Về hệ thống số

59

Về hệ thống số

Seryozha thân mến!

Bạn có nhớ cuộc gặp gỡ của chúng ta ở Batumi không?
Trong cuộc trò chuyện với tôi, bạn thừa nhận rằng bạn đang có ý định trở thành phi hành gia. Theo nhận xét của tôi rằng để đạt được mục tiêu này, bạn cần phải học tập chăm chỉ, tìm hiểu kỹ về sinh học, hóa học, vật lý, toán học, bạn đã trả lời một cách rất nguyên bản - bạn bắt đầu thể hiện kiến ​​​​thức của mình. Hoá ra bạn rất giỏi toán, thậm chí còn yêu thích môn toán. Và sau đó tôi quyết định hỏi bạn một câu hỏi “khó”: “tại sao đẳng thức 7+8=15 đúng và đẳng thức 7+8=16 có đúng không?”

Bạn khá ngạc nhiên, thậm chí có phần bối rối, nhưng nhanh chóng tìm ra chính mình và trả lời: “vì 7+8=15, và đẳng thức 7+8=16 là sai!” Điều đáng chú ý là bản thân bạn không hài lòng với đáp số của mình. Tôi định giải thích chuyện gì đang xảy ra ở đây, nhưng thật không may, chúng ta không có cơ hội tiếp tục cuộc trò chuyện, và tôi đã hứa với bạn sẽ viết một lá thư về chủ đề này cho «Kvant», mà bạn cũng như tôi, rất yêu thích. Tôi giữ lời hứa của mình. Vì vậy, câu hỏi đầu tiên.

Tại sao đẳng thức 7+8=15 lại đúng?

Để trả lời câu hỏi này, bạn cần tìm hiểu ý nghĩa của mục “15”. Ký hiệu này, như bạn đã biết, có nghĩa là số này chứa 1 chục và 5 đơn vị. Nói cách khác, 15 là tổng của 1x10+

60

+5×1. Tương tự như 287 chẳng hạn, tổng là 2×100+8×10+7×1. Tổng cuối cùng có thể được đưa ra dưới dạng thuận tiện hơn, có vẻ đối xứng hơn:

$$2 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 7 \times 10^0.$$

Tất nhiên, bạn biết rằng lũy ​​thừa bậc nhất của bất kỳ số nào đều bằng tổng của số đó, vì vậy cùng với 10 chúng ta có thể viết 10¹. Đối với số hạng cuối cùng, tôi sẽ nói với bạn rằng bất kỳ số nào khác 0 lũy thừa 0 thường được coi là bằng một. Cụ thể, 10⁰ = 1 và chúng ta có thể thay thế một bằng 10⁰. Trong trường hợp này nó rất thuận tiện.

Vì vậy, chúng tôi có:

$$15 = 1 \times 10^1 + 5 \times 10^2,$$
$$287 = 2 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 7 \times 10^0.$$

Hãy chú ý đến vị trí các chữ số của các số này ở vế phải của các đẳng thức này.

Dưới đây là hai ví dụ nữa:

$$1975 = 1 \times 10^3 + 9 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 5 \times 10^0,$$
$$2904770 = 2 \times 10^6 + 9 \times 10^5 + 0 \times 10^4 + 4 \times 10^3 + 7 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 0 \times 10^0.$$

Hãy thử viết các số sau dưới dạng tương tự: 103.009, 222.669, 23.456.789.

Có lẽ việc biểu diễn các số dưới dạng tổng như vậy cho phép bạn viết các số, thậm chí cả những số rất lớn, chỉ có mười chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Với cách viết như vậy, số mười đóng một vai trò đặc biệt. Vì vậy, hệ thống viết số này được gọi là số thập phân và số mười là cơ sở của hệ thống này. Điểm quan trọng thứ hai của cách ghi như vậy là ý nghĩa của mỗi chữ số không chỉ được xác định bởi chính nó mà còn bởi vị trí (vị trí) mà nó chiếm trong bản ghi của một số nhất định. Ví dụ, chữ số 2 trong ký hiệu số 325 đắt hơn mười lần so với chữ số tương tự trong ký hiệu số 872, vì nó bắt đầu thập phân và quen với nó. Nói chung, khi xem xét các số trong các hệ thống số khác nhau, mỗi số sẽ có một chỉ số - cơ sở của hệ thống số mà số đó được viết. Khi đó các ví dụ chúng ta đã xem xét có thể được viết như sau:

$$7_{10} = 10_7, \ 8_{10} = 11_7, \ 9_{10} = 12_7,$$
$$10_{10} = 13_7, \ 14_{10} = 20_7, \ 49_{10} = 100_7.$$