Bài toán độc giả của chúng tôi

48

Một trong những cách có thể chứng minh bất đẳng thức (7’) như sau: trước tiên bạn cần chứng minh rằng

$$p_1 \leqslant \frac{3}{2} r_0 \sqrt{3},$$

(8)

tức là trong số tất cả các hình tam giác được mô tả trong một vòng tròn nhất định, chu vi lớn nhất có chu vi đều.

Khi đó - bất đẳng thức

$$p_0 \geqslant 3 r_0 \sqrt{3}.$$

(9)

Điều này có nghĩa là trong số tất cả các hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước, hình tam giác có chu vi lớn nhất là hình đều.

Bất đẳng thức (7’) suy ra từ (8) và (9). Hãy cố gắng tự mình chứng minh chúng.

Trong thực tế

1. Đối với tam giác nào $ABC$ đối với một số $n$:
   a) $\triangle A_nB_nC_n \sim \triangle ABC$?
   b) $\triangle A_nB_nC_n$ bằng nhau?
2. Chứng minh rằng $\triangle A_1B_1C_1$ và $\triangle A^{(1)}B^{(1)}C^{(1)}$ đã sẵn sàng.
3. Chứng minh rằng

$$|A_1B_1| \cdot |B_1C_1| \cdot |C_1A_1| \leqslant \frac{1}{8} |AB| \cdot |BC| \cdot |CA|.$$

4. Như đã nêu, $p_1/p_0 \leqslant \frac{1}{2}$. Đánh giá $p_1/p_0$ màu xanh lam: tìm số $c$ sao cho $p_1/p_0 \geqslant c$.
5. Chứng minh rằng

$$\frac{|A_1B_1|^2 + |B_1C_1|^2 + |C_1A_1|^2}{|AB|^2 + |BC|^2 + |CA|^2} \leqslant \frac{1}{4}.$$

6. Chứng minh rằng cạnh dài nhất của tam giác $A_1B_1C_1$ không vượt quá một nửa cạnh dài nhất của tam giác $ABC$. Có thể nói điều tương tự về các cạnh nhỏ nhất của những tam giác này không? Về các cạnh có kích thước trung bình của những hình tam giác này?

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Cho một hình tam giác $ABC$. Bên trong tam giác, điểm $M$ được lấy và nối với các đỉnh $A$ và $C$; $K$ và $L$ là giao điểm của MC tương ứng với AB và AM với BC.

Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $S_{\Delta AKM} = S_{\Delta CML}$.

R. L. Mkrtchyan

2. Giải phương trình $n! = n(n+1)(n+2)(n+3)$.

P. V. Paramonov

3. Tích của sáu số tự nhiên liên tiếp có thể bằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Ví dụ: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 8 \cdot 9 \cdot 10 = 720$. Có những con số như vậy?

V. A. Panarin

4. Tìm tất cả các nhóm gồm 10 số tự nhiên có tổng bằng tích của chúng.

E. Mazur

5. Trong tam giác đều $ABC$ ($|AB| = |BC|$), qua điểm $A$ và trung điểm $M$ có chiều cao $BH$, một đường thẳng được vẽ cắt nhau $BC$ tại điểm $N$. Đoạn $MN$ nhỏ hơn đoạn $AM$ bao nhiêu lần?

V. F. Akulii, I. F. Aculii

6. Trò chơi “tàu chiến” thường được chơi trên bàn cờ có kích thước $10 \times 10$. “Chiến hạm” trong trò chơi này là một “con tàu” chiếm một phần sân chơi có kích thước $1 \times 4$.

Tìm số phát bắn tối thiểu phải bắn trên toàn sân chơi sao cho một “chiến hạm” nằm ngẫu nhiên trên sân chơi sẽ bắn ít nhất một phát.

V. G. Chvanov