điểm A và B trên thước kẻ. Với bán kính AB ta vẽ đường tròn có tâm ở đỉnh O của một góc đã cho (cần chia thành ba phần bằng nhau). Chúng ta biểu thị giao điểm của nó với các cạnh của góc bằng C và D. Chúng ta sẽ di chuyển thước sao cho cạnh của nó luôn đi qua điểm C và điểm A trượt dọc theo đường thẳng OD cho đến khi điểm B nằm trên đường tròn. Khi điều này xảy ra, chúng ta có được sự sắp xếp như trong Hình 1, sao cho $\Rightarrow BAO$ cuối cùng bằng một phần ba của $\Rightarrow COD$.

Cấu trúc được mô tả có thể tạo ấn tượng rằng bài toán về phép chia một góc (về việc chia một góc thành ba phần bằng nhau) được giải bằng compa và thước kẻ. Để giải thích điều gì không loại trừ chúng ta trong cách xây dựng này, chúng ta sẽ thảo luận về lời giải của biểu thức vật lý tiếp theo bài toán.

Làm thế nào bạn có thể thay đổi chiều cao của nó khi ở trên nóc một tòa nhà nhiều tầng bằng phong vũ biểu và đồng hồ?

Lời giải. Cần thả phong vũ biểu từ mái nhà xuống, phát hiện thời điểm rơi t và tính chiều cao của ngôi nhà h bằng công thức $h = \frac{gt^2}{2}$, trong đó g là gia tốc trọng trường.

Cơm. 1.

3

2. Bạn được phép làm gì với la bàn và thước kẻ?

Thước kẻ cho phép bạn vẽ các đường thẳng đi qua hai điểm đã cho (hoặc đã được xây dựng trước đó) và một la bàn - các đường tròn có tâm và bán kính đã cho (hoặc được xây dựng) *).

Thoạt nhìn, đáp số là rõ ràng và không mơ hồ. Trong mọi trường hợp, anh ta cho phép bạn đánh dấu trên thước và di chuyển nó dọc theo mặt phẳng. Như vậy, nó cho phép dựng từ điểm 1 hoặc ví dụ như dựng tiếp tuyến của đường tròn $S$ đi qua điểm $A$ (Và bên ngoài $S$): chúng ta sẽ di chuyển thước sao cho nó luôn chạm vào $S$; khi cạnh của nó đi qua điểm $A$ thì ta vẽ một tiếp tuyến.

Tuy nhiên, ở đây cũng có những cạm bẫy. Chẳng hạn, việc vẽ một đường thẳng có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là dữ liệu đều là điểm?

Để trả lời câu hỏi này, hãy xem xét bài toán về việc rút một khối lập phương.

Biết cạnh của một hình lập phương, hãy dựng cạnh của một hình lập phương khác có thể tích gấp đôi.

Chúng ta được cho đoạn $AB$ (cạnh của hình lập phương). Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng qua $A$ và $B$. Nếu chúng ta giả sử rằng tất cả các điểm đều đã cho thì một điểm $C$ cũng được cho sao cho $AC=AB^3\sqrt{2}$ và cạnh loại trừ $AC$ được “xây dựng”. Từ ví dụ được phân tích, rõ ràng là cần phải làm rõ thêm. Cần phải làm rõ rằng chúng ta sẽ làm quen với các từ “cho một điểm” và “cho một đường thẳng”.

3. Công trình sơ cấp

Chúng ta hãy liệt kê những phần tử xây dựng nào có thể được vẽ bằng compa và thước khi vẽ một số hữu hạn đường thẳng và đường tròn trên mặt phẳng và số điểm được đánh dấu.

$\cdot$ Chúng tôi đã viết về cấu tạo của la bàn (xem «Kvant», 1974, Số 10).

$\alpha$. Nếu các điểm $A$ và $B$ được đánh dấu (và $A$ không trùng với $B$), thì bạn có thể vẽ một đường thẳng $AB$.

$\beta$. Nếu các điểm $O$, $A$ và $B$ được đánh dấu (và $A$ không trùng với $B$), thì bạn có thể vẽ một vòng tròn có tâm $O$ và bán kính $AB$.

$\gamma$. Nếu hai đường tròn được vẽ (hoặc hai đường thẳng, hoặc một đường thẳng và một đường tròn) và nếu chúng cắt nhau hoặc chạm nhau (nhưng không trùng nhau!), thì bạn có thể đánh dấu bất kỳ điểm chung nào của chúng.

Bài tập 1. Vẽ một đường thẳng $l$ trên mặt phẳng và đánh dấu một điểm $A$ trên đó. Có thể sử dụng một số hữu hạn các phần tử xây dựng $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ để vẽ qua điểm $A$ một đường thẳng $p$ vuông góc với $l$ không?

4. Làm thế nào để xây dựng bài toán cho xây dựng?

Vẽ một số hữu hạn đường thẳng và hình tròn trên một mặt phẳng và hữu hạn số điểm được đánh dấu - tập hợp các đường thẳng và điểm này sẽ được gọi là một cấu hình. Giả sử rằng điểm $A$ có thể được xây dựng (bằng compa và thước thẳng) từ một cấu hình nhất định nếu có thể tạo ra một số hữu hạn các phần tử dựng hình $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, do đó kết quả là điểm $A$ được đánh dấu.

Bất kỳ bài toán hình học nào cho việc xây dựng đều có thể được xây dựng như sau.

Một số cấu hình được đưa ra. Dựa vào đó, xây dựng các điểm $A_1,...,A_k$ thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Ví dụ. A. Bài toán “xây một đường thẳng cách đều hai điểm cho trước và một đường tròn cho trước” được phát biểu như sau.

Cấu hình ban đầu: vòng tròn $S$ được vẽ và các điểm $A$ và $B$ được đánh dấu. Xây dựng các điểm $A_1$ và $A_2$ sao cho $A_1$ không trùng với $A_2$ và đường thẳng $A_1A_2$ cách đều $A$, $B$ và $S$.

V. Zadchacha “Dan $\Delta ABC$. Vẽ một đường tròn ngoài tiếp tuyến với cạnh $BC$” được xây dựng như sau.

Điểm $A$, $B$ và $C$ được đánh dấu. Xây dựng các điểm $O$ và $D$ thỏa mãn các điều kiện sau

4

Loviyam: $O$ bị xóa khỏi các dòng $AB$, $AC$ và $BC$ một khoảng bằng nhau bằng $OD$ và nằm bên ngoài $\triangle ABC$; $D$ nằm trên đoạn $BC$.

S. Nhiệm vụ “Xây dựng $\triangle ABC$ theo chủ đề bissertik” được xây dựng như sau.

Một đường thẳng $l$ được vẽ, các điểm $O$, $D$, $E$ và $F$ được căn chỉnh trên đó. Xây dựng các điểm $A$, $B$ và $C$ sao cho tại $\triangle ABC$ bissertis $b_A$, $b_B$ và $b_C$ bằng với sự tương ứng của $OD$, $OE$ và $OF$.

5. Tin tức về “điểm tùy ý”

Nếu bạn có thể dựng một đường thẳng $p$ từ Bài tập 1 bằng compa và thước kẻ thì điều đó có nghĩa là bạn đã không đọc kỹ điểm 3: không có cấu trúc cơ bản nào có thể được áp dụng cho cấu hình ban đầu $\{l, A\}$, vì $\alpha$ và $\beta$ yêu cầu ít nhất hai điểm khác nhau được bù trong cấu hình và $\gamma$ - ít nhất hai đường khác nhau.

Để có thể bắt đầu làm việc, chúng tôi sẽ yêu cầu ít nhất hai điểm khác nhau luôn được bù đắp trong cấu hình ban đầu. Sau đó, bài tập 1 được sửa lại như sau.

U razzhene 2. Vẽ một đường thẳng $l$ trên mặt phẳng và một điểm $A$ lệch trên đó. Ngoài ra, để một điểm khác $B$ (khác với $A$) được bù trên mặt phẳng. Vẽ đường thẳng $p$ đi qua $A$ và vuông góc với $l$.

Y razzhene 3. Để ít nhất hai điểm khác nhau được bù đắp trong cấu hình ban đầu. Chứng minh rằng sau đó có thể sử dụng nhiều lần các cấu trúc nguyên tố $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ - đánh dấu điểm,

a) bắt đầu thuộc về một số đường đã vẽ - hoặc thậm chí thuộc bất kỳ đoạn (hoặc cung) cố định nào của đường này,

b) bắt đầu không thuộc bất kỳ dòng nào của cấu hình ban đầu,

c) nó thuộc (hoặc không thuộc) bất kỳ hình nào được tạo thành bởi các đường vẽ (hình tròn, hình tam giác, v.v.).

Thông thường trong các bài toán xây dựng người ta gặp các cấu trúc kiểu sau: “hãy đánh dấu một điểm tùy ý trên cung $EF$” hoặc “hãy đánh dấu một điểm tùy ý bên ngoài $\triangle ABC$”. Bài tập 3 cho thấy rằng bất kỳ điều gì như vậy

Chúng ta hãy xây dựng định lý chính (chứng minh của nó sẽ được đưa ra trong Phần 8), cho thấy các hành động đại số nào tương ứng với các cấu trúc cơ bản $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$.

Định nghĩa: Chúng ta sẽ gọi phép cộng, trừ, nhân và chia các số cũng như lấy căn bậc hai của một số dương là các phép toán cơ bản.

Định lý 1. Nếu cấu hình ban đầu có tham số $p_1, \ldots, p_n$ thì điểm $(x, y)$ có thể được xây dựng khi và chỉ khi $x$ và $y$ được biểu thị theo $p_1, \ldots, p_n$ bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hành động cơ bản.

Nhận xét: Đôi khi thuận tiện khi xây dựng bài toán như sau.

Cho các đoạn có độ dài $d_1, \ldots, d_n$. Xây dựng một đoạn có độ dài $x$. Đối với những bài toán như vậy, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng không phải Định lý 1 mà áp dụng định lý sau.

Định lý 1’. Giả sử có các đoạn có độ dài được biểu thị bằng số $d_1, \ldots, d_n$ và giữa chúng có một đoạn đơn vị. Sau đó, bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ, người ta có thể dựng một đoạn có độ dài $x$ (nghĩa là dựng hai điểm cách nhau $x$) khi và chỉ khi $x$ được biểu thị thông qua $d_1, \ldots, d_n$ bằng cách sử dụng một số hữu hạn các thao tác cơ bản.

Bài tập 4. Suy ra Định lý 1’ từ Định lý 1.

Bài tập 5. Định lý 1’ nói rằng một trong các số $d_1, \ldots, d_n$ bằng 1. Chứng minh rằng nếu không có điều kiện này, Định lý 1’ nói chung là sai.

7. Tính không thể giải được bài toán về việc nhân đôi hình lập phương và chia ba một góc

Theo Định lý 1’, câu hỏi về khả năng giải được bài toán về việc nhân đôi khối lập phương (xem mục 2) có thể được phát biểu như sau.

Cho số 1. Có thể biểu thị số $\sqrt[3]{2}$ thông qua nó bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hành động cơ bản không?

Bài tập 6. Chứng minh $\sqrt[3]{2}$ là số vô tỷ.

Tính không thể quyết định được của bài toán khi nhân đôi một khối lập phương xuất phát từ bài tập này và định lý tổng quát sau đây, chứng minh của nó sẽ được đưa ra ở Phần 9.

Định lý 2. Cho phương trình bậc ba $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ với các hệ số hữu tỉ $a$, $b$ và $c$ không có nghiệm hữu tỉ và lấy $x_0$ là nghiệm của nó. Khi đó $x_0$ không thể biểu thị dưới dạng số nguyên bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán cơ bản.

Thật vậy, như sau trong Bài tập 6, phương trình $x^3 - 2 = 0$ không có nghiệm hữu tỷ, có nghĩa là nghiệm $x_0 = \sqrt[3]{2}$ của nó không thể biểu thị theo số 1 bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép toán cơ bản. Do đó, dựa trên một đoạn đơn vị, không thể dựng được cạnh của hình lập phương có thể tích bằng 2 bằng compa và thước.

Hãy chuyển sang phần bài toán về phép chia một góc. Trên thực tế, đây không phải là một bài toán, mà là cả một chuỗi: mỗi góc có bài toán riêng. Một số trong số chúng có thể giải được - ví dụ: góc ở $90°$ có thể chia thành ba phần bằng nhau bằng la bàn và thước kẻ. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nói chung bài toán trên phép chia ba một góc là không thể quyết định được. Để làm điều này, chỉ cần chỉ ra ít nhất một góc $\varphi$, góc này không thể chia thành ba phần bằng nhau. Chúng tôi sẽ lấy $\varphi = 30°$.

Góc này có thể được dựng bằng compa và thước (xem Hình 3), dựa trên

Cơm. 3.

5

6

từ cấu hình $\{A, B\}$, bao gồm hai điểm $A$ và $B$ ($AB = 1$). Nếu nó có thể được chia bằng một hình tròn và thước thành ba phần bằng nhau tại $10^\circ$, thì dựa trên cấu hình $\{A, B\}$, chúng ta có thể xây dựng một góc $10^\circ$ và do đó tạo một đoạn có độ dài $s = \sin 10^\circ$ (xem Hình 4, trong đó $\Rightarrow C = 10^\circ$, $CD = 1$, $DE \perp CE$ và do đó $DE = \sin 10^\circ$).

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều này không thể thực hiện được, nghĩa là không thể có được số $s = \sin 10^\circ$ bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hành động cơ bản từ số 1.

Sử dụng công thức $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$, chúng ta thu được phương trình $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ = 3s - 4s^3$ hoặc $s^3 - \frac{3}{4}s + \frac{1}{8} = 0$. (1)

Theo Định lý 2, chúng ta đủ chứng minh rằng (1) không có nghiệm hữu tỉ. Bạn có thể xác minh điều này một cách trực tiếp, nhưng sử dụng kỹ thuật chung sau sẽ dễ dàng hơn.

Bổ đề. Cho phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$ (2) với hệ số đích $a_1, \dots, a_n$ có nghiệm hữu tỉ $x_0$. Khi đó $x_0$ là số bắt buộc; số $u$ $|x_0|$ là ước số của $|a_n|$.

Bằng chứng. Hãy viết $x_0$ dưới dạng phân số tối giản $p/q$ ($p$ là số nguyên, $q$ là số tự nhiên, một phần, nếu $x_0$ là số nguyên thì $q = 1$). Hãy thay $x_0 = p/q$ thành (2), nhân tất cả các số hạng với $q^{n-1}$ và cắt số hạng đầu tiên ở vế phải. Chúng tôi nhận được $a_1p^{n-1} + a_2p^{n-2}q + \dots + a_{n-1}pq^{n-2} + a_nq^{n-1} = -p^n/q$.

Có một số nguyên ở bên trái, có nghĩa là $p^n/q$ cũng là một số nguyên và vì $p$ và $q$ là nguyên tố cùng nhau nên $q = 1$ và $x_0$ là một số nguyên. Viết lại (2) cho $x = x_0$ dưới dạng $a_n = x_0(-a_{n-1} - a_{n-2}x_0 - \dots - a_1x_0^{n-2} - x_0^{n-1})$, ta thấy $|a_n|$ chia hết cho $|x_0|$. Bổ đề đã được chứng minh.

Để sử dụng bổ đề, chúng ta thực hiện thay đổi $x = 2s$ trong (1). Chúng ta thu được phương trình $x^3 - 3x + 1 = 0$. (3)

Vì 1 và -1 không phải là nghiệm của nó, nên (theo bổ đề) nó không có nghiệm hữu tỉ, và do đó phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ. Theo Định lý 2, số s không thể biểu diễn dưới dạng 1 bằng cách sử dụng hữu hạn các tác dụng cơ bản, và do đó bài toán trong phép chia ba một góc trong $30^\circ$ là không thể quyết định được.

Bài tập 7. Có thể chia góc $19^\circ$ bằng đường tròn và thước thành 19 phần bằng nhau không?

8. Chứng minh định lý 1

Chúng ta sẽ nói rằng số $x$ có thể được xây dựng dựa trên một cấu hình nhất định nếu, dựa vào nó, có thể xây dựng các điểm $C$ và $D$ sao cho $CD = |x|$ (nghĩa là, $CD = x$ nếu $x \ge 0$ và $CD = -x$ nếu $x < 0$).

Bài tập 8. Chứng minh rằng a) nếu dựng được các số $z$ và $t$ thì các số $z + t$, $z - t$, $zt$, $z/t$ (cho $t \neq 0$) và $\sqrt{z}$ (cho $z \ge 0$) cũng có thể dựng được, b) điểm $(x, y)$ có thể được xây dựng khi và chỉ khi có thể xây dựng tọa độ của nó - các số $x$ và $y$, c) dựa trên cấu hình với các tham số $p_1, \dots, p_n$, có thể xây dựng các số $p_1, \dots, p_n$.

Từ Bài tập 8c và 8a, dựa trên cấu hình này, bạn có thể xây dựng bất kỳ số nào được biểu thị thông qua các tham số $p_1, \dots, p_n$ của nó.

7

la những hành động cơ bản. Do đó, theo Bài tập 8b, bạn có thể xây dựng bất kỳ điểm $(x, y)$ nào, tọa độ của điểm đó được biểu thị bằng các phép toán cơ bản thông qua $p_1, \ldots, p_n$. Một nửa Định lý 1 đã được chứng minh.

Vẫn còn phải chứng minh tuyên bố ngược lại: nếu điểm $(x, y)$ có thể được xây dựng thì $x$ và $y$ được biểu thị thông qua các tham số của cấu hình ban đầu bằng các hành động cơ bản. Tuyên bố này ngay sau đó từ bổ đề sau.

Bổ đề. Áp dụng một trong các cấu trúc cơ bản $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ cho cấu hình có tham số $q_1, \ldots, q_N$. Sau đó, các tham số của cấu hình thu được được thể hiện thông qua $q_1, \ldots, q_N$ bằng các thao tác cơ bản.

Chúng ta bắt đầu chứng minh bổ đề bằng bài tập sau.

Bài tập 9. Chứng minh rằng

a) đường thẳng đi qua hai điểm $(c_1, c_2)$ và $(d_1, d_2)$ được cho bởi phương trình

$$x = c_1 \text{ при } c_1 = d_1$$

Và

$$y = \frac{c_2 - d_2}{c_1 - d_1}x + \frac{c_1d_2 - c_2d_1}{c_1 - d_1} \text{ при } c_1 \neq d_1,$$

b) khoảng cách giữa các điểm $(c_1, c_2)$ và $(d_1, d_2)$ là $\sqrt{(c_1-d_1)^2+(c_2-d_2)^2}$,

c) nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình

$$y = k_1x + b_1 \text{ и } y = k_2x + b_2,$$

thì với $k_1 = k_2$ chúng song song hoặc trùng nhau và với $k_1 \neq k_2$ chúng cắt nhau tại điểm

$$\left(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2},\ \frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}\right);$$

các đường $y = k_1x + b_1$ và $x = a_2$ cắt nhau tại điểm $(a_2, k_1a_2 + b_1)$; các đường $x = a_1$ và $x = a_2$ song song hoặc trùng nhau,

d) một đường tròn có tâm $(c, d)$ và bán kính $r$ được cho bởi phương trình $(x-c)^2 + (y-d)^2 = r^2$.

Chứng minh bổ đề. Khi xây dựng $\alpha$, một hoặc hai số được thêm vào tham số $q_1, \ldots, q_N$ - hệ số của phương trình $x = c$ hoặc $y = kx + b$, xác định đường vẽ. Theo bài tập 9a, chúng được thể hiện thông qua $q_1, \ldots, q_N$ sử dụng các thao tác cơ bản

thuộc tính (vì tọa độ của các điểm được đánh dấu mà đường được vẽ qua đó được bao gồm trong tham số $q_1, \ldots, q_N$).

Khi dựng $\beta$, một hình tròn được vẽ có tâm $O$ và bán kính $CD$. Tọa độ của các điểm $O$, $C$ và $D$ nằm trong số các tham số và bán kính được biểu thị theo chúng bằng các phép toán cơ bản của Bài tập 9b.

Khi xây dựng $\gamma$, có thể xảy ra ba trường hợp.

Vấn đề đầu tiên - khi đánh dấu điểm giao nhau của hai đường thẳng - được giải quyết bằng bài tập 9c.

Trong trường hợp thứ hai, chúng ta hãy đánh dấu điểm $(x_0, y_0)$ giao điểm hoặc tiếp tuyến của đường tròn $(x-c)^2+(y-d)^2=r^2$ (xem bài tập 9d) và đường thẳng $y = kx + b$. Tọa độ $(x_0, y_0)$ thỏa mãn cả hai phương trình. Thay $y=kx+b$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta thu được phương trình bậc hai để xác định $x_0$

$$(x-c)^2+(kx+b-d)^2=r^2.$$

Nếu chúng ta áp dụng công thức cho lời giải của phương trình bậc hai thì $x_0$ (và do đó $y_0=kx_0+b$) sẽ được biểu thị thông qua $k, b, c, d$ và $r$ bằng các phép toán cơ bản. Đối với đường thẳng cho bởi phương trình $x = a$, kết quả tương tự thậm chí còn đơn giản hơn.

Trong trường hợp thứ ba, điểm giao nhau hoặc tiếp tuyến của các đường tròn được đánh dấu

$$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2,$$
$$(x-c')^2+(y-d')^2=r'^2.$$

Hãy mở ngoặc và trừ phương trình này với phương trình kia. Chúng ta thu được một phương trình tuyến tính

$$Px+Qy=R,$$

ở đâu $P=2(c'-c)$, $Q=2(d'-d)$, $R=r^2-r'^2+c'^2-c^2+d'^2-d^2$. Nếu $Q \neq 0$, thì chúng ta viết lại nó ở dạng $y=kx+b$ (trong đó $k=-P/Q$, $b==R/Q$) và nếu $Q=0$, $P \neq 0$, thì ở dạng $x=a$ (trong đó $a=R/P$), và do đó giảm mọi thứ về trường hợp thứ hai đã được phân tích; đẳng thức $P=Q==0$ là không thể (nếu $R \neq 0$, các vòng tròn không có điểm chung, nếu $R = 0$ chúng trùng nhau).

7

8

9. Chứng minh định lý 2

Hãy chia các phép toán cơ bản thành các phép toán đơn giản - các phép tính phức tạp, phép trừ, nhân và chia và các phép tính phức tạp - trích căn bậc hai.

Hãy để có một bộ số nhất định. Hãy xem xét tất cả các số có thể thu được từ chúng bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép toán đơn giản.

Sự định nghĩa. Nếu chúng ta biểu thị tập hợp ban đầu bằng $M$ thì tập hợp kết quả $P$ được gọi là trường được tạo bởi $M$.

Rõ ràng là nếu các số $z$ và $t$ thuộc trường $P$ thì các số $z + t$, $z - t$, $zt$ và $z/t$ (với $t \neq 0$) cũng thuộc về $P$.

Ví dụ. A. Tập $M$, bao gồm một số 1, tạo ra một trường các số hữu tỷ.

B. Tập hợp $M$, bao gồm tất cả các số hữu tỷ và số $\sqrt{2}$, tạo ra trường $P$, bao gồm tất cả các số có dạng $a + b\sqrt{2}$ (trong đó $a$ và $b$ là số hữu tỷ) và chỉ chúng. Kiểm tra điều này bằng cách đặc biệt chú ý đến việc phân chia. Lưu ý rằng cùng một trường $P$ được tạo bởi hai số: 1 và $\sqrt{2}$.

Bài tập 10. $\sqrt{3}$ có thuộc trường $P$ trong Ví dụ B không?

Giả sử $x$ là một số có thể biểu thị bằng 1 bằng cách sử dụng hữu hạn các hành động cơ bản. Điều này có nghĩa là có các số $x_1, \ldots, x_n$, trong đó $x_1 = 1$, $x_n = x$ và mỗi số $x_k$ ($1 < k \leq n$) được thể hiện thông qua các số trước đó bằng một hành động cơ bản. Ví dụ: đối với $x = \sqrt{2} - 5\sqrt{3}$ bạn có thể lấy $x_1 = 1$, $x_2 = 1 + 1 = 2$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = 1 + 2 = 3$, $x_5 = \sqrt{3}$, $x_6 = 2 + 3 = 5$, $x_7 = 5\sqrt{3}$, $x_8 = \sqrt{2} - 5\sqrt{3} = x$.

Hãy xây dựng một chuỗi các trường $P_1, \ldots, P_n$, trong đó $P_k$ là trường được tạo bởi tập hợp các số $x_1, \ldots, x_k$. Trong chuỗi này, đối với mỗi trường $P_k$ có hai khả năng:

1. Nếu $x_k$ thuộc về $P_{k-1}$ thì $P_k$ giống với $P_{k-1}$.
2. Nếu $x_k$ không thuộc về $P_{k-1}$ thì $P_k$ được tạo bởi một tập hợp, có được bằng cách thêm số $x_k$ vào trường $P_{k-1}$ (trong trường hợp này, $x_k^2$ nhất thiết phải thuộc về $P_{k-1}$).

Từ những điều trên rõ ràng rằng để chứng minh Định lý 2 chỉ cần thiết lập mệnh đề sau là đủ.

Bổ đề 1. Giả sử số $s$ không thuộc về trường $P$, $s^2$ thuộc về $P$ và $Q$ là trường do tập hợp tạo ra, có được bằng cách cộng số $s$ với $P$. Hãy để phương trình

$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$

với các hệ số thuộc $P$ không có nghiệm trong trường $P$. Thế thì nó không có rễ ở ruộng $Q$.

Trước khi chứng minh bổ đề này, chúng ta hãy mô tả cấu trúc của trường $Q$.

Bổ đề 2. Bất kỳ số $q$ từ trường $Q$

1. được biểu thị là $q = p_1 + p_2s$, trong đó $p_1$ và $p_2$ thuộc về $P$,
2. thỏa mãn phương trình bậc hai $x^2 + dx + e = 0$ với các hệ số $d$ và $e$ thuộc $P$.

Chứng minh Bổ đề 2.

1. Rõ ràng là tất cả các số có dạng $p_1 + p_2s$ đều thuộc về $Q$. Để chứng minh rằng không có số nào khác trong $Q$, chỉ cần kiểm tra xem các phép toán đơn giản trên các số có dạng $p_1 + p_2s$ lại có thuộc về các số cùng loại hay không là đủ. Điều này suy ra từ công thức

$$(p_1 + p_2s) \pm (r_1 + r_2s) = (p_1 \pm r_1) + (p_2 \pm r_2)s,$$

$$(p_1 + p_2s) \cdot (r_1 + r_2s) = (p_1r_1 + p_2r_2s^2) + (p_1r_2 + p_2r_1)s$$