Bài toán M326—M330; F338—F342

22

Bài toán

M326—M330; F338—F342

M326. Dây của đường tròn cách tâm một khoảng $h$. Một hình vuông được nội tiếp trong mỗi đoạn được bao bọc bởi một dây cung sao cho hai đỉnh liền kề của hình vuông nằm trên cung và hai đỉnh còn lại nằm trên dây cung (Hình 1). Độ dài các cạnh của các hình vuông này có sự khác biệt như thế nào?

E. G. Gotman

Hình 1.

M327. Có $N$ người trong công ty. Mỗi người trong số họ thích chính xác $k$ người từ công ty này. Ở mức tối thiểu nào $k$ chúng ta có thể nói rằng chắc chắn sẽ có hai người ở công ty này thích nhau?

MỘT. Kolodin, học sinh lớp 10
(Kolomaia)

M328. Một con ruồi và hai con nhện bò dọc theo một khối tứ diện đều. Ruồi chỉ bò trên sườn, còn nhện bò khắp bề mặt. Tốc độ tối đa của ruồi gấp 2 lần tốc độ tối đa của nhện.

a) Chứng minh rằng ở bất kỳ vị trí ban đầu nào con nhện cũng có thể bắt được ruồi.

b) Điều này có đúng không nếu tốc độ tối đa của ruồi gấp 2 lần tốc độ tối đa của nhện?

c) đáp số sẽ thay đổi như thế nào nếu nhện chỉ được phép bò dọc theo các cạnh của khối tứ diện? trong suốt toàn bộ tập

23

tứ diện? (Con ruồi vẫn chỉ di chuyển dọc theo xương sườn.)
O. Efremov, học sinh lớp 9 (Angarsk)

M329. Một $n$-giác lồi được đặt trong một hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng bạn tìm được ba đỉnh $A, B, C$ của $n$-giác này và diện tích của tam giác $ABC$ nhỏ hơn $8/n^2$.
G. Shmelev, học sinh lớp 10 (Yaroslavl)

M330. Có hai đa giác lồi $M_1$ và $M_2$ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M$ tập hợp các điểm mà trung điểm của một đoạn có thể rơi xuống, một đầu thuộc về $M_0$, đầu kia thuộc về $M_1$. Chứng minh rằng $M$ là đa giác lồi.

a) $M$ có thể có bao nhiêu cạnh nếu $M_0$ có $n_0$ và $M_1$ có $n_1$?
b) Chu vi $M$ có thể là bao nhiêu nếu chu vi $M_0$ bằng $P_0$ và $M_1$ bằng $P_1$?
b)* Diện tích của $M$ có thể là bao nhiêu nếu diện tích của $M_0$ là $S_0$ và diện tích của $M_1$ là $S_1$?

N. B. Vasiliev

F338. Hai thanh làm từ các kim loại khác nhau có hệ số giãn nở tuyến tính $a_1$ và $a_2$ ở nhiệt độ $0^\circ C$ có chiều dài hơi khác nhau $l_1$ và $l_2$ và mặt cắt ngang $s_1$ và $s_2$. Ở nhiệt độ nào thì các thanh sẽ có cùng chiều dài a)? b) mặt cắt ngang? b) khối lượng?

B. B. Bukhovtsev

F339. Quả bóng tennis chạm vào một cây vợt nặng và bật lại một cách đàn hồi từ nó. Khối lượng của bóng nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của vợt, tốc độ của bóng trước khi va chạm với vợt bằng $v$ và tạo một góc $\alpha = 60^\circ$ với phương vuông góc với vợt. Vợt phải di chuyển với tốc độ không đổi bằng bao nhiêu để quả bóng bị phản xạ vuông góc với hướng chuyển động? Cả trước và sau khi va chạm với vợt, bóng đều không quay.

F340. Một vệ tinh Trái đất có khối lượng $m = 10$ kHz, di chuyển theo quỹ đạo tròn ở các tầng cao của khí quyển, gặp phải lực cản từ không khí loãng. Lực cản $F = 5 \cdot 10^{-4}$ n. Xác định tốc độ của vệ tinh sẽ thay đổi bao nhiêu trong một vòng quay quanh Trái đất. Độ cao bay của vệ tinh so với bề mặt Trái đất được coi là nhỏ so với bán kính Trái đất.

S. M. Kozel

F341. Trong sơ đồ đơn giản nhất của máy phát thủy động lực từ, một tụ điện phẳng có diện tích các bản $S$ và khoảng cách giữa chúng $d$ được đặt trong một dòng chất lỏng dẫn điện có độ dẫn điện riêng σ. Chất lỏng chuyển động với tốc độ không đổi $v$ song song với các tấm. Tụ điện nằm trong từ trường có cảm ứng $B$, hướng vuông góc với vận tốc chất lỏng và song song với mặt phẳng của các bản tụ. Công suất nào được giải phóng trong mạch ngoài có điện trở $R$?

F342. Tìm điện tích của tụ điện 2 (Hình 2), nếu $C_1 = C_2 = C_3 = C$. E.m.f. nguồn $E$, điện trở trong của nguồn $r$.